Leçon l4 : Symétrique d'un angle par rapport à un point

l.

Leçon l4 : Symétrique d'un angle par rapport à un point

Activités Activité I

a.

Reprociuire la figure ci-contre puis construire le symétrique

A'

de A par rapport â la

droite a.

-

Construire

[A'x'') ^et fA'y')

syrnetriques respectivement de _{[A_x)} et [Ay) ^par

rapport à la

droite n.

-

Par mesurer comparer les mesures des angles

xïy et x'À'y'.

b.

Construire le symétrique

A"

^de

A

par rapport à O.

-

Construire

[A"x") et

[A"y") symétriques respectivement de

[Ax)

et [Ay) par rapport à O.

-

Mesurer puis comparer angles xÀy

et

x" À,,y,' ^.

Activité

2

-

Après la figure ci-contre, déterminer

les symétriques

[Ox)de

[Ox)

et

xôx, de yôy, rapport à O.

-

Par mesurer comparer les angles

x'Ox et

y'Oy) x'Oy

l^ et

xOy'.

-

Les angles xÔx' eL

y'ôy

sonr. les angles opposés paqie sonunet.

Parmi les dessins suivants, citer ceux pour lesquels les angles sont opposés par le sommet.

Activité

3

Reproduire la figure ci-contre puis

-

Sur le segment

[AB],

^{placer le point}

^I

^{tels que les droites}

(x]) et

(xy) sont symétriques par rapport à

I.

(3)

- Par

rapport

à

I,

déterminer les symétriques de

A,

de

[Ax)

et de

I'angle

t^ xAB ^.

-

Montrer

que

*ÀB:

AÊy' ^.

-

Citer

les angles symétriqlres par rapport à

I.

^x

-

Montrer

que AÊy'= x'

Êu;

^*ÀB = ^x' Êu

et

,Ày _{= AÎly'} ^.

. Les figures ci-dessous sont les égalités des

angles

^x

formés par deux paraltèles et une sécante.

Après ces propriétés,

citer

toutes les égalités des angles de

la

figure ci-dessus.

Angles alternes-internes Angles correspondants

2. ^A retenir

I

1.

Angles

symetriques

Par rapport

à une

droite Par rapport

à

un point

Deux

angles symétriques

par

rapport

ù

une droite ou

à

un

point

ont même mesare.

Exemple

^:

Les angles

,Ày

et

x'À'y' rapport

au point O, on a

sont symétriques par rapport ^à la

droite

 ou par

: *Ày-x'À'y'.

2. Construction

d'angles

symétriques

a. Par

rapport

à une droite Exernple ^:

construire

I'angle A'ô'

B',

symétrique de

zôa

^par rapport à

la droite

d.

Construction

I'angle

- Tracer les

demi-droites

_[Ox),

[Ay)et

[Bz) perpendiculaires à la droite d respectivement

enI,LetM

- Tracer trois arcs de cercle de centre

I, L

^et

M

et de rayons respectifs OI,

LA

et

MB.

-

Ces trois arcs de cercle coupent _{[Ox), [Ay) et} [Bz) respeçtivement en O',

A'etB'.

-

Tracer les droites

(B'O')

et

(O'A'),

on a donc ^: A'Ô'

B'

symétriqu

e

de,aÔn par rapport à

la

droite d.

b. Par

rapport

à un point

Exemple

^:

construire l'angle ,'Ô'y',

symétrique de

*ôy

^par rapport au

point

R.

Construction

-

Tracer les demi-droites [OR),

txR) ^et

[yR).

-

Tracer

tlois

arcs de cercle de centre

R

et de rayons

respectifs

RO, Rx et Ry.

-

Ces arcs de cercles couperrt

[OR), [xR)

^et

''I [yR)

^{et en}

O', x'

et

y'.

-

^Traôer les droites

(O'x')

et

(O'y'), on

a donc ^:

au point R.

3. Angles de deux droites sécantes

a.

Définition

^:

'

_Deux

droites (xy)et.(xli)

sécantes en O forment deux angles opposés

par

le sommet

qui

sont symétriques

par

rapport

ào.

b. Propriété

Deux

angles opposés par le sommet ont même mesure.

Exemple : Les angles

*Ôr'

"t

^{yOy' sont opposés par le sommet,}

ona: ,ôr,=yoy'.

5l

4.

Angles

formés

par deux

parallèles

et

une sécante a.

Ansles

alternes-intemes

Définition

^:

Exemple

: Si x'Az'= ^zBY b.

Angles

cbrrespondants

sécante, alors deux angles correspondants ont même mesure.

Exemple

I zAx:

zBy 91 YlTt= _YBz'

Propriété réciproque:

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles corespondants de même mesure, alors ces deux droites ^sont parallèles.

alors

(x'x)//(r'v)

Deux angles formés ^par deux parallèles et une sécante sont alternes-intemes lorsque ^:

-

ils ont de'part et d'autre de

la

sécante ;

-

ils sont entre les Parallèles.

Exemple : Les angles xÀz'

et

zÊy' sont alternes-

'

_internes.

Propriété

-

Si deux droites parallèles sont coupées par ^trne sécante, alors ^{deux angles} alternes-internes ont même mesure.

Exemple

: xÀz':

,Êy' et

x'Àz':

,Êy

Propriété réciproque:

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-intemes de même mesure' alors ces deux droites sont parallèles.

alors

(x'x)i/(v'v)

Définition

^:

Deux angles formés ^par dgux parallèles et une qécante sont correspondants lorsque ^:

- ils sont de même _{Part de} la sécante - ils sont de part et d'autre des parallèles Exemple

:

zÀx

et

zÊy sont correspondants

Propriété

Si deux droites parallèles sont coupées par une

Exemple

' gi *)2': yÊ/

52

l.

Exercices

Dans chacun des cas suivants, reproduire puis construire le symétrique de

l'angle ,Ày

par rapport à la

droite l.

2.

Dans chacun des cas suivants, reproduire puis construire le symétrique de I'angle

AOB

par rapport au

point

P.

a.lb.

b.

t^

c. d.

3. Dans chacun des cas suivants, reproduire puis construire les symétrique de I'angle d1 et d2 rapport au

point I.

b.

a.

a.

4.

^{Dans chacun des cas suivants, écrire les} paires d'angles opposés

par

le sommet.

a.

z'

5.

^Sur la f,rgure les droites d et

d'

^se coupent en

o. calculer

^{la mesure des} angles

l;2 ^et

^{3 .}

6.

Calculer lamesuredes angles

â,ô'ô,â,ê' i' _"t ^s'

(r,

I

Sur la

figure

^les trois dt'oites 0,, O, et d3 sont parallèleS coupées

par

deux droites ^d3 et da. Donner la mesure ^des angles î; ^â;

i;î; ^s

^et-ô '

b.

z

7.

z B

v'

0)

54

8.

Soit

ABC

un

triangle

isocèle

tel

que

AB

=

AÇ

_{. ..,,}

a. Calculer la mesure des angles de ce triangle

{rgeg4gry

la mesure de

l'angle É

est le double cle I'angle 2 .

.

-' ^c.

Tracer les bissectrices

[nolde

^,lÊC

,fnn]

^ae

^aôc , [otl ^{a, nrc}

^.

Calculer la mesure des angles

nÀn

et

nnc

^.

. nïfriliT';,i:.i"i :llîî.$î"ïJ:',îgres

^isocères'

^combien

^de

I

55