TABLETTES MATHEMATIQUES DE NIPPUR

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TABLETTES MATHEMATIQUES DE NIPPUR

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Les études qui suivent sont publiées sous l’entière responsabilité de leurs auteurs et non de l’Institut français d’études anatoliennes Georges-Dumezil qui a contribué à leur édition.

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VARIA ANATOLICA XVIII

TABLETTES MATHEMATIQUES DE NIPPUR

Christine PROUST

PREMIERE PARTIE Reconstitution du cursus scolaire

DEUXIEME PARTIE

Edition des tablettes conservées au Musée Archéologique d’Istanbul, avec la collaboration de Veysel Donbaz et d’ Asuman Dönmez Translittération des textes lexicaux et littéraires par Antoine Cavigneaux

INSTITUT FRANÇAIS D’ETUDES ANATOLIENNES GEORGES - DUMEZIL

DE BOCCARD Edition - Diffusion 11, rue de Médicis

75006 Paris 2007

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Photo de couverture : calcul de surface (Ni 18, Musée Archéologique d’Istanbul)

Ce volume a été composé et imprimé par Zero Prodüksiyon Ltd.

Aslanyatağı sok. 19/2, 80060 Cihangir-İstanbul/Turquie.

La publication a pu en être réalisée grâce au concours financier du Ministère des Affaires Étrangères et de Packard Humanities Institute.

L’auteur a bénéficié, pour la rédaction de cet ouvrage, du soutien du Centre National du Livre.

Secrétaire aux publications : Aksel Tibet

La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les “copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privée du copiste et non destinées

à une utilisation collective” et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, “toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle,

faite sans le consentement de l’auteur ou des ses ayants droit ou ayants cause, est illicite”

(alinéa 1^er de l’article 40).

Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code Pénal.

ISBN ?????????

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A Feza, Nadia et Sakina

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TABLE DES MATIERES

Table des matières ... 7

Preface de Christian Houzel ... 11

Avant-propos ... 15

Introduction ... 17

PREMIERE PARTIE Reconstitution du cursus scolaire 1 Les sources ... 29

1.1 Les fouilles ... 29

1.2 La collection d’Istanbul ... 41

1.3 Le corpus ... 46

2 Les écoles de scribes ... 53

2.1 Sources littéraires ... 54

2.2 Données archéologiques ... 55

2.3 Le cursus scolaire ... 57

3 Nombres et unités de mesure ... 63

3.1 Système métrologique ... 63

3.2 Numérations additives ... 69

3.3 Numération sexagésimale positionnelle ... 73

4 Description des tablettes ... 79

4.1 Aspects matériels ... 80

4.2 Types de tablettes ... 83

4.3 Unités de texte ... 91

4.4 Styles ... 92

4.5 Marques de structure ... 94

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5 Niveau élémentaire ... 97

5.1 Séries métrologiques ... 97

5.2 Tables numériques ... 117

5.3 Les séries mathématiques élémentaires dans le cursus ... 144

5.4 Architecture des séries mathématiques élémentaires ... 150

5.5 Ordres de grandeur ... 157

6 Niveau avancé ... 163

6.1 Multiplication / division ... 165

6.2 Factorisation ... 170

6.3 Paires d’inverses et suites géométriques ... 176

6.4 Calcul des surfaces ... 190

6.5 Tableaux de calculs ... 202

6.6 Calcul des volumes ... 205

6.7 Le problème de l’arête du cube ... 218

6.8 Exercices et textes de référence ... 220

7 Les trois tablettes de problèmes de Nippur ... 223

7.1 CBS 11681 ... 223

7.2 CBS 12648 ... 227

7.3 Ni 5175* + CBS 19761* ... 233

7.4 Comparaison des trois tablettes ... 238

8 Les mathématiques à Nippur ... 241

8.1 Enseignement ... 241

8.2 Structure des listes ... 247

8.3 Les nombres ... 249

Annexes ... 253

Annexe 1 : mise en ordre du cursus mathématique ... 255

Annexe 2 : suites géométriques et puissances ... 263

Annexe 3 : données statistiques ... 267

Annexe 4 : systèmes métrologiques et numériques ... 277

Annexe 5 : carte ... 281

Annexe 6 : chronologie ... 282

Annexe 7 : glossaire ... 283

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Références ... 287

Références des tablettes citées ... 288

Sigles ... 294

Bibliographie ... 296

DEUXIEME PARTIE Edition des tablettes conservées au Musée Archéologique d’Istanbul, avec la collaboration de Veysel Donbaz et d’Asuman Dönmez Translittération des textes lexicaux et littéraires par Antoine Cavigneaux 1 Texte composite ... 311

Tables métrologiques ... 311

Tables numériques ordinaires ... 316

Tables de racines ... 323

2 Translittération des textes lexicaux et littéraires par Antoine Cavigneaux ... 325

3 Planches ... 357 4 Partition des textes mathématiques élémentaires (CD)

5 Catalogue des tablettes d’Istanbul (CD) 6 Photos (CD)

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Préface

Depuis F. Thureau-Dangin, des assyriologues ont toujours porté un intérêt soutenu aux mathéma- tiques de la Mésopotamie, les considérant comme l’un des éléments de la grande civilisation qui s’est développée dans cette région. Ceci mérite d’être souligné, car les historiens d’autres époques ou d’autres contrées négligent la plupart du temps ce domaine d’étude. Il existe ainsi un grand nombre de travaux sur les mathématiques babyloniennes, comme on peut le constater en consultant l’abondante bibliographie du livre de Christine Proust, et ce livre trouve tout naturellement sa place dans une collection telle que les Varia Anatolica.

Les mathématiques de Mésopotamie sont les témoins les plus anciennement attestés de ce type d’activité et elles constituent donc un chapitre indispensable de l’histoire des mathématiques. Certains historiens des sciences auraient tendance à faire débuter les mathématiques avec l’invention de la démonstration en Grèce, peut-être au V^e siècle avant J.-C. Il est vrai que les mathématiques babyloniennes ne comportent pas de démonstration et la même observation vaut pour les mathématiques égyptien- nes. Elles se présentent comme un système de procédés de calcul et de résolution de problèmes ; mais il s’agit bien d’un système, organisé d’une manière rationnelle. De plus, toutes les activités mathématiques babyloniennes peuvent se traduire dans les termes des mathématiques d’aujourd’hui, comme le montrent les commentaires des textes publiés par les historiens de cette période ; avec les tablettes cunéiformes, on se trouve donc déjà sur un terrain proprement mathématique, même en l’absence de démonstration.

Mais on a la chance d’assister à l’émergence de la pratique mathématique avec, en particulier, l’appari- tion des nombres abstraits vers la fin du troisième millénaire avant J.-C. (troisième dynastie d’Ur).

En Mésopotamie, comme en Égypte, on rattache le développement d’une pratique mathématique aux nécessités de l’administration de grands royaumes centralisés. Il est vrai que les mathématiques sont pratiquées dans les écoles des scribes, mais avec un raffinement et une virtuosité qui dépassent très largement les exigences de la gestion. On le constate dans le livre de Christine Proust avec la présence, dans les listes métrologiques, d’unités de mesures certainement hors des échelles utilisables pratiquement : par exemple le demi-še de 2 centigrammes ou le šar₂ gal šu-nu-tag gur de 648 000 000 litres (chapitre 5). Citons encore la table de racines carrées de nombres palindromes ajoutée à la fin de la tablette Ni 2739 (ibid.). D’ailleurs une administration centralisée n’implique pas nécessairement le développement des mathématiques ; des états voisins de la Mésopotamie, comme l’empire hittite ou les cités minoennes ne nous ont laissé aucune trace d’une activité mathématique, même si plusieurs tablettes à contenu économique en proviennent. Une telle différence reste à expliquer.

Le livre de Christine Proust est une étude d’ensemble du corpus complet des 871 tablettes mathéma- tiques trouvées à Nippur et réparties en divers lieux : Philadelphie, Istanbul, Iéna. E. Robson publie la collection de Philadelphie et le présent livre contient la publication de celle d’Istanbul ; cette collection comprend 312 tablettes dont 19 seulement avaient été publiées jusqu’à maintenant. Ce corpus forme un

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tout homogène, aussi bien relativement au genre des textes qu’à l’époque de leur rédaction, c’est-à-dire l’époque paléo-babylonienne ; la provenance de toutes les tablettes est connue.

Christine Proust tire de cette étude des enseignements d’une portée générale sur les mathématiques babyloniennes, sur la progression du cursus scolaire en mathématiques et son lien avec l’apprentissage de l’écriture et de la langue sumérienne, sur la conception des nombres dans ces mathématiques, sur les méthodes de calcul correspondantes.

Deux niveaux d’étude se distinguent assez nettement dans l’enseignement paléo-babylonien : un niveau élémentaire et un niveau avancé, comme l’avaient déjà reconnu les auteurs qui se sont intéressés au sujet. Les mathématiques du niveau élémentaire sont consacrées à l’apprentissage de listes : listes et tables métrologiques, tables numériques. Au niveau avancé, on aborde des problèmes de calcul numé- rique et d’évaluation de surfaces ou de volumes. Christine Proust a essayé de préciser la progression en se servant des tablettes qui contiennent deux types de textes, sur la face et sur le revers. Elle a élaboré un logiciel qui permet un classement de ces tablettes et dont les résultats sont présentés dans l’annexe I ; il en ressort que la progression n’était pas strictement linéaire et que l’ordre des apprentissages pouvait varier d’une cité à une autre.

Nous venons de voir que l’enseignement élémentaire comportait l’étude des listes et des tables métrologiques. Les listes contiennent les unités de capacité, de poids, de longueur, de surface et de hauteur dans un ordre croissant ; les tables mettent en correspondance ces unités avec des nombres abstraits, écrits dans le système sexagésimal utilisé pour les calculs en Mésopotamie. C’est en effet, selon toute vraisemblance, la pratique du calcul qui a conduit les scribes sumériens à élaborer une conception abstraite du nombre, ne mesurant ou ne comptant rien de particulier, mais simplement objet d’opérations arithmétiques telles que l’addition, la soustraction, le calcul de l’inverse, la duplication, la multiplication, le calcul du carré, des racines carrées ou cubiques. Les tables métrologiques servaient d’intermédiaire, pour traduire les données d’un problème concret en nombres abstraits, puis pour retraduire le résultat du calcul en termes des unités de mesure en usage. L’histoire des mathématiques donne de nombreux exemples d’innovations induites par une pratique et se faisant jour très longtemps avant la construction d’une théorie qui pourrait leur fournir un fondement ; cette invention des nombres abstraits est probablement le premier de ces exemples.

Le système de numération sexagésimal est positionnel, mais il ne comporte pas de zéro et la place de l’unité n’est pas marquée. Cela n’est pas trop gênant car 60 est un nombre suffisamment grand pour que le contexte permette de rétablir l’ordre de grandeur. En accord avec les textes, et contrairement à d’autres auteurs, Christine Proust considère que l’absence d’une place fixée pour l’unité fait partie de la conception même du nombre dans les mathématiques babyloniennes ; elle adopte une transcription cohérente avec cette conception et fidèle à la documentation cunéiforme. Le niveau d’abstraction de ces nombres est donc très élevé, puisque même leur ordre de grandeur n’est pas fixé d’une manière absolue ; seul l’ordre de grandeur relatif des divers nombres intervenant dans un même calcul est déterminé.

Cette circonstance donne une grande souplesse aux méthodes de calcul babyloniennes, analogues aux calculs en virgule flottante de nos ordinateurs modernes. Les tables d’inverses (chapitre 5) mettent en évidence ce caractère des nombres abstraits babyloniens.

Dans la progression de l’enseignement, les tables d’inverses sont suivies des tables de multiplication ; il y en a 38 et la plupart des nombres qu’elles font intervenir sont présent dans les tables d’inverses.

Il y a donc un lien assez fort entre ces deux types de tables. Au contraire, les tables de racines carrées ne sont pas simplement des tables de carrés lues à l’envers et le lien est ici plutôt lâche. Christine Proust

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explique avec une grande clarté le rôle de toutes ces tables dans les méthodes de calcul, ainsi que les diverses particularités de ces méthodes, comme la séparation en deux parties des nombres ayant plus de cinq places sexagésimales ou l’utilisation d’une factorisation pour calculer des inverses ou des racines carrées (chapitre 6). Les exercices mettant en œuvre ces calculs sont généralement accompagnés d’une vérification de l’opération par un calcul de l’opération réciproque.

Ce livre est complété par des annexes présentant des données statistiques sur les tablettes, une récapitulation des unités de mesures et un glossaire sumérien et akkadien. Il constitue une contribution importante à la connaissance de l’enseignement des mathématiques et à celle des méthodes de calcul à l’époque paléo-babylonienne. Les historiens des mathématiques et les assyriologues le liront donc avec le plus grand profit.

Paris, le 23 mars 2007 Christian Houzel

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Avant-propos

C’est en Turquie qu’est né le projet qui a pris la forme d’une thèse, puis du présent livre. Les Musées de Turquie, et notamment le Musée Archéologique d’Istanbul, sont remarquables pour leur richesse, mais surtout ils se distinguent des autres Musées sur un point : toutes leurs collections proviennent de fouilles légales. Ainsi, l’origine des tablettes cunéiformes est indiquée par un simple préfixe sur le numéro d’inventaire. C’est donc tout naturellement que, cherchant un ensemble de sources de provenance et de datation identifiées et homogènes, je me suis intéressée à ces tablettes dont le numéro porte le préfixe « Ist Ni », c’est-à-dire aux tablettes de Nippur conservées à Istanbul. Ainsi a commencé en 1998 ma collaboration avec Veysel Donbaz, le conservateur des archives cunéiformes du Musée d’Istanbul ; cette collaboration s’est poursuivie avec Asuman Dönmez, qui lui a succédé. Dans un premier temps, nous nous sommes limités aux collations de tablettes déjà éditées, puis nous avons identifié en juillet 2001 un lot de plus de 300 tablettes mathématiques inédites parmi les textes scolaires de Nippur.

Simultanément et de façon indépendante, Eleanor Robson avait entrepris de son côté l’étude des tablettes mathématiques de Nippur conservées à Philadelphie, soit l’autre partie des mêmes archives que des circonstances historiques récentes avaient dispersées. En mai 2003, nous avons, à partir de nos photos numériques et de nos bases de données respectives, rassemblé les deux principaux lots de la collection des tablettes mathématiques de Nippur exhumées à la fin du XIX^e siècle. Nous avons pu ainsi réaliser de nombreux raccords entre fragments appartenant à la même tablette. Eleanor Robson m’a alors autorisée à exploiter les données qu’elle avait récoltées à Philadelphie, et sa générosité a donné une toute autre dimension à mon entreprise initiale.

Enfin, au début de l’année 2005, Manfred Krebernik m’a fait le grand honneur de m’ouvrir les portes des archives cunéiformes de l’Université de Iéna et de m’associer à la publication des tablettes scolaires de Nippur appartenant à la collection de Hermann Hilprecht.

Ainsi, cette étude s’appuie sur l’ensemble des tablettes mathématiques exhumées entre 1888 et 1900 à Nippur par la Babylonian Expedition de l’Université de Philadelphie, sous la direction scientifique de H. Hilprecht. Cet ensemble de sources, conservés aujourd’hui à Istanbul, Philadelphie et Iéna, est exceptionnellement abondant (plus de 800 tablettes et fragments), homogène (de même provenance et de même période), clairement identifié (Nippur à l’époque paléo-babylonienne), étudié de première main, en très grande partie inédit.

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Ce travail n’aurait pas pu être mené à son terme sans le soutien enthousiaste de nombreux amis et collègues. Outre Eleanor Robson, Veysel Donbaz et Manfred Krebernik qui m’ont permis l’accès aux sources, je remercie tous ceux qui ont contribué d’une façon ou d’une autre à l’exploitation de ces archives exceptionnelles.

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Je dois d’abord dire ma grande gratitude envers les responsables turcs qui m’ont aidée dans les différentes missions à Istanbul : Nadir Avcı, Directeur Général du Patrimoine, Halil Özek puis Ismaël Karamut, Directeurs des Musées Archéologiques d’Istanbul, Veysel Donbaz puis Asuman Dönmez, Conservateurs des Archives Cunéiformes. L’appui de l’IFEA, Institut Français d’Etudes Anatoliennes, a été d’un grand secours, et particulièrement celui de Paul Dumont puis de Pierre Chuvin, directeurs, de Catherine Kuzucuoğlu, secrétaire scientifique, d’Aksel Tibet, archéologue, et de Garance Fiedler, doc- torante. Je voudrais également chaleureusement remercier tous ceux qui m’ont accueillie en Turquie : Feza Günergün, Nadia et Samuel Murat, Sakina et Sacit Önen, Huguette Meunier, ainsi que Muazzez Çığ, dont les conseils m’ont été particulièrement précieux.

Une partie du travail d’exploitation des sources n’a été possible, dans un domaine qui n’est pas celui de ma formation initiale, que grâce à l’aide d’assyriologues et archéologues qui ont bien voulu m’accorder beaucoup de leur temps : Eleanor Robson, Manfred Krebernik, Antoine Cavigneaux, Niek Veldhuis, Bertrand Lafont pour le déchiffrement des textes sumériens ; Jöran Friberg, dont la lecture attentive et les nombreux conseils ont été particulièrement précieux ; Françoise Rougemont qui a entiè- rement traduit de l’allemand les fiches descriptives des tablettes d’Istanbul établies par F. R. Kraus et à qui je dois beaucoup pour ses conseils en archéologie. Toujours patientes et disponibles, Brigitte Lion, Cécile Michel et Théodora Seal ont bien voulu me conseiller et répondre a mes questions dans le domaine de l’assyriologie, ainsi que Catherine Muhlrad-Greif et Maryvonne Teissier dans le domaine de la programmation. Pour leur travail fastidieux de relecture, de critique et de correction assuré avec tant de gentillesse et de patience, je remercie chaleureusement Micheline Duffaud, Agathe Keller, Brigitte Lion, Huguette Meunier, Cécile Michel, Jacques Quillien, François Proust, Françoise Rougemont, Luc Trouche.

Enfin, je suis heureuse d’exprimer toute ma reconnaissance envers Christian Houzel, directeur de thèse, et Karine Chemla, directrice de l’équipe REHSEIS du CNRS, qui ont créé l’environnement scientifique stimulant nécessaire à une telle entreprise.

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Introduction

Que peut apporter à la compréhension des mathématiques cunéiformes la documentation de Nippur, constituée pour l’essentiel de brouillons d’écoliers, souvent fragmentaires et de modeste allure ?

Tout d’abord, il s’agit de Nippur, la « Ville Sacrée », la grande capitale religieuse et culturelle de la Mésopotamie antique. Le rôle politique de Nippur a été très important à la fin du troisième et au début du deuxième millénaire, puisque c’est là qu’était légitimé le titre de roi du « Pays de Sumer et d’Ak- kad »¹. Pourtant, cette cité n’a jamais été le siège de la royauté. Son système politique, dans lequel une

« assemblée » semble avoir occupé une place centrale, est original et encore mal connu². A l’époque paléo-babylonienne, les activités judiciaires et scolaires constituent une part importante de la vie sociale de Nippur, réputée alors dans toute la Mésopotamie pour son tribunal et ses écoles³. Nippur est le lieu par excellence de la transmission de l’héritage culturel sumérien ; jusqu’à une époque assez tardive, on y apprend le sumérien, alors qu’il a disparu comme langue vivante au profit d’une langue sémitique venue du nord et de l’ouest, l’akkadien. Les écoles de scribes de Nippur jouissaient d’un grand prestige dans toute la Mésopotamie antique, et elles nous ont laissé la majeure partie des sources qui nous permettent aujourd’hui d’avoir accès à la littérature sumérienne.

La formation des scribes est un domaine de recherche qui s’est considérablement développé en assyriologie ces dernières années. L’intérêt s’est notamment porté sur un type de sources qui n’avait été que très partiellement pris en considération auparavant : les tablettes d’écoliers. Ces brouillons d’argile sont des témoins de la vie quotidienne des écoles et permettent d’en reconstituer des éléments essen- tiels : l’organisation du cursus, les méthodes et le contenu de l’enseignement. M. Civil, A. Cavigneaux, S. Tinney ont montré l’intérêt d’établir une typologie des tablettes pour comprendre la fonction de ces textes⁴. Exploitée de façon systématique dans son étude de textes lexicaux, cette typologie a permis à N. Veldhuis de reconstituer le cursus d’enseignement du sumérien dans les écoles paléo-babyloniennes⁵. A sa suite, E. Robson a engagé une étude des archives scolaires de la Maison F de Nippur⁶, sous une

1) W. Hallo et M. van de Mieroop ont montré l’importance du rôle des scribes de Nippur dans la reconnaissance d’un roi (Hallo 1989 ; van de Mieroop 1999).

2) Une importante bibliographie se rapporte aux institutions politiques de Nippur ; en ce qui concerne plus particuliè- rement l’existence d’un gouvernement de Nippur par une « assemblée » (puhrum), voir Jacobsen 1943 ; Cassin 1973 ; Finet 1980, 1982 ; Lambert 1992 ; Lieberman 1992 ; van de Mieroop 1999.

3) Au sujet du tribunal de Nippur, voir : Lieberman 1992, p. 134 ; Lafont S. 2000 ; en ce qui concerne la fonction idéo- logique des écoles de Nippur, voir Michalowski 1987.

4) Civil et al. 1969 ; Cavigneaux 1983 ; Tinney 1999. La question des écoles de scribes et la bibliographie correspon- dante sont développées au chapitre 2.

5) Veldhuis 1997.

6) Robson 2001b, 2002b.

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forme qui se rapproche d’une monographie, pour donner un panorama plus complet de la formation des scribes, incluant les mathématiques. Enfin, S. Tinney a attiré l’attention sur l’importance de l’étude des archives scolaires pour avancer dans la compréhension de la culture mésopotamienne :

“In particular, rigorous publication of school texts from museums and excavations is a principal desi- deratum if we are to formulate meaningful statements on education in ancient Mesopotamia. It hardly needs pointing out that an understanding of educational systems is a key component of an understanding of the society, ideology, religion and politics of Mesopotamia – a key component, in other words, of an understanding of any aspects of the uses of literacy in a cultural complex which is in many ways defined by its use of the technology of writing” [Tinney 1999, p. 170].

La présentation des textes mathématiques de Nippur développée ici s’inscrit dans ce mouvement.

Elle s’appuie en très grande partie sur les travaux de N. Veldhuis et E. Robson cités ci-dessus. L’étude est limitée à une époque et un cadre géographique bien définis. Elle prend en considération l’ensemble des tablettes mathématiques paléo-babyloniennes exhumées à Nippur par la Babylonian Expedition, aucun fragment, aussi pitoyable soit-il, n’étant négligé.

L’essentiel du travail présenté dans ces pages est consacré à l’analyse des sources. J’ai exposé en détail mes observations, menées de la façon la plus minutieuse possible, sans sélectionner systématique- ment les seules informations pertinentes au regard des problèmes que j’ai ensuite essayé de résoudre.

Ce choix peut rendre parfois la lecture fastidieuse, mais devrait faciliter une utilisation ultérieure de ce matériau brut dans des perspectives différentes de celles qui ont été privilégiées ici. Une place parti- culièrement importante a été accordée aux listes et tables métrologiques, catégorie de textes qui n’avait pas constitué auparavant l’objet d’une étude systématique, appuyée sur un corpus étendu⁷. Les textes scolaires de Nippur renouvellent ce type de documentation de façon spectaculaire. Les principaux problèmes que j’ai essayé de traiter dans la présente étude s’articulent autour de trois thèmes : le cursus scolaire, l’architecture des textes, la conception des nombres.

La question du cursus scolaire est au cœur du travail de N. Veldhuis sur les listes lexicales, et une partie de ses résultats et de sa méthodologie est exploitée ici pour tenter de préciser la place des mathé- matiques dans l’enseignement, principalement du point de vue de l’ordre chronologique de succession des listes lexicales et mathématiques. L’existence d’un tel ordre, qui suppose une organisation linéaire, sera la première des questions soulevées. En effet, l’observation des marques de structure des listes élémentaires (lignes d’appel, doxologie) et du contenu des tablettes mixtes (contenant des textes de caté- gories différentes) montre qu’un tel ordre est fréquemment mis en défaut. E. Robson a émis l’hypothèse de l’existence de variations locales dans le déroulement du cursus. On explorera ici d’autres hypothèses, en particulier l’existence d’une organisation plus complexe de l’enseignement des mathématiques : plusieurs listes pourraient être étudiées en même temps par les mêmes apprentis scribes⁸, et par ailleurs tous les scribes ne suivraient pas nécessairement le même cursus, c’est-à-dire qu’il pourrait exister un certain degré de spécialisation. La question des méthodes pédagogiques, à laquelle la typologie des tablettes apporte d’importants éléments de réponse, sera également soulevée en prolongement des travaux d’E. Robson sur la « Maison F ».

7) Robson 2002b, p. 9 ; Michel 1998, p. 253. J. Friberg est le chercheur qui s’est le plus intéressé aux tables métrologiques (voir par exemple Friberg 1993), mais, n’ayant pas eu accès à des sources suffisamment complètes, ses travaux à ce sujet sont restés des études de textes isolées.

8) Cette hypothèse est avancée par A. Cavigneaux pour les listes lexicales (Cavigneaux 1983, p. 611)

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Les textes mathématiques s’insèrent dans l’ensemble plus vaste des textes scolaires. Les assyriologues qui ont étudié les textes scolaires sumériens ont montré que cet ensemble possède une unité profonde, qui provient de sa structure, c’est-à-dire de son organisation en énumérations. Les listes lexicales sumériennes, qui constituent la base de la formation élémentaire des jeunes scribes à l’époque paléo-babylonienne, illustrent ce type d’organisation des connaissances :

Lists of words are a characteristic feature of ancient Mesopotamian culture. In fact, the whole of its « sci- ence » consists in the enumeration and classification of all natural and cultural entities [Civil 1995 p.

2305].

Les listes mathématiques⁹, on le verra, partagent les même caractéristiques, et constituent un champ idéal d’étude de la structure des énumérations en Mésopotamie.

Mais qu’entend-t-on exactement par « texte » ? En effet, les textes scolaires sont notés par extraits, parfois très courts, sur des centaines de tablettes et fragments répétitifs, comprenant de nombreux dupli- cata, à partir desquels on peut reconstituer une sorte de texte théorique appelé texte composite, rassem- blant toutes les entrées rencontrées au moins une fois dans les différentes sources¹⁰. Ce texte composite est probablement assez proche de celui qui devait être mémorisé par les apprentis scribes. Cependant, on ne le rencontre dans son intégralité dans aucune tablette. Il conviendra donc de distinguer systématique- ment le texte composite, qui n’est qu’une reconstitution, des textes réellement inscrits sur les différentes tablettes. On cherchera à analyser la façon dont le texte composite se répartit sur les tablettes, et à distinguer plusieurs niveaux d’unités de texte. On s’intéressera particulièrement à toutes les marques, textuelles ou visuelles, qui permettent de comprendre l’architecture générale des listes mathématiques.

Les tablettes de Nippur constituent un ensemble assez complet de textes d’apprentissage des mathé- matiques, depuis l’initiation aux mesures de capacité jusqu’aux problèmes de volumes et aux algorithmes numériques avancés, probablement élaborés par des maîtres érudits. Cette documentation permet d’aborder sous plusieurs angles les questions relatives à la reconstitution des méthodes de calcul et à la conception des nombres à Nippur et, dans une certaine mesure, dans l’ensemble des textes mathé- matiques cunéiformes. Le problème de la notation des nombres dans les commentaires modernes sera abordé en étroitement relation avec celui de l’interprétation des calculs. J’ai cherché, tout au long des études de texte qui suivent, à poser et résoudre ces questions d’interprétation et de notation de façon cohérente et homogène. Plus précisément, il s’agit de déterminer la fonction des différents systèmes numériques dans l’expression des mesures d’une part, et dans l’exécution des calculs d’autre part. Les tables métrologiques, qui contiennent une correspondance entre des mesures et des nombres sexagési- maux, sont au cœur de ces questions. L’analyse de leur structure et de leur utilisation est un des principaux objets de cette étude.

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Le livre comporte deux parties : la première contient l’analyse de l’ensemble des tablettes mathé- matiques exhumées par la Babylonian Expedition à Nippur et les outils de recherche (annexes) ; la deuxième partie contient l’édition des tablettes d’Istanbul, ainsi que la translittération des textes sumé- riens établie par A. Cavigneaux. Les images, le catalogue, et la partition sont gravés sur le CD joint.

9) Les « listes » mathématiques sont entendues ici, par analogie avec les listes lexicales, dans le sens large de toutes les énumérations métrologiques et numériques du niveau élémentaire.

10) Voir introduction de la deuxième partie.

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L’importance de l’histoire matérielle des tablettes dans l’interprétation des textes a été soulignée ci-dessus ; en conséquence, les premiers chapitres (1 et 2) retracent l’histoire des tablettes depuis leur production dans les écoles de scribes jusqu’à leur conservation dans les musées d’aujourd’hui. Les choix méthodologiques de cette étude sont exposés dans les chapitres 3 (notation des nombres) et 4 (système descriptif). Les textes proprement dits sont groupés en trois ensembles selon le niveau scolaire : élé- mentaire (chapitre 5), avancé (chapitre 6) et érudition (chapitre 7). Une synthèse finale (chapitre 8) se propose de brosser un tableau général des activités mathématiques à Nippur.

Les annexes contiennent les outils dont il sera fait constamment usage dans le cours de l’étude, et auxquels le lecteur sera fréquemment invité à se référer (statistiques, systèmes numériques, carte, chronologie, glossaire, index des tablettes citées, références bibliographiques). Les définitions et notations utilisées dans le texte sont exposées dès l’introduction (page suivante) pour faciliter la lecture.

En raison du caractère interdisciplinaire du sujet traité, certains développements n’intéresseront qu’une partie des lecteurs ; ces paragraphes sont signalés par un style différent (retrait et police de caractères plus petite). Ainsi, le lecteur non spécialiste d’un domaine ou d’un autre (mathématiques ou assyriologie) pourra facilement sauter les passages qu’il juge trop techniques.

Définitions

La description des tablettes et fragments de Nippur portera sur deux aspects à la fois distincts et en étroite relation : l’état matériel des tablettes et les textes qui y sont inscrits. Ces derniers seront abordés du point de vue de leur contenu et du point de vue de leur structure. Chacune de ces approches néces- site l’emploi d’un vocabulaire spécifique. Mais, en raison des liens multiples existant entre les textes et leur mise en forme sur l’argile, il est très difficile de présenter une de ces parties sans faire référence à l’autre, et même de choisir d’aborder l’aspect matériel avant l’aspect textuel ou l’inverse. D’autre part, dès les premiers chapitres, la présentation des conditions de découverte des tablettes et du contexte de leur production dans les écoles de scribes fait référence à ces typologies. Pour éviter de faire appel à un nombre excessif de références croisées qui risqueraient de rendre l’exposé confus, je donnerai dès cette introduction une liste de définitions succinctes, mais suffisantes en première approche, et j’inviterai le lecteur à se reporter au chapitre 4 où ces définitions sont plus approfondies. Pour les noms géographi- ques et les noms de périodes historiques, on pourra se reporter à la carte et à la chronologie (annexes 5 et 6).

La majorité des définitions suivantes sont couramment utilisées dans les publications concernant les textes scolaires, et plus particulièrement les listes lexicales (voir bibliographie dans l’introduction du chapitre 2) ; les définitions concernant les « catégories de texte » et les « unités de texte » sont plus personnelles.

Types de tablettes

On distingue plusieurs types de tablettes selon le nombre de colonnes, la relation entre le texte de la face et celui du revers, le niveau scolaire.

Type I

Grande tablette (15 cm sur 20 cm environ) écrite sur plusieurs colonnes ; le texte du revers est la suite du texte de la face. Par exemple, voir la copie de la tablette Ni 2733, planches V et VI.

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Type II

Tablette de taille moyenne (10 cm sur 15 cm environ), écrite sur plusieurs colonnes. Les textes de la face et du revers sont indépendants.

Type II/1 : face d’une tablette de type II.

Type II/2 : revers d’une tablette de type II.

La face contient un modèle du maître et une ou plusieurs copies d’élèves. Le revers contient un texte plus long, probablement appris par cœur et restitué de mémoire. Par exemple, voir la copie des tablettes Ni 3711, planche XVII et Ni 4840+, planches XXV et XXVI.

Type III

Petite tablette (5 cm sur 8 cm environ), de présentation en général soignée, écrite sur une seule colonne ; le texte du revers est la suite du texte de la face. Par exemple, voir les copies des tablettes Ni 2208, planche III et Ni 3703, planche XVI.

Type IV

Tablette carrée ou ronde (6 à 8 cm de côté ou de diamètre environ), de profil plan-convexe, de revers en général anépigraphe. Par exemple, voir les copies des tablettes Ni 18 et Ni 763, planche I.

Type S

Tablette inscrite sur une seule colonne, utilisée dans la formation de niveau avancé. Le texte du revers est la suite du texte de la face.

Type M

Tablette inscrite sur plusieurs colonnes, utilisée dans la formation de niveau avancé. Le texte du revers est la suite du texte de la face. Par exemple, voir la copie de la tablette Ni 5175 + CBS 19761, planche XXXII.

Les types I, II, III sont utilisés dans la formation de niveau élémentaire, les types S et M sont utilisés dans la formation de niveau avancé, les types IV sont utilisés dans la transition entre les deux niveaux (voir définition des niveaux scolaires ci-après).

Catégories de textes Listes métrologiques

Enumérations de mesures de capacité (C), poids (P), surface (S) ou longueur (L) dans l’ordre croissant. Voir la copie de la tablette Ni 3711 revers, planche XVII.

Tables métrologiques

Enumérations identiques à celles des listes métrologiques, mais chaque mesure est accompagnée d’un nombre placé en vis-à-vis et écrit en notation sexagésimale positionnelle.

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Tables numériques ordinaires

Tables d’inverses, de multiplication, ou de carrés. Par exemple, voir la copie de la tablette Ni 2733, planches V et VI.

A Nippur, on le verra, les tables de racines carrées et de racines cubiques ne se trouvent pas sur les mêmes tablettes que les tables numériques ordinaires.

Exercice de calcul

Calcul numérique de quelques lignes, destiné à résoudre un problème dont l’énoncé n’est en général pas précisé sur la tablette (sauf dans le cas particulier du calcul des surfaces de carrés).

Unités de texte Série

La série est l’unité de texte la plus vaste rencontrée dans les tablettes de niveau élémentaire ; elle est en général complètement écrite dans les grandes tablettes multi-colonnes de type I. Chacune des trois premières catégories citées ci-dessus (liste métrologique, table métrologique, table numérique) constitue une série.

Section

Chaque série contient plusieurs sections. Par exemple, la série des listes métrologiques contient 4 sections : une liste de capacités, une liste de poids, une liste de surfaces, une liste de longueurs.

Séquence

Une séquence est un extrait quelconque de section, de quelques lignes.

Items

L’item est un élément d’énumération ; il est en général écrit sur une ligne, parfois deux, ou occupe une case.

Pour illustrer ces définitions, on peut comparer la structure des listes mathématiques élémentaires aux tables de multiplication qui se trouvent au dos des cahiers de brouillon d’écoliers modernes : la série correspond à l’ensemble des 9 tables de multiplication ; la section à une table de multiplication ; la séquence à un extrait d’une table ; l’item à une ligne d’une table.

Niveaux scolaires

Deux niveaux dans le déroulement du cursus se distinguent, tant dans le contenu que dans la typologie des tablettes.

Niveau élémentaire

Ce sont les premiers apprentissages de l’écriture et du calcul. Les textes de ce niveau ont tous la forme de listes, que ce soit en sumérien ou en mathématiques. Les listes mathématiques de niveau élé- mentaire sont constituées des 3 séries citées ci-dessus (listes métrologiques, tables métrologiques, tables numériques) et sont notées sur des tablettes de type I, II ou III. Les listes sumériennes sont constituées de syllabaires, de listes lexicales (vocabulaire et signes complexes), de modèles de contrats et de collections de proverbes.

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Niveau avancé

En mathématiques, le niveau avancé est constitué d’exercices de calcul, de problèmes rédigés en sumérien ou en akkadien, de suites d’algorithmes numériques. En sumérien, il est constitué d’un ensemble de textes littéraires de complexité croissante.

Marques de structure Colophon

Petit texte additionnel de quelques signes écrit à la fin de la tablette ou sur une tranche. Il contient des renseignements tels que la date, le nom du scribe, une indication sur le contenu.

Incipit

Premier item d’une liste, ou plus généralement première ligne d’un texte.

Ligne d’appel

A la fin d’une section, la première ligne de la section suivante.

Doxologie

Formule de louange qui, dans les textes scolaires, est adressée à Nisaba, la divinité des scribes et des calculateurs ; cette formule est écrite à la fin d’un texte. A Nippur, cette formule se présente toujours sous la forme suivante :^dn i s a b a z a₃ m i₂ (Gloire à Nisaba) ; voir par exemple le colophon de la tablette Ni 3703 + N 3901 + UM 29-15-483, planches XVI.

Notations et références des tablettes Transcription

Les normes adoptées ici pour la transcription des textes cunéiformes sont celles qui sont habituel- lement en usage en assyriologie. Elles sont rappelées ci-dessous.

Mise en forme col. colonne l. ligne

# section

/ passage à la ligne Texte

[ ] signe cassé ou effacé x signe présent mais illisible

£ ≠ signe abîmé mais identifiable

< > signe omis

? identification du signe incertaine

sic le signe identifié est erroné ; il est laissé non corrigé dans la transcription.

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Sumérien et akkadien

La transcription des idéogrammes sumériens est notée en caractères droits et espacés¹¹ ; concernant l’akkadien, la transcription des signes phonétiques et la transcription des mots sont notées en italique.

a -ša₃ = champ en sumérien eqlum = champ en akkadien

Les signes cunéiformes sont transcrits phonétiquement en petits caractères quand la prononciation est connue et par leur nom en capitales quand la prononciation est incertaine.

Déterminatif (ou classificateur)

Les lettres en exposant devant un mot sont des transcriptions de signes cunéiformes qui identifient la classe de ce mot :

Exemple : dans « ^dn i s a b a » , l’élément classificateur « d i n g i r » (dieu), noté « d » en exposant indi- que que « Nisaba » appartient à la classe des divinités.

Homophones

Les numéros en indice permettent de distinguer les signes homophones, c’est-à-dire des signes de forme différente, mais de même prononciation.

Exemple :

= r a = r a₂

Transcriptions des autres auteurs

Dans le cas des tablettes éditées auparavant, j’ai reproduit la transcription de l’auteur qui a publié cette tablette pour la première fois. Sauf indication contraire, j’ai évidemment respecté la lecture de la tablette faite par cet auteur. Mais par souci d’homogénéité de l’ensemble du présent ouvrage, j’ai adopté les règles de transcription données ci-dessus : les termes sumériens sont transcrits en caractères droits, en minuscules lorsque la valeur phonétique est identifiée, en majuscules (nom de l’idéogramme) dans le cas contraire ; si une valeur phonétique a été identifiée entre la première édition de la tablette et aujourd’hui, j’ai restitué cette valeur ; les éléments des chaînes verbales et nominales sumériennes sont reliés par des tirets ; l’écriture des signes numériques et métrologiques respecte autant que possible les normes du Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI)¹² ; la numérotation des signes homophones est en indice, y compris pour les numéros 2 et 3 que les assyriologues ont l’habitude de spécifier par des accents (par exemple, é pour e₂ et è pour e₃) ; bien que sous l’effet des contraintes de la numérisation, ils aient de plus en plus souvent recours aux indices systématiques.

11) L’espacement des caractères est un moyen de distinguer les termes sumériens, notamment lorsque ceux-ci sont in- sérés dans du texte en langue moderne. Cependant, il arrivera dans cette étude que cette police spéciale ne soit pas utilisée dans des transcriptions ne comportant que des termes sumériens, par exemple dans les tableaux où la place est limitée.

12) http://cdli.mpiwg-berlin.mpg.de/digitlib.html.

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Citation des tablettes

Les tablettes scolaires de Nippur sont citées dans un style normalisé (selon le même principe que les références bibliographiques), sous la forme suivante :

numéro d’inventaire (type) contenu exemple :

Ni 1911 (type III) table de multiplication par 7.12

Dans le cas des tablettes de type II, les contenus de la face et du revers sont précisés et séparés par un point virgule :

numéro d’inventaire (type II) contenu de la face ; contenu du revers exemple :

Ni 3352 (type II) liste métrologique L; liste lexicale Proto-Ea

Les codes et abréviations utilisés dans les citations de tablettes sont les suivants :

* la copie de la tablette est donnée dans les planches de la deuxième partie.

+ les numéros des fragments d’une tablette recollée sont reliés par un + (raccord ou « join »)

? élément non identifié ou identification incertaine Les abréviations sont :

C = capacité, P = poids, S = surface, L = longueur, NP = nom propre.

Numéro d’inventaire des tablettes provenant de Nippur

Ni (ou Ist Ni dans les publications de Neugebauer) : tablettes conservées au Musée d’Istanbul, issues des fouilles de la Babylonian Expedition.

CBS, N, UM 29- : tablettes conservées au Musée de Philadelphie, principalement issues des fouilles de la Babylonian Expedition.

2 N-T, 3 N-T : tablettes conservées au Musée de Philadelphie, issues des fouilles de la Joint Expedition (deuxième et troisième campagnes).

HS : tablettes conservées au Musée d’Iéna, issues des fouilles de la Babylonian Expedition.

Références des tablettes

Les références des tablettes publiées, provenant de Nippur et d’ailleurs, sont rassemblées à la fin du livre dans l’index des tablettes citées. On y trouvera la référence abrégée (auteur, date) des publications où se trouvent la transcription, la copie, et éventuellement la photo, la référence complète se trouvant dans la bibliographie. Dans le corps du texte, je n’utiliserai qu’exceptionnellement des sigles pour dési- gner les premières publications des tablettes. Les trois exceptions concernent des sigles usuels dans le domaine des mathématiques cunéiformes : MKT (Neugebauer 1935-7), TMB (Thureau-Dangin 1936), MCT (Neugebauer & Sachs 1945), MSL (Material for the Sumerian Lexicon).

Les inédits de Nippur conservés à Iéna seront publiés dans le volume 8 de la collection Texte und Materialen der Frau Professor Hilprecht Collection (Krebernik & Proust, à paraître). On se reportera à cet ouvrage pour les transcriptions et les copies de ces tablettes.

Les inédits de Nippur conservés à Philadelphie seront publiés par E. Robson et I. Marquez. Ces tablettes ont été comptabilisées dans les statistiques du présent ouvrage. De plus, quelques exemplai- res apportant des éléments d’information particulièrement importants sont cités, et des raccords entre

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fragments de Philadelphie et d’Istanbul figurent dans les planches de copies. Ces apports ont été possi- bles grâce aux photos numériques d’E. Robson, avec sa généreuse autorisation.

Les inédits de Nippur conservés à Istanbul sont publiés dans la deuxième partie de ce livre.

Périodes

Il m’a semblé préférable d’éviter de désigner les périodes historiques par des sigles, mais il sera parfois commode de les utiliser dans les tableaux où la place est réduite. Ainsi, on trouvera :

OB paléo-babylonien (Old Babylonian) = début du deuxième millénaire (2000-1600 av. n. e.) NB néo-babylonien = première moitié du premier millénaire (900-550 av. n. e.)

Les dates antérieures à la fin du deuxième millénaire ne sont pas connues de façon absolue, seule la chronologie relative est établie. La chronologie dite « moyenne », qui fait correspondre la chute de la première dynastie de Babylone avec l’année 1595 avant notre ère, bénéficie d’un consensus dans le milieu des assyriologues. C’est elle qui est appliquée ici.