Exercice 1 - Intégrales doubles

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JF FERRARIS – L1/2 – IUT1/2 – Intégrales 1 – TD3. Intégrales multiples.

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Exercice 1 - Intégrales doubles

Calculer les intégrales doubles suivantes.

a. . .

1 1

0 0

d d

x y

I xy x y

= =

=

∫ ∫

b. . .

1 1

0 0

e d d^xy

x y

I x x y

= =

=

∫ ∫

c. . .

2 2

0 0

e^{x y}d d

x y

I xy ⁺ x y

= =

=

∫ ∫

d.

( )

^. ^.

2 3

3

1 1

1 d d

y x

x y

I x y

x y

= −

= =

=

∫ ∫

+ e. I =

∫∫

cos cos .x y x yd d. ^avec ⁰^, ⁰^,

x≥ y≥ x+ ≤y 2π

f. ^I ⁼

∫∫ (

^x⁺^y

)

^{sin sin .}^x ^{y x y}^{d d}^. ^{sur [0 ;}^π^]^×^{[0 ;}^π] g. ¹ ² ^cos

( )

^. ^.

0 0

d d

x y

x xy y x

=π

=

= =

∫ ∫

^.

Exercice 2 -

Calculer l’intégrale double de la fonction d’expression f(x, y) = x + 2y sur le domaine fermé limité par les courbes y = 2x² et y= 1 + x².

Exercice 3 -

On considère une pièce plate homogène en forme de triangle rectangle iso- cèle OAB de côtés perpendiculaires de longueur L, dont on souhaite obtenir le moment d’inertie Ix par rapport à l’axe (Ox) – voir figure.

Pour ce type de pièce, ce moment d’inertie se calcule par : I_x =

∫∫

y².dS^où l’élément de surface considéré est un rectangle de dimensions dx et dy (dS

= dx × dy) et où y est la distance entre cet élément et l’axe (Ox).

1) Montrer que, dans notre repère, la droite (AB) a pour équation y= − +x L_.

2) Par une intégrale double, trouver alors l’expression de Ix en fonction de L.

Exercice 4 - Intégrales triples

Calculer les intégrales triples suivantes.

a. ¹ ² ³ . . . . .

1 2 3 d d d

x y z

I ⁼ ⁼ ⁼ x y z x y z

=− =− =−

=

∫ ∫ ∫

b. ¹ ² ³ ² ³. . .

1 2 3 d d d

x y z

I ⁼ ⁼ ⁼ x z x y z

=− =− =−

=

∫ ∫ ∫

c. ^I⁼

∫

_r^a₌^.cos₀ ^{( )}^θ

∫ ∫

_θ²₌^π₀ _ϕ^π₌₀^r^.sin

( )

³^{ϕ ϕ θ}^.^{d d d}^. ^. ^r d. I =

∫∫∫

z x y z.d d d. . ^avec^x^≥⁰^,^y^≥⁰^,^z^≥⁰^,^x^{+ + ≤}^y ^z ¹

Exercice 5 -

Déterminer par une triple intégration le volume d’un cône droit de hauteur H et de rayon à la base R. x dési- gnera la distance entre le sommet du cône et une section circulaire quelconque, dans laquelle r et θ positionneront un élément de surface.

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Exercice 6 -

Calculez par triple intégration le volume intérieur de la sphère de rayon R. On propose la représentation suivante :

L’élément de volume est un parallélépipède rectangle infinitésimal (en rouge sur la figure) défini par trois paramètres : une « longitude » ϕ, une « latitude » θ et une « altitude » r.

Il sera indispensable d’écrire en fonction de r, dr, θ^, dθ^,ϕ^{et d}ϕ, les dimensions de ce parallélépipède.

Ensuite, on réfléchira aux bornes à donner à cha- cune de ces trois variables afin que ces éléments remplissent la boule, ni plus, ni moins.

Exercice 7 -

Le moment d’inertie d’une section S par rapport à un axe D est le nombre _D ².d

S

I =

∫

a S

où a est la distance entre l’axe D et la section élémentaire dS consi- dérée.

Calculer le moment d’inertie d’un disque de rayon R par rapport à un axe dans le plan du disque et contenant son centre.

Exercice 8 - Changement de variables

Calculer l’intégrale de la fonction d’expression f(x, y) = (x + y)² sur le disque D centré à l’origine et de rayon 1 (on effectuera un changement de variables en coordonnées polaires).

Exercice 9 - Changement de variables

Calculer l’intégrale de la fonction d’expression f (x, y, z) = (x² + y²)|z| sur un domaine tridimensionnel : la boule B centrée à l’origine et de rayon 1. On utilisera pour cela les coordonnées sphériques r, ϕ^,θ^{, dé-} crites dans cet ordre (« altitude, longitude, latitude »), en précisant que ^x⁼^r^.cos

( ) ( )

^θ ^.cos ^ϕ ^,

( ) ( )

.cos .sin

y=r θ ϕ et ^z⁼^r^.sin

( )

^θ