Optique ondulatoire - Cours 4 pdf

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Optique ondulatoire

Module Optique Physique

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Ch1: Ondes électromagnétiques et la propagation de la lumière Ch2 : Polarisation de la lumière

Ch3 : Interférences lumineuses : Notions de bases Ch4 : Systèmes Interférentiels

Ch5 : Diffraction de la lumière

Sommaire

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Chapitre 1 Les ondes électromagnétiques

& la propagation de la lumière

Dans le cadre de l’optique géométrique, la propagation de la lumière est interprétée en termes de rayons, ensembles de points indiquant la trajectoire suivie par la lumière. Par exemple, dans un milieu homogène isotrope et transparent, la lumière se propage de façon rectiligne et les rayons lumineux sont des droites.

C’est suffisante pour décrire un certain nombre de phénomènes notamment la réflexion et la réfraction.

Mais

De nouveaux phénomènes attirent l’attention des scientifiques : double réfraction, interférences ou encore diffraction. Ces phénomènes ne se plient pas à la vision classique de la nature « particulaire » de la lumière.

1. Introduction

En 1860, Maxwell établit et imposa l’idée que la lumière est une onde électromagnétique.

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2. Ondes électromagnétiques

2.1. Généralités

 Un caillou jeté dans l'eau perturbe la surface, qui était plane, en faisant apparaître des vagues. Ces vagues ne restent pas sur place, elles n'existent qu'en mouvement.

une onde est une perturbation qui se déplace.

 Les mouvements qui agitent une corde tendue sont également des ondes : si on donne à une extrémité de la corde un mouvement brusque, on va voir une déformation de la corde (la perturbation), se déplacer jusqu'à l'autre bout. Après le brusque mouvement, la main a retrouvé sa place.

 Un bouchon flottant sur l'eau…????

Une onde n'est pas accompagnée de déplacement de matière. C'est finalement juste de l'énergie qui circule

 Il existe plusieurs sortes d’ondes : - Ondes sonores :

 Le son est une onde dite "de compression". Dans l'air immobile, la pression est la même partout, et l'air a partout la même densité. Par contre, un son est une perturbation de la pression de l'air.

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6 Lorsqu'un son traverse l'air, on peut observer des zones où la pression de l'air

est plus importante que lorsqu'il n'y a pas de son. Dans ces zones, l'air est plus comprimé. On observe aussi des zones où l'air est plus dilaté, dans des zones de dépression. Ces perturbations de la pression de l'air se déplacent : c'est l'onde sonore.

-Ondes électromagnétiques (em) :

Un rayonnement est une énergie transportée dans l'espace sous forme d'ondes ou de particules. On parle de rayonnement électromagnétique (REM) lorsque le rayonnement se comporte comme un champ de force dont les variations affectent les propriétés électriques et magnétiques de la matière.

Lumière Sonnette

2.2. Description ondulatoire de la lumière

Pour représenter une onde lumineuse, il faut lui associer une grandeur physique décrite par une fonction , dépendant du temps t et de l’espace

^   ^{r  , t r }

Une onde se propageant le long d’une corde vibrante, la fonction  décrit la déformation de la corde.

Exemple

Si v désigne la vitesse de propagation de l’onde, la fonction  vérifie une équation, appelée équation d’onde, qui se met sous la forme :

1 0

2 2

2 



 

 v t

 

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7 .

Quelle est donc la grandeur physique associée à une onde lumineuse ? Maxwell donne une réponse à cette équation dans le cadre de l’électromagnétisme. Une onde lumineuse est caractérisée par un champ magnétique et par un champ électrique couplés.

Dans la résolution des équations de Maxwell, nous nous limiterons aux ondes lumineuses sinusoïdales, c'est-à- dire pour lesquelles la fonction  est une fonction sinusoïdale de et de t.

2.2.1. Equations de Maxwell

Les ondes em sont caractérisées par un champ électrique et un champ magnétique couplés. Les équations de Maxwell gouvernent le comportement spatio-temporel des ondes em. Les équations de Maxwell dans le vide :

r 

E B

t j E

B rot E

t div E B

rot B

div 

 



 

 



 _{0 0 0}

0

, ,

,

0   





Les densités  et , désignent respectivement la densité de charge électrique et la densité de courant. ₀ et ₀ sont des constantes, ₀ = 4.10^-7 S.I. est la perméabilité du vide et ₀ = 8,854.10^-12 S.I. est la permittivité du vide.

j

A partir de ces équations et des propriétés des opérateurs div et rot, nous démontrons que les champs électrique et magnétique vérifient donc la même équation de propagation : ^{E B}

0

0 ₂ ²

2 2

2

2   



 



 

 c E

t et E

B t c

B

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8 apparaît comme la vitesse de la lumière dans le vide. Lorsque le milieu est considéré n’est pas vide, l’équation de propagation s’écrit :

0

0 ₂ ²

2 2

2

2   



 



 

 E v E

et t B

v t B

où v est la vitesse de la lumière dans le milieu considéré



 1 v Définition

L’indice optique, ou indice de réfraction, est défini comme le rapport de c sur v. Einstein a montré que la vitesse de propagation v de la lumière dans un milieu est toujours inférieure à la vitesse de propagation de la lumière dans le vide c. Il en résulte que l’indice de réfraction d’un milieu est toujours plus grand que 1.

1 8

0 0

. 10 .

1  3 _

 m s

c  

La solution de l’équation de propagation dans le cas d’une seule dimension est de la forme :

  ^{ }

^

^

E v t x E t

r

E  _{ }



 



 



 , cos ( ) cos

, ₀ ⁰

ou en notation complexe :

  ^{r t E  i  kx t  }

E , 

exp  

k _  v

est appelé le nombre d’onde.

Dans l’espace à trois dimensions, on peut montrer que la solution de l’équation d’onde sous la forme d’une

onde harmonique s’écrit :

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9

  ^{r t E r}  ^{k r t} 

E , 

( ) cos .  

ou en notation complexe

  ^{r t E r}  ⁱ   ^{k r t} 

E , 

( ) exp .   k

 

 

B 1 ,

,  

A l’aide de la relation et les équations précédentes, nous obtenons : 

t E B

rot 

 



Les vecteurs , et forment un trièdre direct. k E B

 

 

Propagation d’une onde lumineuse sinusoïdale

k E 

et

B 

Le trièdre est un trièdre direct. et les champs E et B oscillent suivant une loi sinusoïdale au cours de

la propagation.

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10 2.2.2. Surface d’onde, Vecteur d’onde, Périodicité d’une onde harmonique

- Une surface d’onde notée _t0 est définie, à un instant t₀ donné, par l’ensemble des points tels que les champs

r 

 





 

E ,  0( )exp . 

et ^B

 





 

t r k r

r_t0,





Pour _{dt0(r) 0}

le vecteur d’onde est localement perpendiculaire aux surfaces d’onde. k - Une onde harmonique est périodique en temps et en espace.

- On définit la période T qui caractérise la périodicité temporelle et la longueur d’onde  qui caractérise la périodicité temporelle. A la période T on associe la fréquence f = 1/T et la pulsation  = 2/T.

A la longueur d’onde , on associe le nombre d’onde k : k = 2/. Le vecteur d’onde a pour module le nombre d’onde et nous avons vu que sa direction est donnée par la direction localement perpendiculaire aux surfaces d’onde.

k

Par convention on choisit dans le sens de propagation de l’onde. k

lorsque l’onde lumineuse passe d’un milieu à l’autre, sa fréquence reste la même, c’est sa longueur d’onde qui varie.

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11 2.2.3. Sources lumineuses

La lumière est une onde électromagnétique. Elle est une perturbation du champ électromagnétique qui se déplace.

Cela lui donne la propriété de pouvoir se déplacer dans le vide, parce que même dans le vide, il y a un champ électromagnétique.

Longueur d’onde  (nm) ≤400 500 590 630 ≥ 750

Couleur Ultraviolet Bleu Jaune Rouge Infrarouge

Tout objet émet de la lumière est une source. La lumière correspond à l’émission d’un photon de fréquence f lors de la désexcitation d’un atome.

- L’atome émet une onde (e.m) associée au photon pendant un temps caractéristique ₀, typiquement de l’ordre de 10^-11s, c'est-à-dire un temps beaucoup plus grand que la période T=1/f (de l’ordre de 10^-14s).

0 0

Y Axis Title

X Axis Title

F1



T

On appelle train d’onde une enveloppe de longueur _e contenant une sinusoïde de période T. Ce train d’onde peut être qualifié de monochromatique, lorsque il contient essentiellement de la longueur d’onde  = cT

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12 Trois types de sources:

- Sources ponctuelles ou étendues - Sources monochromatiques

- Sources cohérentes ou incohérentes

2.3. Description détaillée des ondes électromagnétiques

2.3.1. Ondes lumineuses sinusoïdale plane

Une onde plane est caractérisée par des surfaces d’onde planes.

Supposons que les plans d’onde sont portés par les axes y et z. Le vecteur d’onde est alors constant et porté par l’axe x. Le vecteur d’onde associé à une onde est constant en tout point de l’espace. Une telle onde est décrite par un champ qui s’écrit au point M d’abscisse x ^E

 

^{ }

 

^{ }

^

^

^{ }

E ,  ,  0exp  E0

Le champ , de module constant, appartient au plan (M, y, z).

x y

z

k www.alloacademy.com

13 2.3.2. Ondes lumineuses sinusoïdales sphériques

Une onde sphérique est caractérisée par des surfaces d’onde sphériques ; ce type d’onde est plus classique puisque générée par une source ponctuelle. Le vecteur d’onde qui est associé est radial en coordonnées sphériques. ^E

 

^{ }

^

^

^{ }

Dans chaque direction radiale de propagation, le champ est contenu dans le plan ( , ) ^e_ e_

l’amplitude E₀ du champ électrique décroît en 1/r, ce qui permet d’écrire finalement le champ électrique d’une onde sphérique sous la forme :

S

  ^{  }

^

^{ }

r t A E t r

E ,   ⁰ exp 

Le vecteur ^A₀ , de module constant, étant contenu dans le plan ( , ) e_ e_

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14 2.3.3. Ondes lumineuses sinusoïdales cylindriques

L’onde est dite cylindrique si ses surfaces d’onde sont des cylindres coaxiaux. Le vecteur d’onde est alors radial.

Pour qu’une onde cylindrique le reste indéfiniment, l’amplitude en coordonnées cylindriques (,,z) doit être indépendante de  et de z. En revanche, elle décroit en 1/^1/2, car l’intensité de l’onde intégrée sur la surface du cylindre se conserve nécessairement. L’onde cylindrique a donc une expression de la forme :

2.4. Réflexion et réfraction d’une onde lumineuse. Coefficients de réflexion et de réfraction

Un faisceau lumineux se propageant d’un milieu (1) d’indice n₁ vers un milieu (2) d’indice n₂ deux faisceau, un réfléchi et le deuxième réfracté.

En optique géométrique, les lois de Descartes donnent :

' i i 

Pour le rayon réfracté : les deux angles incident et réfracté sont reliés par la relation :

) sin(

)

sin(

1

i n i

n 

( , ) C cos( )

A











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15 Introduisons les coefficients de réflexion r et de réfraction qu’on appellera de transmission t. Ils sont déterminés par les indices de réfraction des milieux.

• Lorsque le champ électrique est normal au plan d’incidence, on obtient :

) cos(

) cos(

) cos(

2 )

cos(

) cos(

) cos(

) cos(

2 2

1 1

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

i n

i n

i t n

i et n

i n

i n

i r n

 



 

• Lorsque le champ électrique est parallèle au plan d’incidence, on obtient :

) cos(

) cos(

) cos(

2 )

cos(

) cos(

) cos(

) cos(

1 2

2 1

1 1

1 2

2 1

1 2

2 1

i n

i n

i t n

i et n

i n

i n

i r n

 



 

Si l’onde incidente est normale à la surface séparant entre les deux milieux, les coefficients deviennent :

2 1

1 2

1 2

1 2

n n t n n et

n n r n

 



  On a

t r 

 1

On définit également les coefficients énergétiques de réflexion et de transmission R et T par :

2 1 1

2 2 2

cos cos t

i n

i T n

et r

R 

On retrouve R + T = 1

Cette relation traduit le fait que la somme de l’intensité réfléchie et de l’intensité transmise est égale à

l’intensité incidente.

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16 Réflexion sur un miroir

Le cas de la réflexion de la lumière sur un miroir est un cas particulier du problème général de la réflexion/réfraction à l’interface de deux milieux d’indices différents. Pour caractériser la surface d’un miroir, on peut dire qu’il s’agit d’une surface de séparation telle que : R = 1 et T = 0

Cette condition est satisfaite quel que soit le milieu d’incidence.

On en déduit que :

r = -1 et t = 0.

3. Détecteurs

 Le détecteur permet de mesurer l’énergie transportée par un rayonnement (e.m).

Le détecteur est un capteur physique qui transforme le rayonnement (e.m) en un signal, qui est généralement électrique afin d’obtenir une information quantitative.

3.1. Définitions

Deux types de détecteurs:

- Détecteur photonique: l’absorption d’un photon fait passer un électron du matériau vers un état excité, c’est l’effet photoélectrique.

- Détecteur thermique: l’absorption du rayonnement se traduit par une élévation de température du matériau, laquelle est ensuite convertie en signal électrique.

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17

 Le plus ancien détecteur utilisé est l’œil humain.

3.2. Caractéristiques d’un photodétecteur

 La sensibilité: R=S/Φ; rapport du signal électrique d’entrée S et le flux énergétique incident Φ. Souvent le signal d’entrée est un courant électrique R=I/Φ.

3.3. Intensité d’une onde lumineuse

- Un détecteur de section utile S fournit un signal proportionnel à , est la moyenne de calculée sur le temps de réponse du détecteur.

- La puissance est instantanée émise est

- L’intensité lumineuse est défini comme étant la puissance surfacique moyenne rayonnée par l’onde, soit , k étant un facteur de proportionnalité _IkE²_

Exemple:

Soit une onde lumineuse telle que l’intensité lumineuse de l’onde est: E E_xe_x E_ye_y











 k E

k E

E

I



E²



E² S

2

E

2

E k P

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18

Chapitre 2 Polarisation de la lumière

1. Notion de polarisation

On sait depuis la théorie de Maxwell que la lumière est une vibration électro-magnétique de très haute fréquence. Les grandeurs qui se propagent sont les vecteurs champ électrique E et champ magnétique B. Dans le vide, ces champs sont transverses, c'est-à-dire qu'ils vibrent dans le plan perpendiculaire à l'axe de propagation. On rappelle les principaux résultats de la théorie électromagnétique appliquée aux ondes planes progressives monochromatiques (OPPM) :

1.1. Nature vectorielle de la lumière

, , orthogonaux entre eux

/ / , vitesse de phase

E B k v





 

 

E B k

B k E

Structure d'une OPPM dans le vide

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19 Ces propriétés, valables dans le vide avec v = c, le restent dans les milieux isotropes, avec v = c/n, k = n.k₀ (n indice de réfraction). Elles restent également valables pour toute onde monochromatique, plane ou non, k désignant alors le vecteur d'onde local orthogonal à la surface d'onde.

Note : dans les milieux transparents, E et B vibrent en phase. Mais dans les milieux conducteurs ou fortement absorbants, k devient complexe, E et B ne vibrent plus en phase.

Ayant défini pour l'onde électromagnétique une direction de propagation (celle du vecteur k), il reste à définir selon quelles directions du plan transverse vibrent les vecteurs E et B, ou plus généralement quelles sont les trajectoires suivies par les extrémités de ces deux vecteurs. Ceci définira l'état de polarisation de l'onde électromagnétique.

1.2. Lumière polarisée et lumière non polarisée

Souvenons-nous que dans une source lumineuse la lumière est émise aléatoirement par les atomes excités. S'il n'y a dans la source aucun système capable de privilégier un axe particulier de vibration, la direction du vecteur E varie aléatoirement dans le plan transverse : la lumière est alors dite non polarisée.

Pour décrire l'état de polarisation, il suffit de considérer l'un des deux champs, par convention le champ électrique, puisqu'on sait que le champ magnétique vibre de la même manière, dans la direction définie par le produit vectoriel kxE.

Inversement, si le vecteur E vibre selon une direction bien déterminée, ou s'il décrit une trajectoire périodique bien déterminée dans le plan transverse, on dit que la lumière est polarisée.

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20

Il est essentiel de ne pas confondre polarisation et cohérence : une lumière fortement cohérente peut être non polarisée, et inversement une lumière polarisée peut être faiblement cohérente. Ces deux notions sont totalement indépendantes.

2. Les divers états de polarisation

2.1. Etats rectilignes, circulaires et elliptiques

Un état de polarisation est dit rectiligne si le champ électrique vibre parallèlement à un axe déterminé du plan d'onde. On peut dire dans ce cas que l'onde a une polarisation rectiligne, ou qu'elle est polarisée rectiligne (mais pas rectilignement, cet adverbe n'existe pas).

Soit un plan d'onde quelconque (Oxy). On peut bien sûr toujours choisir d'appeler par exemple Ox l'axe parallèle à la direction de polarisation (Oz désignant le plus souvent l'axe de propagation). Dans ce cas le vecteur champ électrique instantané E(t) a pour composantes :

2.1.1. Etats rectilignes

( ) cos( )

( ) ( ) 0

x m

y

E t E t

t E t

 

 

   E 

avec E_m l'amplitude de l'onde,  sa phase à l'origine des dates.

Toutefois, on peut être amené à choisir d'autres axes de référence, notamment quand la polarisation rectiligne de l'onde est de direction variable ou qu'elle est amenée à subir des modifications en traversant un système

optique.

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21 L'expression la plus générale d'un état rectiligne projeté sur deux axes

orthogonaux est donc :

x y

a b

α

avec a et b deux constantes réelles, telles que :

cos sin

m m

a  E  b  E 

( ) cos( )

( ) ( ) cos( )

x y

E t a t

t E t b t

 

 

 

   

E 

α désignant l'angle entre la direction de polarisation et l'axe (Ox). Notons que sur la figure précédente, l'état de polarisation rectiligne est logiquement symbolisé par une double flèche symétrique par rapport à l'origine : comme le vecteur champ électrique s'inverse à chaque période, il va de soi que l'angle α d'un état rectiligne est défini modulo . Notons aussi que changer a en –a (ou b en –b) revient à changer α en –α (ou indifféremment en  - α).

On appelle plan de polarisation le plan formé par l'axe de polarisation rectiligne et l'axe de propagation.

On peut préparer un état de polarisation rectiligne en plaçant un polariseur sur le trajet d'un faisceau non polarisé. Quel que soit le principe du polariseur (voir plus loin, § 3), celui-ci laisse passer l'une des composantes du champ et écarte l'autre (ou l'absorbe) : par conséquent, quand la lumière incidente est non polarisée, un polariseur parfait ne peut transmettre (au mieux) que 50% de l'intensité incidente.

Représentation symbolique du polariseur en perspective de profil

(P)

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22 2.1.2. Etats circulaires

L'état de polarisation est dit circulaire si le vecteur champ électrique tourne dans le plan d'onde à vitesse angulaire constante , pulsation de l'onde monochromatique, son module restant constant.

On peut dire dans ce cas que l'onde a une polarisation circulaire, ou bien qu'elle est polarisée circulaire (mais pas circulairement, cet adverbe n'existe pas).

La projection d'un état de polarisation circulaire sur deux axes orthogonaux quelconques (Ox) et (Oy) du plan d'onde est de la forme :

Signe + :

polarisation circulaire gauche Signe – :

polarisation circulaire droite y

x

y

x

Sens trigo pour l'observateur qui reçoit l'onde se propageant selon +z

Sens horaire pour l'observateur qui reçoit l'onde se propageant selon +z

Remarque : un autre choix d'axes orthogonaux x et y ne ferait que changer la

phase  à l'origine des dates.

( ) cos( )

( ) ( ) sin( )

x y

E t a t

t E t a t

 

 

 

   

E 

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23 2.1.3. Etats elliptiques

Les états rectilignes et circulaires sont des cas particuliers. On va montrer que dans le cas le plus général où on compose deux états rectilignes orthogonaux dont les amplitudes et les phases sont quelconques, on obtient un état elliptique.

En choisissant la composante E_x du champ comme référence de phase, et en notant x et y les composantes de E pour alléger l'écriture, on a :

où a et b sont supposés positifs, et  pris dans l'intervalle [0, 2[. Pour déterminer la trajectoire suivie par l'extrémité du vecteur E, il faut éliminer la variable t. En développant y/b :

/ cos cos sin sin

y b   t    t 

( ) cos

( ) ( ) cos( )

x t a t

t y t b t



 

 

  

E 

(

)

on peut exprimer sint en fonction de x et y :

sin cos

sin sin

y x

t b a

 

 

 

et en remplaçant cost par / ,x a

et éliminer le temps grâce à la relation cos²t + sin²t = 1 : On obtient finalement l'équation cartésienne :

2 2

2

2 2

2 cos x y xy sin

a b ab

 

  

qui est celle d'une ellipse. D'après (*), il est évident que cette ellipse est inscrite dans le rectangle délimité par x = ± a, y = ± b. On peut déterminer l'inclinaison de ses axes X et Y, en posant :

(**)

cos sin

sin cos

x X Y

y X Y

 

 

 

  

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24 La valeur de α sera celle qui annulera le terme en XY. Exprimons

d'abord x², y² et 2xy en fonction de X et Y :

y

x α X Y

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

cos sin sin 2

sin cos sin 2

2 ( ) sin 2 2 cos 2

x X Y XY

y X Y XY

xy X Y XY

  

  

 

  

  

  

2 2

1 1 2 cos 2 cos

sin 2 0

b a ab

 

     

 

 

L'annulation du terme rectangulaire en XY dans l'équation (**) donne :

soit encore :

2 2

2 cos tan 2 ab

a b







2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

cos sin sin 2 cos sin cos sin 2 cos

sin

X Y

a b ab a b ab

        

   

     

   

   

et l'équation de l'ellipse sur ses propres axes devient :

2 2

2 2 1

X Y

A  B 

ce qui peut encore s'écrire :

où A et B, supposés positifs, sont les longueurs des demi-axes de l'ellipse. On obtient assez facilement leurs expressions en fonction de a, b et  :

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos sin sin 2 cos

cos sin sin 2 cos

sin

A a b ab

B b a ab

AB ab

   

   



   

   

 



2 2 2 2

A B a b

Il résulte des expressions précédentes :

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25 Le sens de rotation de l'ellipse dépend de  : sens trigo si   ]0, [, sens horaire si   ], 2[.

Cette égalité est physiquement évidente, l'intensité de l'onde électromagnétique étant indépendante des axes choisis pour exprimer sont état de polarisation.

Etats ellipitiques tracés pour différentes valeurs particulières du déphasage ( désignant le retard de phase de E_y sur E_x)

Les coordonnées des points d'intersection avec les axes et des points de tangence sur le rectangle s'obtiennent aisément en revenant à l'équation paramétrique (*).

 = 0  = /4  = /2  = 3/4

 =   = 5/4  = 3/2  = 7/4

ère

nde

pour 0 : 0 , 1 diagonale du rectangle pour : 0 , 2 diagonale du rectangle

x y a b x y a b



 

  

  

Pour  = 0 ou , on a évidemment des états rectilignes, l'équation (**) donnant alors :

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26 Pour  voisin de 0 ou , on a des états elliptiques quasi rectilignes; l'ellipse est très allongée, avec A >> B, que l'on déduit facilement des équations précédentes :

2 2 2

2 2

sin ( 1)

A a b

B ab

A a b



 

 

 x

α Y X

2.2. Production et analyse de la lumière polarisée rectilignement

2.2.1. Les polariseurs et les analyseurs: définitions

- Le polariseur est un dispositif qui permet de polariser rectilignement une lumière incidente non polarisée. Il est possible d’utiliser le même dispositif pour déterminer la direction de polarisation d’une lumière déjà polarisée rectilignement ; il est alors appelé analyseur.

- Un polariseur est un filtre qui transforme une onde quelconque en onde polarisée rectilignement, selon une direction caractéristique du polariseur.

u

-Une onde est polarisée rectilignement s’il existe une position du polariseur pour laquelle l’intensité de la lumière transmise est nulle.

2.2.2. Analyse d'un état de polarisation. Loi de Malus

On peut analyser expérimentalement l'état de polarisation d'une onde en mesurant l'intensité transmise à travers un polariseur tournant. Ce polariseur est alors logiquement appelé analyseur. Le graphe expérimental I_t() obtenu en fonction de la position angulaire de l'analyseur permet de déterminer si l'onde, supposée polarisée, est rectiligne, circulaire ou elliptique, et, dans ce dernier cas, quelle est l'inclinaison des axes de l'ellipse et le

rapport B/A de leurs longueurs.

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27 Dans le cas d'une polarisation circulaire, l'intensité transmise par le polariseur tournant demeure constante.

Dans le cas d'une polarisation elliptique, l'intensité transmise passe par des maxima et des minima, dont on peut montrer facilement que le rapport I_max/I_min vaut A²/B².

Remarque importante en pratique : les détecteurs sont en général linéaires (ils fournissent une tension ou un courant proportionnel à la puissance lumineuse reçue) mais présentent parfois un signal d'obscurité, qu'il est bien sûr essentiel de mesurer au préalable, en coupant le faisceau, pour ensuite le retrancher si l'on veut déterminer sans erreur l'intensité transmise. Ceci permet également de s'affranchir de la lumière ambiante, à condition de couper le faisceau à la source (et non pas juste devant le détecteur !)

(A)

Détecteur lumière polarisée

à analyser

polariseur tournant servant d'analyseur

Intensité transmise I_t

Rotation de l'analyseur 

A² B²

x α

Y  X

En effet, la polarisation elliptique peut être considérée comme la composition de deux polarisations rectilignes orthogonales, d'axes X et Y, et d'amplitudes complexes respectives A et iB, puisqu'elles vibrent en quadrature. L'analyseur ne laisse passer que la projection sur son axe de chacune de ces deux polarisations rectilignes.

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28 Soit α l'angle que fait le grand axe X avec un axe fixe. Quand l'axe de l'analyseur fait un angle  avec ce même axe fixe, il fait l'angle (-α) avec le grand axe X de l'ellipse, et l'angle complémentaire (90°-+α) avec le petit axe Y. L'amplitude complexe transmise par l'analyseur est donc :

( ) cos( ) sin( )

A

  A     iB   

et l'intensité :

I

( )   A

cos (

   )  B

sin (

   )

Elle varie de B² à A². Elle est constante si A = B (cas de la polarisation circulaire).

Dans le cas B = 0, c'est-à-dire celui d'une onde incidente de polarisation rectiligne faisant l'angle α avec l'axe fixe, et d'intensité incidente I₀ = A², on retrouve la loi de Malus :

2

( )

cos ( )

I

  I   

Note importante : Cette méthode simple ne permet pas de déterminer le sens de rotation (droit ou gauche) d'une polarisation circulaire ou elliptique. Elle ne prouve pas non plus que la lumière soit parfaitement polarisée (une lumière partiellement polarisée donnera le même type de graphe I_t()). Notamment, on ne peut pas distinguer ainsi une lumière polarisée circulaire d'une lumière non polarisée.

Elle consiste à établir la relation entre les intensités lumineuses incidente I₀ (à la sortie du polariseur) et l’intensité transmise I_t() à la sortie de l’analyseur.

N.B. On ne peut pas appliquer la loi de Malus entre les intensités I₀ et I car I₀ ne correspond pas à une lumière polarisée. Lumière non polarisée Lumière polarisée (après traversée du

polariseur)

Lumière polarisée (après traversée de l’analyseur) aléatoire en direction et en norme

I₀ I = I₀/2

up

E

E E'Ecos(



) ( cos

' I ² 

I 

E

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29

3. Changements d'état de polarisation

3.1. Passage d'un état non polarisé à un état rectiligne

Le dichroïsme est l'absorption sélective, par certains matériaux, de l'un des deux états de polarisation de la lumière (généralement un état rectiligne).

3.1.1. Polarisation par dichroïsme

Les polariseurs dichroïques les plus simples sont constitués d'un film polaroïd, c'est-à-dire une feuille de plastique que l'on a enduite d'un matériau organique à longues molécules puis étirée. Quand le champ électrique de l'onde est parallèle à la direction d'étirement, l'absorption est très forte (> 99,9%), alors qu'elle est modérée (environ 40%) pour la composante perpendiculaire. L'inconvénient de ces polariseurs bon marché est que leur tenue au flux lumineux est limitée. Un faisceau laser de quelques centaines de mW suffit à les endommager.

Il existe des cristaux dichroïques (par ex. la tourmaline, borosilicate d'aluminium), dont la tenue au flux est meilleure que celle des films organiques. Mais comme l'effet dichroïque dans les cristaux dépend fortement de la longueur d'onde (d'où son nom), la plage spectrale d'utilisation de ces polariseurs est limitée.

3.1.2. Polarisation par biréfringence

Certains cristaux dits biréfringents, permettent de fabriquer de très bon polariseurs en utilisant soit le phénomène de double réfraction, soit un phénomène de réflexion totale sélectif en polarisation. Quel que soit le principe adopté (Rochon, Wollaston, Glan-Taylor, Glan-Thomson), le polariseur est constitué de deux prismes accolés, éventuellement séparés par une lame d'air ou par une couche de faible indice (baume du Canada). A l'interface des deux prismes, l'une des composantes de la polarisation est transmise directement, l'autre est soit déviée, soit totalement réfléchie, selon le montage.

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30 Problème pratique : les polariseurs tournants ont généralement un repère qui défile

devant une monture graduée, dont le zéro indique en général la verticale. Mais il arrive souvent que le repère ne corresponde pas exactement à l'axe de polarisation.

Comment faire, avec deux polariseurs, pour déterminer leurs décalages ?

0° 93°

3.1.3. Polarisation par réflexion

3.2. Passage d'un état polarisé à un autre. Lames retard

3.2.1. Lames retard. Axes neutres

Les lames retard (lames demi-onde et lames quart-onde) sont des lames à faces parallèles taillées dans des cristaux biréfringents (quartz ou mica), qui permettent de modifier l'état de polarisation de la lumière.

Une lame biréfringente présente toujours dans son plan deux axes perpendiculaires, appelés axes neutres ou lignes neutres, qui ont la propriété suivante : si la polarisation incidente est rectiligne et parallèle à l'un des axes neutres de la lame, elle ne subit aucune modification en traversant la lame.

x₁ x₂

x₁ x₂

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31 En revanche, tout autre état de polarisation ressortira généralement modifié.

A l'entrée de la lame biréfringente, le champ électrique de l'onde incidente se décompose sur les axes neutres en deux composantes E₁ et E₂, qui peuvent présenter éventuellement une différence de phase initiale

₀ (nulle si la polarisation incidente est rectiligne).

Du fait des propriétés optiques anisotropes de la lame, les deux composantes E₁ et E₂ sont transmises à des vitesses différentes. Elles ressortent donc avec un certain déphasage supplémentaire , qui est proportionnel à l'épaisseur traversée, et qui s'ajoute au déphasage initial ₀. (On verra comment calculer ce déphasage au chapitre suivant.)

3.2.2. Basculement d'une polarisation rectiligne.

Lame demi- onde

Une lame est dite demi-onde si le déphasage qu'elle introduit entre les deux composantes de la polarisation est un multiple impair de  :

(2 m 1) , m

    

L'entier m s'appelle l'ordre de la lame. Le déphasage, positif par convention, désigne le retard de phase de la composante lente sur la composante rapide.

Supposons que la polarisation incidente soit rectiligne et fasse un angle  par rapport à l'axe lent, noté x₁. A l'entrée de la lame, les deux composantes sont en phase :

1 2

( ) cos

( ) ( ) cos

E t a t

t E t b t





 

 

E 

La composante rapide E₂ ressort de la lame avec une avance de phase  multiple impaire de . Soit E' le vecteur champ électrique à la sortie. Tout se passe comme si l'une des composantes avait changé de signe :

, avec b/a = tan 

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32

' 1 ' 2

( ') cos ' '( ')

( ') cos( ' 2 ) cos '

E t a t

t

E t b t m b t



   

 



    

E 

La polarisation en sortie est donc rectiligne, mais elle fait l'angle - avec l'axe x₁. Elle a donc basculé de 2.

 x₁ x₂

-

3.2.3. Passage d'une polarisation rectiligne à une polarisation circulaire ou elliptique.

Lame quart-onde

(2 1) ,

m 2 m

   

Une lame est dite quart-onde si le déphasage qu'elle introduit entre les deux composantes de la polarisation est un multiple impair de /2 :

La lame demi-onde (dite "lame /2") est très souvent utilisée dans les montages pour basculer la polarisation.

Mais attention, elle ne remplit ce rôle qu'à la longueur d'onde pour laquelle elle est conçue.

N

L'entier m s'appelle l'ordre de la lame. Le déphasage , positif par convention, désigne le retard de phase de la composante lente.

Supposons que la polarisation incidente soit rectiligne et fasse un angle  par rapport à l'axe lent, noté x₁. A l'entrée de la lame, les deux composantes sont en phase comme précédemment. Soit E' le champ à la sortie de la lame. En prenant sa composante E'₁ comme référence de phase, on obtient :

' 1

' 2

( ') cos ' '( ')

( ') cos( ' / 2) sin '

E t a t

t E t b t m b t



   

 



    

E 

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33

La polarisation en sortie est donc elliptique. Dans le cas  = 45°, elle est circulaire (gauche si m est impair, droite si m est pair). Il va de soi que le sens de rotation s'inverse pour  = -45°.

x₂

x₁

45°

La lame quart-onde (dite "lame /4") est souvent utilisée pour convertir une polarisation rectiligne en polarisation circulaire ou inversement. Mais elle peut aussi être utilisée pour convertir une polarisation elliptique quelconque en polarisation rectiligne (voir exercice ci-après).

Remarquons que si l'on place un miroir en sortie du montage précédent, la lumière polarisée circulaire redevient rectiligne après avoir retraversé la lame, mais à 90° de la polarisation incidente (la lame quart-onde traversée deux fois produit le même effet qu'une lame demi-onde en transmission). On verra au chapitre suivant que c'est sur ce principe que fonctionnent certains afficheurs à cristaux liquides.

Cette remarque montre que le principe du retour inverse de la lumière ne s'applique pas à la polarisation.

Exercice de cours :

On traite chacune des polarisations ci-dessous par une lame quart-onde d'ordre zéro, dont l'axe lent coïncide avec la première bissectrice des axes x et y. La lumière se propage vers l'observateur. Représenter les polarisations sortantes correspondantes.

x y

x y

x y

x y

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34

4.1. Lunettes de soleil

4. Applications

4.2. Laser impulsionnel

4.3. Cinéma 3D

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35 Thomas Young, 13 juin 1773, Milverton (Somersetshire) – 10 mai 1829, Londres.

C’est à ce médecin anglais aux connaissances universelles, que revient le mérite d’avoir véritablement jeté les bases de la théorie ondulatoire de la lumière. Auteur d’une thèse sur la production de la voix humaine, il avait une parfaite connaissance des phénomènes de propagation du son. C’est entre 1800 et 1807 qu’il fait ses travaux en optique, en commençant par s’intéresser à la vision des couleurs, établissant qu’elle est due au mélange de trois couleurs fondamentales. Il s’intéressa ensuite `a la diffraction de la lumière, aux franges des lames minces et on peut considérer qu’il a découvert la notion d’interférences, en réalisant ce que nous connaissons aujourd’hui sous le nom d’expérience des “trous d’Young” ! A l’époque, la publication de ses travaux fut couverte d’insultes par les tenants de la théorie corpusculaire de Newton, comme Lord Brougham et David Brewster. Les travaux contemporains d’Augustin Fresnel en France furent également critiqués de manière virulente par des physiciens aussi respectables que Laplace et Biot...

Thomas Young fut également un génie dans d’autres domaines de la science. Il estima en 1805 l’ordre de grandeur de la taille des molécules et initia le calcul des assurances sur la vie ! Enfin, sa connaissance de multiples langues orientales lui permit de jouer un rôle essentiel dans le déchiffrement des hiéroglyphes. En étudiant la fameuse Pierre de Rosette découverte en 1799 lors de la Campagne d’Egypte de Napoléon, il réussit à décoder les inscriptions hiéroglyphiques sous la forme d’un système alphabétique, dont Champollion formulera ensuite le système de grammaire.

Historique

Chapitre 3 Interférences lumineuses – Notions de bases

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36 Il établit en 1821 la théorie de la polarisation de la lumière. Associé `a François Arago, il démontra que la vibration lumineuse est transverse, et non pas longitudinale comme il le pensait initialement. A partir de l’étude du phénomène d’aberration des étoiles, il avança l’idée d’un référentiel absolu, appelé “éther”, pour la propagation de la lumière. Il ouvrit ainsi la voie aux travaux qui conduiront plus tard à la théorie de la relativité, en donnant pour la première fois une formule cruciale qui invalide l’addition des vitesses selon les lois énoncées par Newton. Il succomba à l’age de 39 ans de la tuberculose. Les propos suivants caractérisent sa démarche scientifique : “Quand une hypothèse est vraie, elle doit conduire à la découverte des rapports numériques qui lient entre eux les faits les plus éloignés. Lorsqu’elle est fausse au contraire, elle peut représenter à la rigueur les phénomènes pour lesquels elle a été imaginée, comme une formule empirique représente les mesures entre les limites desquelles elle a été calculée ; mais elle ne saurait dévoiler les noeuds secrets qui unissent ces phénomènes à ceux d’une autre classe”. A l’occasion du congrès Solvay de 1927 auquel participèrent tous les pères fondateurs de la mécanique quantique, l’ensemble des participants se déplaça de Bruxelles à Paris pour venir célébrer à la Sorbonne le centenaire de la mort de Fresnel.

Le seul portrait connu d’Augustin Fresnel, né le 10 mai 1788 à Broglie (Eure) et mort le 14 juillet 1827 à Ville d’Avray. Il entre é l’Ecole Polytechnique et en sort comme ingénieur des Ponts et Chaussées. Après s’être opposé au retour de Napoléon lors des Cent-Jours, il est destitué et se retire dans un village du Calvados où il va se consacrer à l’étude de l’optique. Il fut le premier à élaborer à partir de 1815 une description complète du caractère ondulatoire de la lumière.

Son travail, aussi bien expérimental que théorique, eut trait aux phénomènes de diffraction, d’interférences et de polarisation. Pour étudier les interférences entre deux ondes, il inventa divers dispositifs qui portent aujourd’hui son nom : miroirs doubles de Fresnel, biprisme de Fresnel. Menant une double carrière de physicien et d’ingénieur, il mit au point vers 1820 les lentilles à échelons – dont on peut admirer la première réalisation au Musée des Arts et Métiers – qui furent ensuite installées dans tous les phares, et que l’on trouve plus communément aujourd’hui sur tous les systèmes de rétroprojection.

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37

2.1. Superposition de deux ondes électromagnétiques

2. Principe de superposition

- Avec deux sources ponctuelles de fréquences différentes ou de mêmes fréquences il n y’a pas d’interférences.

En effet, les deux sources émettent de façon aléatoire. On dit que les deux sources sont incohérentes.

- Le phénomène d’interférence ne peut être observé que si la lumière est produite par une source unique et cohérente.

1. Introduction

- On dit qu’il y’a interférence entre deux ondes S₁ d’intensité I₁ et S₂ d’intensité I₂ ou que deux ondes interférent, lorsque l’intensité résultante I de la superposition de deux ondes n’est pas la somme de leurs intensités:

I ≠ I₁+I₂ - Historiquement : lumière + lumière = obscurité

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38

) ,

2(r t E

correctement décrite par le champ E(r,t)

Le principe de la superposition des ondes résulte de la linéarité des équations de Maxwell. Si une onde décrite par un champ électrique E₁(r,t) rencontre une seconde onde décrite

) , ( )

, ( )

,

( r t E

r t E

r t

E  

l’intensité lumineuse résultante, qui ne vérifie pas des équations linéaires, n’est pas égale à la somme des intensités lumineuses.

Mais

) ( )

( )

( r I

r I

r

I  

Déterminons les conditions d’interférence de deux ondes. Pour ceci on considère deux ondes harmoniques d’une phase (t). L’onde 1 étant prise comme référence de phase, nous pouvons écrire les champs électriques associés aux deux ondes :

 





2 2

1 1 1

1 1

) ( .

exp ) ( )

, (

. exp ) ( )

, (

e t i t i r k i r

E t

r E

e t i r k i r

E t

r E

















par un champ , l’onde résultante est

Le principe de superposition des ondes donne le champ résultant E(r,t)

) , ( )

, ( )

,

(r t E₁ r t E₂ r t

E  

L’intensité lumineuse résultante est donnée par :

  ^{ }





2 1 2

1( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos . ( ) .

)

(r I r I r I r I r k k r t i t e e

I       Terme d’interférence entre les deux ondes

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39

  ^{ }

 ^{. ( )}  ^{. 0}

cos







 



 k k r t i t e e

Si   

-Si e₁.e₂  0 cette condition est la condition de la cohérence de polarisation.

  ^{ }

 ^{. ( )}  ⁰

cos







  

 k k r   t i  t

 

 

  0

- Autrement dit, il y’a interférence entre deux ondes si les ondes ont même fréquence et que leur déphasage est constant. Cette condition est appelée cohérence spatiale.

En résumé, deux ondes interfèrent si les conditions ci-dessous sont réalisées.

Condition de cohérence de polarisation : les directions de polarisation de deux ondes ne sont pas orthogonales ; dans la pratique, les ondes qui interfèrent sont souvent prises avec le même état de polarisation.

Condition de cohérence spatiale : les deux ondes ont même fréquence et leur déphasage est constant.

Ces deux conditions sont vérifiées lorsque les deux ondes qui interfèrent sont issues de la même source lumineuse.

Système optique

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