Chapitre 9 : Développer ou factoriser un calcul

Chapitre 9 : Développer ou factoriser un calcul

Rappels :

● Une expression littérale est un calcul avec des lettres qu’on peut remplacer par des nombres : Aire (rectangle) = L x

l

● Le signe x peut être supprimé s’il y a une lettre, une parenthèse ou une racine.

Mais quand on remplace une lettre par un nombre, il faut remettre le signe x.

● Attention à bien écrire la lettre x arrondie pour ne pas confondre avec le signe x.

1) Réduire un calcul :

On réduit un calcul pour l’écrire plus simplement :

1) On supprime le signe x dès que c’est possible et on place le nombre devant la lettre :

Exemples :

x

x

x

=

x

² et 2 x

x

= 2

x

2 x 4 = 8 et 2 x 4

x

= 8

x

3

x

x 7 = 21

x

et 3

x

x 4

x

= 12

x

²

2) On additionne les nombres situés devant la même lettre ou la même puissance :

Exemples : 7

x

+ 2

x

= 9

x

3

x²

+ 5

x²

= 8

x²

Attention, on ne peut pas simplifier l’expression 7

x

+ 3

x²

3) On range les nombres par catégories sans les mélanger, d’abord les puissances, puis les lettres puis les nombres :

Exemple : 5 + 8

x²

+ 9

x

= 8

x²

+ 9

x

+ 5

2) Signe – devant une parenthèse :

Les calculs entre parenthèses se font en premiers.

Il faut enlever les parenthèses pour simplifier une expression littérale.

● Lorsqu’il y a le signe + ou rien devant une parenthèse, on l’enlève sans rien changer.

Exemple :

6

x

+ (2

x

+ 5) = 6

x

+ 2

x

+ 5 = 8

x

+ 5

● Lorsqu’’il y a le signe – devant une parenthèse, on l’enlève en « distribuant le signe – » à tous les nombres dans la parenthèse.

Exemples :

- (2 + 3) = -2 - 3 -(

x

+ 3) = -

x

– 3

-(2

x

+ 3) = -2

x

– 3

-(2

x

– 3) = -2

x

– (-3) = - 2

x

+ 3

6

x

– (2

x

+ 3) = 6

x

– 2

x

– 3 = 4

x

– 3

6

x

– (2

x

– 3) = 6

x

– 2

x

– (- 3) = 4

x

+ 3

3) Développer (a+b)(c+d) :

On développe (ou on distribue) pour enlever les parenthèses lorsqu’il y a un nombre ou une autre parenthèse devant.

2(cadeau + disque ) = 2 cadeaux + 2 disques 2(c + d) = 2c + 2d

On a « distribué le 2 » à tout ce qu’il y avait dans la parenthèse.

C’est vrai aussi lorsqu’on a (2+3) à la place de 2 :

(2+3)(cadeau +disque) = 2cadeaux + 2disques + 3cadeaux + 3 disques

(2+3)(c+d) = 2c + 2d + 3c + 3d

C’est vrai pour n’importe quel nombre :

(a+b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples : Développer et réduire chaque calcul

2(

x

+ 7) = l2

x

+ 14

(x + 2)(

x

+ 7) =

x²

+ 7

x

+ 2

x

+ 14 = l

x²

+ 9

x

+ 14

(3x + 2)(

x

+ 7) = 3

x²

+ 21

x

+ 2

x

+ 14 = l3

x²

+ 23

x

+ 14

(3x + 2)(4

x

+ 7) = 12

x²

+ 21

x

+ 8

x

+ 14 = 12

x²

+ 29

x

+ 14

On a aussi (

x

+ 3)² = (

x

+ 3)(

x

+ 3) =

x

² + 3

x

+ 3

x

+ 9 =

x

² + 6

x

+ 9 De même : (3x + 1)² = (3x + 1) (3x + 1) = 9 x² + 3x + 3x + 1 = 9x² + 6x + 1

4) Factoriser :

On factorise un calcul lorsqu’on veut que la dernière opération soit une multiplication. C’est le contraire de développer.

Pour factoriser, on remarque un même nombre que l’on réécrit, on ouvre une parenthèse et on y recopie l’énoncé sans le nombre. Puis on réduit.

Exemples :

2 cadeaux + 2 disques = 2(cadeau + disque) 2c + 2d = 2(c + d)

5a + 5b = 5(a + b) 3

x

- 3

y

= 3(

x

-

y

)

2x(3

x

+ 4) + 2x(4

x

+ 5) = 2x(3

x

+ 4 + 4

x

+ 5) = 2x(7

x

+ 9) 3x²(3

x

+ 4) + 3x²(4

x

+ 5) = 3x²(3

x

+ 4 + 4

x

+ 5) = 3x²(7

x

+ 9)

(3x + 2)(5x +9) + (3x + 2)(2x – 5) = (3x + 2)(5x + 9 + 2x - 5) = (3x + 2)(7x + 4)

5) Développer plus rapidement avec les identités remarquables :

Le développement de certains calculs se simplifie.

On les appelle les identités remarquables . Il y en a trois.

Exemple :

(x + 3)²= (

x

+ 3)(

x

+ 3) =

x

² + 3

x

+ 3

x

+ 3² =

x

² + 2x3

x

+ 3² = x² + 2x x 3 + 3² Lorsqu’on développe (1^er nombre + 2^ième nombre) au carré, on obtient toujours : 1^er nombre au carré + 2 fois premier nombre x deuxième nombre + deuxième nombre au carré.

Connaître par cœur ces résultats permet de développer plus rapidement ce type de calculs, sans réécrire les parenthèses :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b² les trois identités remarquables (a + b)(a - b) = a² - b²

Exemples :

(2x + 3)² = 4x² + 2 x 2x ^ 3 + 9 = 4x² + 12x + 9 (3x - 5)² = 9x² - 2 x 3x  5 + 25 = 9x² - 30x + 25 (5x + 4)(5x - 4) = 25x² - 16

Remarque : Il n’est pas indispensable de connaître les identités remarquables pour développer un calcul :

(5 x + 4)(5 x – 4) = 25 x² + 20 x – 20 x – 16 = 25 x² - 16

6) Factoriser avec les identités remarquables:

Connaître les identités remarquables dans l’autre sens permet de factoriser ce type de calculs :

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² - 2ab + b² = (a - b)² a² - b² = (a + b)(a - b)

Exemples :

4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²

x² - 16 = (x + 4)( x - 4) 25x² - 16 = (5x + 4)(5x - 4)

Remarque : on vérifie en développant qu’il n’y a pas d’erreur

Annexe : extrait du programme officiel : Factorisation.

- Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent.

Les travaux se développent dans trois directions :

- utilisation d’expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ;

- utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes ; - utilisation pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique).

Les activités visent la maîtrise du développement ou de la factorisation d’expressions simples.

Identités remarquables.

- Connaître les identités : (a + b)(a – b) = a² – b² (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b²

- Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples.

Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l’existence des identités

remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique mais aucune mémorisation des formules n’est exigée.