LA LOGIQUE DU CALCUL DES PROPOSITIONS

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INTRODUCTION

La logique du calcul des propositions relève de la logique moderne et contemporaine. Celle-ci se distingue de la logique classique d’Aristote, par sa forme à la fois, symbolique et mathématique.

En effet, contrairement au syllogisme de la logique classique, l’analyse logique cesse d’être syntaxique en logique moderne, ce qui lui confère, une plus grande opérationnalité. Cette grande opérationnalité est due au fait que les symboles sont plus faciles à manipuler et ont une abstraction plus grande.

Quelles sont les différents types de symbole de la logique du calcul des propositions ? Comment y calcule-t-on, et à partir de quels opérateurs ? quelles activités logiques ces calculs rendent possibles ?

I. LES SYMBOLES DU LANGAGE DU CALCUL DES PROPOSITIONS

Il existe trois(03) types de symboles :

1. Symbole de proposition

Une proposition se définit, comme un énoncé déclaratif susceptible de vérité ou de fausseté.

Les propositions sont ici représentées par les lettres minuscules de l’alphabet.

Conventionnellement on utilise les lettres : p, q, r, etc.…

LA LOGIQUE DU CALCUL DES PROPOSITIONS

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2. Les symboles de connecteurs, ou opérateurs logiques

Au nombre de huit (08) ils comportent un connecteurunaire et sept (07) connecteurs binaires.

1. La négation :

Symbolisée par ‘’˥’’, se lit ‘’non’’

Ex : ˥p : non p

2. La conjonction :

Symbolisée par ‘’˄’’, se lit : ‘’et’’

Ex : p ˄ q : p et q

3. La disjonction inclusive : Symbolisée par ‘’˅’’, se lit ‘’ou’’

Ex : p ˅ q : p ou q ; p à moins que que

4. La disjonction exclusive : Symbolisée par ‘’W’’, se lit ‘’ou’’

Ex : p W q : p ou q

3 5. L’implication (le conditionnel)

Symbolisé par � ⊃

⇒ , se lit ‘’implique’’

Ex : �𝑝𝑝 ⊃ 𝑞𝑞

𝑝𝑝 ⇒ 𝑞𝑞 : p implique q, si p…… alors q

6. L’équivalence (le biconditionnel)

Symbolisée par �≡

⇔, se lit ‘’équivaut à’’

Ex : �𝑝𝑝 ≡ 𝑞𝑞

𝑝𝑝 ⇔ 𝑞𝑞 : p équivaut à q

7. L’incompatibilité

Symbolisée par ‘’|’’, de lit ‘’incompatible à’’

Ex : p|q : p incompatible à q

8. Le rejet

Symbolisée par ‘’ ↓’’, se lit ‘’rejet’’

Ex : p↓q : p rejet q, ni p….ni q

3. Symbole de ponctuations

Ils ont pour but de désambigüisé les expressions. Il s’agit de : - des parenthèses( ),

4 - du crochet [ ],

- et des accolades { }.

II. REGLE DE FORMATION DES EXPRESSIONS BIENS FORMEES(EBF)

Règle 1 : Tout symbole simple (lettres minuscules de l’alphabet) est une EBF Règle 2 : Si p est une EBF alors ˥p est une EBF.

Règle 3 : Si p, q sont des EBF, alors p*q (* : connecteur binaire quelconque) Règle 4 : Rien d’autre n’est une EBF s’il n’est obtenu à partir des règles 1à 3.

III. Traductions

Il est possible de traduire des expressions du langage ordinaire en langage du calcul des propositions, et inversement. Deux notions sont importantes ici à cerner :

-la paraphrase : Paraphraser une expression du langage ordinaire consiste à identifier d’une part les propositions simples qu’elle contient auxquelles on attribuera respectivement, les symboles p, q, r etc. ;d’autre part identifier les connecteurs logiques apparents ou sous-jacents qui relient ces dernières.

-Symbolisation : Symboliser une expression du langage ordinaire c’est la réécrire à partir des symboles identifiés lors de la paraphrase.

Exercice1

Traduire en langage symbolique du calcul des propositions les expressions suivantes :

1. Julien et Raymond sont des séminaristes.

2. Ils se marièrent et vécurent heureux.

5 3. Jacques et André sont frères.

4. Pour se rendre en ville, Yao prendra soit la moto, soit le taxi.

5. A l’Eglise tantôt on chante, tantôt on prie.

6. Ou vous vous taisez, ou je vous mets à la porte.

7. Il est courageux mais n’est pas prudent.

8. S’il est courageux sans être prudent alors il peut être victime d’accident.

9. S’il écoute les conseils, il peut déjouer les pièges.

10. Ecouter les conseils ne suffit pas pour déjouer les pièges.

11. Ni Kouakou ni Chantal ne participeront au concert.

12. Les étudiants se taisent quand le professeur arrive.

13. Il est nécessaire d’étudier pour réussir l’examen, mais ce n’est pas une condition suffisante.

14. Je viendrais à la fête d’anniversaire seulement si je suis invité.

15. Tout homme manifeste une ouverture, s’il est placé devant des personnes compréhensibles.

Exercice 2

Soit les propositions suivantes :

p : il étudie les cours ; q : il réussit son examen ; r : il est honnête.

Traduire en langage ordinaire, les expressions symboliques suivantes :

a) r

(p˄q)

b) (p˄˥q)

˥r c) (

)

q d) (˥p˅˥q)

e) (p˄˥q) | r

f)

r] ˄ ˥[r

(p˄q)]

IV. EVALUATION DES PROPOSITIONS

Les propositions peuvent être évaluées suivant plusieurs méthodes. Nous en utiliserons deux (2) : les tables de vérité et les tableaux sémantiques.

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Evaluer une proposition, c’est vérifier si elle est valide ou non. Un calcul mené à partir de connecteurs logiques permet de décider de la valeur de la proposition.

A cet effet, il est nécessaire que l’on définisse l’opérationnalité de chaque connecteur.

1. Définition des connecteurs

- La négation : ˥p est faut si et ssi p est vrai et est vrai ssi p est faux.

𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑓𝑓

𝑝𝑝 1 0

- La conjonction : p˄q est vrai ssi les deux termes sont simultanément vrai.

P q p˄q 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0

- La disjonction inclusive : p˅q est vrai ssi au moins l’un des termes est vrai.

P ˥ p

1 0

0 1

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P q p˅q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

- La disjonction exclusive :pWq est vrai ssi les deux termes n’ont pas la même valeur de vérité.

P q pWq 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0

- L’implication :p⊃q est faux ssi le premier terme est vrai et le second est faux.

P q p

q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

8 Remarque:

p ⊃ q

1^er terme second terme Condition suffisante condition nécessaire Antécédent conséquent

- L’équivalence :p≡q est vrai ssi les deux termes ont la même valeur de vérité.

P Q p

q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Remarque : (p≡q) ≡˥(pWq) (0110) ≡˥(1001)

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- L’incompatibilité : p|q est faux ssi les deux termes sont simultanément vrai.

P q p|q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1

Remarque : (p|q) ≡˥(p˄q) (0111) ≡˥(1000)

- Le rejet :p↓q est vrai ssi, les deux termes sont simultanément faux.

P Q p

q

1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

10 Remarque : (p↓q) ≡˥(p˅q)

(0001) ≡˥(1110)

2. Méthode des tables de vérité

Cette méthode d’évaluation consiste à reconstituer progressivement l’expression tout en évaluant suivant les connecteurs, la valeur des expressions ainsi constituées. La vérité ici est vériconditionnelle et extensionnelle. En effet, la thèse d’extensionalité dépend des valeurs des propositions simples qui la composent.

Application

Evaluer par la méthode des tables de vérité l’expression symbolique suivante : A : (˥p|q) W (˥q˄p)

p q ˥p ˥p|q ˥q ˥q˄p A(W)

1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1

W

L’évaluation par la méthode des tables de vérité, offre trois (03) résultats possibles :

- la tautologie : lorsque le résultat de l’évaluation ne comporte que des valeurs de vérité vraie.

A : 1001

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- La contradiction : lorsque le résultat de l’évaluation ne comporte que des valeurs de vérité fausse.

- La proposition neutre : lorsque le résultat de l’évaluation comporte parfois des valeurs de vérité vraie, parfois des valeurs de vérité fausse.

Exercice 3

Evaluer par la méthode des tables de vérité les expressions symboliques suivantes :

A : [(p

q)

)]

B : ˥(˥p

q)

(p|q)

C : (p

r) D : ˥[(p

E : {[˥p

(r˄˥p)]

(˥r

p)}

(rWq)

3. La méthode du tableau sémantique.

Elle est fondée sur le raisonnement par l’absurde. Celui-ci repose sur l’idée que nul ne peut nier la vérité sans se contredire (sans tomber dans la contradiction).

Le tableau sémantique est un tableau à deux colonnes, l’une pour le vrai et l’autre pour le faux. L’analyse dans le tableau commence par supposer que l’expression est fausse. Si cette supposition débouche sur une contradiction, alors on conclut que l’expression est plutôt valide.

12 Application

Evaluer par la méthode du tableau sémantique les expressions suivantes : 1) A : (p⊃q) ⊃ (˥q⊃˥p)

v ^F

(2) p ⊃ q [1] (1) A

(4) ˥q [3] (3) ˥p⊃˥q [1]

(7) p [5] (5) ˥p [3]

(6) q [4]

(8) p [2 ;6]

Vp : 1,0 donc A est valide.

2) B : ˥(p≡˥q) ˅ [(q˅p) ˄ ˥(p˄q)]

V F

(1) B

(4) p≡˥q [ 2] (2) ˥(p≡˥q) [1]

(3) (p˅q) ˄ ˥(p˄q) [1]

1^er cas

(5) p [4] (7) q [6]

(6) ˥q [4] (8) ˥(p˄q) [3 ;5 ;7]

(9) p˄q [8]

(10) p [9]

13 (11) q [9]

Vq : 1,0 donc B est valide.

V. LES FORMES NORMALES

1. Définitions

- On appelle forme normale disjonctive (FND), d’une expression A, une expression disjonctive A^’équivalente à A, dont les facteurs sont des conjonctions. Autrement dit la FND est une disjonction de conjonctions élémentaires.

Exple : ( ˄ ) ˅ ( ˄ ) ˅ ( ˄ ) ( ˄ ˄ ) ˅ ( ˄ ˄ ) ˅ ( ˄ ˄ )

- On appelle forme normale conjonctive (FNC), d’une expression A, une expression conjonctive A^’ équivalente à A dont les facteurs sont des disjonctions. Autrement dit, la FNC est une conjonction de disjonctions élémentaires.

Exple : ( ˅ ) ˄ ( ˅ ) ˄ ( ˅ ) ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ )

Au total, la forme normale est une expression soit conjonctive d’éléments disjonctifs, soit disjonctive d’éléments conjonctifs, qui n’admet aucune négation devant une parenthèse.

Tous les connecteurs logiques peuvent être alors transformés en des termes conjonctifs ou disjonctifs.

Les formes normales peuvent être obtenues de deux manière : Soit à partir des tables de vérité, soit par calcul.

2. Les formes normales distinguées

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Ce sont celles obtenues à partir des tables de vérité, on les appelle aussi, formes normales complètement développées, car chaque facteur contient chacune des lettres de proposition ayant servies à former l'expression initiale.

Application

A :

[(p

q)

]

ˠ

x

ˠ

x

ˠ

x

ˠ

x

FND D(A) : (p˄˥q) ˅ (˥p˄˥q) FNC D(A) : (˥p˅˥q) ˄ (p˅˥q)

Exercice 4

Déterminer les FNDD et FNCD des expressions de l’exercice 3.

Exercice 5

Déterminer les FNDD et FNCD de l’ensemble des connecteurs logiques binaires.

p q ˥q p⊃˥q ˥p (p⊃˥q) W

˥p)

q˅p A(≡)

0 1 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0 0 1

p q A(≡)

1 1 0

1 0 1

0 1 0

0 0 1

15 Exercice 6

A : 0101 B : 0011

Trouver des expressions équivalentes à : 1. ˥(A↓˥B)

2. B≡˥(A W ˥B) 3. (˥A˄˥B) W (A↓˥B) Application exercice 6 1. ˥(A↓˥B)

p Q A B ˥B A↓˥B ˥(A↓˥B)

1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0 1

FNC D[˥(A↓˥B)] : P˅˥q est une expression équivalente à ˥(A↓˥B)

3.les formes normales obtenues par calcul ou par transformation de connecteur

On peut parvenir aussi aux formes normales en procédant par calcul, cela requiert, la connaissance de quelques tautologies et équivalences.

a) Tautologies (lois)

16 - p≡p : l’identité

- �

p˄p ≡ p

p˅p ≡ p : idempotence - ˥ (p˄˥p) : non-contradiction - p˅˥p : tiers exclus

- ˥ ˥p≡p : double négation

- �˥(p˄q) ≡ ˥p˅˥q

˥(p˅q)≡ ˥p˄˥q

: de Morgan

- �

p˄q ≡ q˄p

p˅q ≡ q˅p : Commutativité - Associativité :

p˄(q˄r) ≡(p˄q)˄r ≡p˄q˄r p˅(q˅r) ≡(p˅q)˅r ≡p˅q˅r

- Distributivité : p˄(q˅r) ≡(p˄q)˅(p˄r) p˅(q˄r) ≡(p˅q)˄(p˅r)

(p˅q)˄(r˅s) ≡(p˄r)˅(p˄s)˅(q˄r)˅(q˄s) (p˄q)˅(r˄s) ≡(p˅r)˄(p˅s)˄(q˅r)˄(q˅s) p˄q˄(r˅s) ≡ (p˄q˄r)˅(p˄q˄s)

p˅q˅(r˄s) ≡ (p˅q˅r)˄(p˅q˅s)

- Eléments neutres :

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• p˄1 ≡p : 1 est élément neutre de la conjonction.

p q p˄q 1 (1) 1

1 0 0 0 (1) 0 0 0 0

• p˅ 0 ≡ p: 0 est élément neutre de la disjonction.

p q p˅q 1 1 1 1 (0) 1 0 1 1 0 (0) 0

L’élément neutre ne change pas la valeur de vérité du résultat quand il est placé à côté de p (p ayant la même valeur que le résultat).

18 b) Quelques équivalences

(p|q) ≡˥(p˄q) ≡(˥p˅˥q) FNC (p↓q) ≡ ˥(p˅q) ≡ (˥p˄˥q) FND (p⊃q) ≡˥p˅q FNC

(p≡q) ≡ �𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅 𝐃𝐃: (˥𝐩𝐩˅𝐪𝐪)˄(𝐩𝐩˅˥𝐪𝐪) 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐃𝐃 𝐃𝐃: (𝐩𝐩˄𝐪𝐪)˅(˥𝐩𝐩˄˥𝐪𝐪)

(pWq) ≡ �𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅 𝐃𝐃: (˥𝐩𝐩˅˥𝐪𝐪)˄(𝐩𝐩˅𝐪𝐪) 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐃𝐃 𝐃𝐃: (𝐩𝐩˄˥𝐪𝐪)˅(˥𝐩𝐩˄𝐪𝐪)

Exercice 7

Déterminer par calcul, les FNC et FND de : A : (p⊃q) |r

B : (˥r|p) ⊃ (˥p˄˥q) C : (p ≡˥r) ⊃ q D : ˥[(p|q) w ˥r] E : (p⊃q)≡(˥q↓r)

Application exercice 7 A : (p⊃q) |r

: (˥p˅q) | r : ˥ (˥p˅q) ˅ ˥r : (˥˥p˄˥q) ˅ ˥r

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A : (p˄˥q) ˅ ˥r FND : A partir de la FND trouvons la FNC, en utilisant la distributivité.

A : (p˅˥r) ˄ (˥q˅˥r) FNC