cours 8, le mercredi 16 f´evrier 2011 Corollaire du lemme de Fatou. Si les fonctions (g

cours 8, le mercredi 16 f´evrier 2011

Corollaire du lemme de Fatou. Si les fonctions (g_n) sont F-mesurables, si 0≤ g_n ≤g et si gn tend simplement vers g, alors

Z

E

gndµ→ Z

E

gdµ.

Preuve. — On a d’un cˆot´e, par la croissance de l’int´egrale, lim sup

n

Z

E

gndµ≤sup

n

Z

E

gndµ≤ Z

E

gdµ

et de l’autre, puisque g= limngn = lim infngn, on a par le lemme de Fatou Z

E

gdµ≤lim inf

n

Z

E

gndµ.

Comme on a toujours lim inf ≤lim sup, il en r´esulte que lim inf

n

Z

E

g_ndµ= lim sup

n

Z

E

g_ndµ= lim

n

Z

E

g_ndµ= Z

E

gdµ.

Lemmede convergence domin´ee.Si (f_n)est une suite de fonctions F-mesurables sur E,

`

a valeurs dans [0,+∞] et qui converge simplement vers 0, et s’il existe une fonction F-mesurable G sur E, `a valeurs dans [0,+∞] telle que

Z

E

G dµ <+∞ et ∀n∈N, 0≤f_n≤G, alors

Z

E

fndµ→0.

Preuve. — Comme f_n(x) ≤ G(x), on obtient G(x) en ajoutant une quantit´e positive gn(x) `a fn(x),

∀x ∈E, f_n(x) +g_n(x) = G(x),

o`u g_n : E → [0,+∞] est F-mesurable (voir la justification pr´ecise plus loin). Comme f_n(x) tend vers 0, on constate que limg_n(x) = G(x) pour toutx: quand G(x) est fini on

´ecrit que g_n(x) = G(x)−f_n(x) tend vers G(x), et sinon, on ag_n(x) = +∞= G(x) pour tout n tel que f_n(x) < +∞, ce qui se produit pour n assez grand puisque f_n(x) → 0.

Puisque 0 ≤ g_n ≤ G et que g_n tend vers G, on obtient par le corollaire du lemme de Fatou

limn

Z

E

gndµ= Z

E

G dµ.

Pour tout n, on a par l’additivit´e de l’int´egrale Z

E

f_ndµ+ Z

E

g_ndµ= Z

E

G dµ,

et on utilise maintenant l’hypoth`ese cruciale que l’int´egrale de G est finie, qui permet d’obtenir le r´esultat par diff´erence

Z

E

f_ndµ= Z

E

G dµ− Z

E

g_ndµ→0.

Justifions la mesurabilit´e degn; dans le cas o`u G(x) est fini pour toutx, il suffit de poser gn = G−fn, qui est mesurable comme fonction continue de deux fonctions mesurables r´eelles, mais nous avons tenu `a donner un ´enonc´e d’apparence plus g´en´erale, o`u G peut prendre la valeur +∞. Consid´erons l’ensemble A ={G<+∞}, qui appartient `a la tribuF; sur cet ensemble A, la fonction G et toutes les fonctionsfn sont finies, donc

1^Afn, 1^AG

sont F-mesurables `a valeurs r´eelles finies, et on a vu dans ce cas que 1^AG−1^Afn est F-mesurable ; pour chaque entier n, on peut consid´erer la fonctiongn d´efinie ainsi :

gn(x) = (1^AG−1^Afn)(x) = G(x)−fn(x)≥0 si x∈A

et gn(x) = +∞ en dehors de A. Alors gn est F-mesurable `a valeurs dans [0,+∞] et on v´erifie que

fn+gn = G.

On peut remarquer pour finir que l’ensemble o`u G vaut +∞ est de mesure nulle, puisque l’int´egrale de G est finie, et on aurait pu raisonner en disant que R

Efndµ = R

E1^Afndµ pour toutn.

II.2.4. Int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes

D´efinition. On dit qu’une fonction F-mesurable r´eelle f : E → R est int´egrable par rapport `a µ (on dit aussi µ-int´egrable) si R

E|f|dµ est finie.

Dans ce cas, les deux fonctions F-mesurables positivesf⁺ etf⁻, qui sont major´ees par|f|, ont aussi une int´egrale finie. Inversement, si f⁺ etf⁻ ont une int´egrale finie par rapport `a µ, il en est de mˆeme pour |f|=f⁺+f⁻.

Si f est µ-int´egrable, on peut ´ecrire f = f⁺ − f⁻, diff´erence de deux fonctions positives d’int´egrale finie. Plus g´en´eralement, si f est la diff´erence f₁ − f₂ de deux fonctionsF-mesurables `a valeurs dans [0,+∞[ (infini exclus ; pour changer) et d’int´egrale finie, la quantit´e

Z

E

f₁dµ− Z

E

f₂dµ ne d´epend que de f.

En effet, si f₁ −f₂ = g₁ −g₂, avec g₁, g₂ elles aussi positives et d’int´egrale finie, alors f₁+g₂ = g₁ +f₂, et comme on a montr´e l’additivit´e de l’int´egrale des fonctions positives, on a

Z

E

f₁dµ+ Z

E

g₂dµ= Z

E

f₂dµ+ Z

E

g₁dµ,

ce qui donne bien le r´esultat voulu car toutes les quantit´es sont finies, et les soustractions possibles pour conclure que

Z

f₁dµ− Z

f₂dµ= Z

g₁dµ− Z

g₂dµ.

D´efinition. Si f est F-mesurable `a valeurs dans R, int´egrable par rapport `a µ, son int´egrale est d´efinie par

Z

E

fdµ:=

Z

E

f⁺dµ− Z

E

f⁻dµ,

mais on sait que l’int´egrale peut se calculer avec n’importe quelle d´ecomposition de f comme diff´erence de fonctions ≥0 int´egrables.

Sif ≥0 estµ-int´egrable, l’int´egrale nouvelle est coh´erente avec l’ancienne. En effet, on a dans ce cas f =f⁺, f⁻ = 0 etR

Ef⁻dµ= 0.

Lin´earit´e et croissance

On donnef, g int´egrables. On ´ecritf =f⁺−f⁻ etg=g⁺−g⁻; on a une repr´esentation de la somme sous la formef+g= (f⁺+g⁺)−(f⁻+g⁻), diff´erence de fonctions positives int´egrables, qui permet de calculer l’int´egrale de la somme et de v´erifier que

Z

E

(f+g) dµ= Z

E

fdµ+ Z

E

gdµ.

En effet,

Z

E

(f +g) dµ= Z

E

(f⁺+g⁺) dµ− Z

E

(f⁻+g⁻) dµ

= Z

E

f⁺dµ− Z

E

f⁻dµ+ Z

E

g⁺dµ− Z

E

g⁻dµ= Z

E

fdµ+ Z

E

gdµ.

Siαest un r´eel positif, on ´ecritαf =αf⁺−αf⁻ et on utilise la^hhlin´earit´e positiveⁱⁱ de l’int´egrale des fonctions≥0, et pourα <0, on ´ecritαf =|α|f⁻−|α|f⁺ pour conclure que

∀α ∈R, Z

E

(αf) dµ=α Z

E

fdµ.

Si f ≤g, la fonction g−f est ≥0, donc son int´egrale est ≥0 et la lin´earit´e donne 0≤

Z

E

(g−f) dµ= Z

E

gdµ− Z

E

fdµ, qui donne la croissance de l’int´egrale. De plus, on a clairement

− Z

E|f|dµ=− Z

E

f⁺− Z

E

f⁻ ≤ Z

E

fdµ≤ Z

E

f⁺+ Z

E

f⁻ = Z

E|f|, ce qui donne

Z

E

fdµ ≤

Z

E|f|dµ.

R´esum´e.Soientf, g deux fonctionsF-mesurables sur E, `a valeurs dans Ret int´egrables par rapport `a µ; on a

∀α, β∈R, Z

E

(αf +βg) dµ=α Z

E

fdµ+β Z

E

gdµ, et

0≤f ≤g ⇒ Z

E

fdµ≤ Z

E

gdµ, Z

E

fdµ ≤

Z

E|f|dµ.

Fonctions mesurables ou int´egrables `a valeurs complexes

D´efinition. On dira que f : E → C est F-mesurable si les deux fonctions `a valeurs r´eelles Ref et Imf, partie r´eelle et partie imaginaire de f, sont F-mesurables.

Dans ce cas le module |f| = p

(Ref)²+ (Imf)² est F-mesurable (op´eration con- tinue sur deux fonctions mesurables). On dit quefestµ-int´egrable si elle estF-mesurable et si

Z

E|f|dµ <+∞.

Comme |Ref| ≤ |f| et |Imf| ≤ |f|, il en r´esulte que Ref et Imf sont µ-int´egrables et on peut poser

Z

E

fdµ= Z

E

Refdµ+ i Z

E

Imfdµ.

On v´erifie laC-lin´earit´e de l’int´egrale, en ´ecrivantα =u+ iv,u, v∈R, et en d´ecomposant αf = (u+ iv)(Ref+ i Imf) = (uRef −vImf) + i(uImf +vRef)

en parties r´eelle et imaginaire, et en reconstituant l’int´egrale de αf.

Propri´et´es : C-lin´earit´e et majoration. Si f, g sont µ-int´egrables `a valeurs complexes, si α, β∈ Csont donn´es, on a

Z

E

αf +βg

dµ=α Z

E

fdµ+β Z

E

gdµ.

De plus,

Z

E

fdµ ≤

Z

E|f|dµ.

Preuve. — La v´erification de la C-lin´earit´e est facile apr`es qu’on a montr´e que pour tout α complexe, on a l’´egalit´e R

E(αf) dµ = αR

Efdµ. D´emontrons la majoration du module de l’int´egrale : on peut ´ecrire l’int´egrale de f, qui est un nombre complexe z, sous la forme

Z

E

fdµ=z =re^iθ

o`ur≥0 est le module de l’int´egrale etθ un nombre r´eel, qui est un argument du nombre complexe z. Par la C-lin´earit´e de l’int´egrale,

Z

E

e^−iθf

dµ=r, donc

Z

E

fdµ

=r = ReZ

E

e^−iθfdµ

= Z

E

Re e^−iθf dµ

≤ Z

E

Re e^−iθf dµ≤

Z

E

e^−iθf dµ=

Z

E

f dµ.

Rapport avec l’int´egrale de Riemann, cas r´eel ou complexe

Proposition. Si la fonction f, `a valeurs r´eelles ou complexes, est B-mesurable et si elle est Riemann-int´egrable sur [a, b], on a

Z

[a,b]

fdλ= Z b

a

f(t) dt.

Si f est B-mesurable sur [a, c[ et Riemann-int´egrable sur tout segment [a, b] ⊂ [a, c[, alors f est λ-int´egrable sur [a, c[ si et seulement si l’int´egrale g´en´eralis´ee de f sur [a, c[

est absolument convergente, et on a dans ce cas Z

[a,c[

fdλ= Z c

a

f(t) dt.

Preuve. — On a vu le cas positif. Il suffit d’utiliser les nouvelles d´efinitions, par exemple dans le cas r´eel : sif estλ-int´egrable, alorsf⁺ etf⁻ sontλ-int´egrables et on a vu que les int´egrales g´en´eralis´ees de f⁺ et f⁻ sont finies, ´egales aux int´egrales de Lebesgue, donc

Z

[a,c[

fdλ = Z

[a,c[

f⁺dλ− Z

[a,c[

f⁻dλ = Z c

a

f⁺(t) dt− Z c

a

f⁻(t) dt= Z c

a

f(t) dt.

Th´eor`eme de convergence domin´eede Lebesgue, premi`ere version.Si une suite (f_n) de fonctions F-mesurables sur E, `a valeurs dans R ou dans C, tend simplement vers f et s’il existe une fonction g `a valeurs dans [0,+∞[ telle que

Z

E

gdµ <+∞ et |fn| ≤g

pour toutn, il en r´esulte que lesf_n sont int´egrables, ainsi quef etl’int´egrale de la limite est la limite des int´egrales,

Z

E

fdµ= lim

n

Z

E

f_ndµ.

Preuve. — On sait que f est F-mesurable comme limite simple ; de plus, on obtient l’in´egalit´e |f| ≤g `a la limite, donc f estµ-int´egrable.

Posons g_n = |f_n −f|; cette suite (g_n) de fonctions mesurables positives tend sim- plement vers 0, et 0≤gn ≤2g= G, avec R

EG dµ <+∞. Par le lemme de convergence domin´ee,

limn

Z

E|fn−f|dµ= 0, d’o`u le r´esultat, puisque

Z

E

f_ndµ− Z

E

fdµ ≤

Z

E|f_n−f|dµ tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

Exercice trait´e. On a

Z π/2

−π/2

cosⁿ(x) dx→0.

En effet,f_n(x) = cosⁿ(x) tend simplement vers 0 si 0<|x| ≤π/2, et reste ´egal `a 1 pour x= 0, donc

f_n →1_{0} =f

qui est d’int´egrale nulle, et la convergence est domin´ee par g(x) = 1, qui est int´egrable sur [−π/2, π/2].

Plus pr´ecis´ement, on va montrer maintenant que

√n Z π/2

−π/2

cosⁿ(x) dx→ Z

R

e^−y2/2 dy.

Pour 0 ≤ t ≤ π/2, on a sint ≥ 2t/π (concavit´e de la fonction sinus sur [0, π/2]), donc pour 0≤x≤π/2 on a

(∗) 1−cosx=

Z x 0

sintdt≥ Z x

0

(2t/π) dt=x²/π;

comme les fonctions des deux cˆot´es de l’in´egalit´e sont paires, cette in´egalit´e (∗) reste valable quand|x| ≤π/2. Par le changement de variable y=√

n x, on obtient

√n Z π/2

−π/2

cosⁿ(x) dx= Z π√

n/2

−π√ n/2

cosⁿ(y/√

n) dy= Z

R

fn(y) dy,

o`u on a pos´e

∀y ∈R, f_n(y) =1_[−π^√_n/2,π^√_n/2](y) cosⁿ(y/√ n).

En utilisant (∗) et l’in´egalit´e 1−u≤e^−u valable pour toutu r´eel, on voit que

|y/√

n| ≤π/2 ⇒ 0≤cosⁿ(y/√

n)≤ 1−y²/(nπ)n

≤e^−y2/π;

il en r´esulte queg :y→e^−y2/π est un majorant pour la suite (f_n), et ce majorant g est Lebesgue-int´egrable sur R, car

Z

R

e^−x2/π dx= 2 Z _+∞

0

e^−x2/π dx ≤2 Z 1

0

dx+ 2 Z _+∞

1

e^−x/π dx <2 + 2π <+∞.

Par ailleurs, on voit que f_n(y)→e^−y2/2 =f(y) pour tout y en utilisant un DL de cosu et de ln(1 +u). On peut donc appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee et conclure.

Suite de l’exercice : int´egrales de Wallis et valeur de l’int´egrale gaussienne On pose pour n≥0

Wn = Z π/2

−π/2

cosⁿxdx.

On voit que W₀ =π, W₁ = 2. Sin >0 Wn+1 =

Z π/2

−π/2

cosⁿxcosxdx=h

cosⁿxsinxiπ/2

x=−π/2+n Z π/2

−π/2

cosⁿ⁻¹xsin²xdx

= n Z π/2

0

(cosⁿ⁻¹x)(1−cos²x) dx=nW_n−1−nW_n+1, ce qui fournit la relation

(n+ 1)W_n+1 =nW_n−1; on obtient donc en multipliant par W_n

(n+ 1)W_n+1W_n =nW_n−1W_n =nW_nW_n−1, une ´egalit´e qu’on peut ^hhdescendre ⁱⁱtant que n >1 ; on arrivera `a

(n+ 1)W_n+1W_n =nW_nW_n−1 = (n−1)W_n−1W_n−2 =. . .= 1.W₁W₀ = 2π.

Cela prouve que nW_nW_n−1 = 2π pour tout entier n >0. On a vu que

√nW_n→I :=

Z

R

e^−y2/2 dy, et comme (n−1)/n tend vers 1, on a aussi√

nW_n−1 →I, donc I² = lim

n nW_nW_n−1 = 2π, ce qui permet de trouver la valeur de l’int´egrale gaussienne,

Z

R

e^−y2/2 dy=√ 2π.

Cette int´egrale importante peut aussi se calculer au moyen d’une int´egrale double ´evalu´ee en coordonn´ees polaires.

Mesures de restriction

On donne un espace mesur´e (E,F, µ). Si E₁ est un sous-ensemble de E et si E₁ ∈ F, on peut consid´erer la tribu F¹ de parties de E1 obtenue en prenant les ensembles de F qui sont contenus dans E₁, ou bien, ce qui est pareil puisque E₁ ∈ F, les ensembles C∩E₁ o`u C varie dans F,

F1 ={B∈ F : B⊂E₁}={C∩E₁ : C∈ F} ⊂ P(E₁).

On d´efinit une mesure µ1 sur cette tribu F¹ en posant simplement µ1(B) = µ(B) pour tout B∈ F1.

Si f est une fonction F-mesurable de E dans R, sa restriction f1 est la fonction f₁ : E₁ →R, d´efinie uniquement sur E₁ par la formule f₁(x) = f(x) pour toutx ∈E₁; cette fonction est F¹-mesurable, car

{f₁ > c}={x ∈E₁ :f(x)> c}={f > c} ∩E₁ ∈ F1

pour tout r´eel c.

Remarque. On pourra voir une analogie avec la topologie induite sur un ouvert U d’un espace topologique X : on peut montrer que la restriction d’une fonction r´eelle continue sur X est continue sur U exactement comme dans les lignes qui pr´ec`edent.

Lemme. Sigest F-mesurable sur E, `a valeurs dans [0,+∞], sig1 est la restriction deg

`

a E₁ ∈ F, on a

Z

E1

g₁dµ₁ = Z

E

1_Agdµ.

Si g est F-mesurable sur E, `a valeurs r´eelles ou complexes, la restriction g₁ est µ₁- int´egrable sur E₁ si et seulement si 1_E1g est µ-int´egrable sur E, et les deux int´egrales sont ´egales.

Preuve. —On v´erifie d’abord l’´egalit´e quandϕestF-´etag´ee≥0 ; dans ce cas la restriction ϕ1 est F1-´etag´ee sur E1 : si on a une partition A1, . . . ,Am de E en ensembles de F sur lesquelsϕest constante, les ensembles Aj∩E1fournissent une partition de E1en ensembles deF1 sur lesquelsϕ1 est constante ; on peut donc ´ecrire

ϕ1=

n

X

j=1

bj1^Bj, 1^E1ϕ=

n

X

j=1

bj1^Bj + 0.1^E\E₁,

o`u (Bj) est une partition de E1 en ensembles de la tribuF1, qui sont aussi des ensembles deF. Cela donne

Z

E₁

ϕ1dµ1=

n

X

j=1

bjµ1(Bj) =

n

X

j=1

bjµ(Bj) + 0.1^E\E₁ = Z

E

1^E1ϕdµ.

Pour le cas g´en´eral on passe par une suite croissante (ϕn) de fonctionsF-´etag´ees qui tend vers g, et on applique deux fois le TCM, une fois avec µ et une autre avec µ1 : la suite (1E₁ϕn) tend en croissant vers1^E₁g et les restrictions des ϕn tendent en croissant vers la restrictiong1.

On obtient facilement le cas r´eel en appliquant ce qui pr´ec`ede aux fonctions positivesf⁺ etf⁻, puis le cas complexe en d´ecoupant en partie r´eelle et imaginaire.

Ces choses ´etant bien comprises, on ´ecrira d´esormais, en oubliant dans la notation les mentions `a l’op´eration de restriction, pour tout A∈ F, et pour f fonction F-mesurable,

`a valeurs dans [0,+∞] ou bien µ-int´egrable r´eelle ou complexe Z

A

fdµ= Z

E

1_Afdµ.

On rappelle que si µ(A) = 0, on a Z

A

fdµ= 0,

parce que l’ensemble des points o`u la fonction 1_A|f| est diff´erente de 0 est de mesure nulle.