Chapitre 7 : Convergence de variables aléatoires

Probabilités

Chapitre 7 : Convergence de variables aléatoires

Lucie Le Briquer 23 novembre 2017

(Xn)_n∈Nsuite de v.a. etX une v.a., toutes à valeurs dans(R^d,B(R^d)).

• On dit que la suiteXn tend presque sûrement versX et on le note Xn

−−−−−→p.s.

n→+∞ X si X_n −−−−−→

n→+∞ X p.s. (P(X_n→X) = 1)

• Sip>1, on dit queX_n tend dansL^p versX et on le noteX_n ^L

p

−−−−−→

n→+∞ si lesX_net X sont dansL^p(R^d)et E[kXn−Xk^p]−−−−−→

n→+∞ 0.

• On dit queX_n tend en probabilité verx X et on le noteX_n−−−−−→^P

n→+∞ X si :

∀ε >0, P(kXn−Xk> ε)−−−−−→

n→+∞ 0

• (convergence très différente)

On dit queX_n tend en loi versX et on le note X_n−−−−−→^(L)

n→+∞ X si

∀f: R^d →Rcontinue bornée E[f(Xn)]−−−−−→

n→+∞ E[f(X)]

Définition 1(modes de convergence d’une v.a.)

Remarque.Les 2 plus importantes sont la convergence p.s. et la convergence en loi.

Remarque.On peut définir ces convergences sur des espaces plus exotiques.

• −−→^p.s. peut être définie pour des v.a. à valeurs dans(E, ξ)quelconque.

• −^L−→^p peut être définie sur n’importe quel espace normé

• −→^P peut être définie sur n’importe quel espace métrique, on remplace par : P(d(Xn, X)ε)−−−−−→

n→+∞ 0

• −−→^(L) est définie sur n’importe quel espace topologique X,

∀f:X→Rcontinue bornée E[f(Xn)]−−−−−→

n→+∞ E[f(X)]

Remarque.Attention à la convergence en loi X_n −−−−−→^(L)

n→+∞ X ne dit pas que X_n est proche de X mais seulement que µX_n proche de µX. En effet :

E[f(X_n)]−−−−−→

n→+∞ E[f(X)] ⇔ Z

f(x)dµ_Xn−−−−−→

n→+∞

Z

f(x)dµ_X ne dépend de la v.a. qu’à travers sa loi.

Exemple.SoitX ∼ B ¹₂

alors1−X ∼ B ¹₂

. Si on poseX_n=X alors, E[f(Xn)] = f(0) +f(1)

2 =

Z

f dµ_B(1/2)=E[f(X)] =E[f(1−X)]

DoncX=Xn

−−−−−→(L)

n→+∞ 1−Xmais|Xn−(1−X)|= 1p.s. (les variables aléatoires ne s’approchent pas). On a aussiXn

−−−−−→(L)

n→+∞ X. Donc on a pas non plus unicité de la limite.

Remarque.Les propriétés usuelles échouent.

• Xn

−−−−−→∗

n→+∞ X etYn

−−−−−→∗

n→+∞ Y ⇒Xn+Yn

−−−−−→∗

n→+∞ X+Y vrai pourL^p,P,p.s.

• Xn

−−−−−→∗

n→+∞ X etYn

−−−−−→∗

n→+∞ Y ⇒XnYn

−−−−−→∗

n→+∞ XY vrai pourPet p.s.

Faux pour L:Xn

−−−−−→(L)

n→+∞ 1−X et Xn

−−−−−→(L)

n→+∞ X 6⇒2Xn

−−−−−→(L) n→+∞ 1

• X_n−−−−−→^(L)

n→+∞ X etY_n−−−−−→^(L)

n→+∞ Y 6⇒(X_n, Y_n)−−−−−→^(L)

n→+∞ (X, Y)

(Xn)n>1 et X des v.a. dans(R^d,B(R^d))

X_n −−−−−→^p.s.

n→+∞ X

X_n−−−−−→^Lq

n→+∞ X

X_n−−−−−→^Lp

n→+∞ X

X_n−−−−−→^P

n→+∞ X

X_n−−−−−→^(L)

n→+∞ X

(3) (2)

(1)

(4)

q > p

suites extraites Propriété 1

Preuve.

1. q > p, soitr tel que _q/p¹ +¹_r = 1⇒r= _q−p^q : E[kXn−Xk^p] =E[kXn−Xk^p×1] =

HölderE

îkXn−Xk^pq/póp/q

E[1^r]^1/r=E[kXn−Xk^q]^p/q−−−−−→

n→+∞ 0 Remarques.

• q > p:x→ |x|^p/qconvexe, par JensenE[kX_n−Xk^p]6E[kX_n−Xk^q]^p/q

• La réciproque est fausse. SoitY_n∼ B(1/n).X_n =n^αY_n. AlorsE[|X_n|^p] =n^αp−1donc X_n ^L

p

−−−−−→

n→+∞ 0 ⇔ α < ¹_p pour ¹_q < α < ¹_p.X_n ^L

p

−−−−−→

n→+∞ 0maisX_n6−−−−−→^Lq

n→+∞ 0.

• −^L−→¹ est la plus faible des convergencesL^p. 2. Montrons queX_n ^L

1

−−→⇒X_n−−−−−→^P

n→+∞ X.

P(kXn−Xk> ε) 6

Markov

E[kXn−Xk]

ε −−−−−→

n→+∞ 0 3. Xn

−−−−−→p.s.

n→+∞ X alors :

P(kXn−Xk> ε) =E h

1kXn−Xk>ε

| {z }

−−−−−→p.s.

n→+∞

0et|.|61

i _TCD

−−−−−→

n→+∞ 0

La réciproque est fausse.

Contre-exemple 1. Soit(X_n)une suite de v.a. indépendantesX_n ∼ B(1/n) P(|Xn|> ε)6P(Xn = 1) = 1

n −−−−−→

n→+∞ 0 doncX_n −−−−−→^P

n→+∞ 0. Mais : X

n>1

P(X_n= 1)

| {z }

evt idp

=X1 n = +∞

Donc par le Lemme de Borel-Cantelli lim{Xn= 1}p.s. DoncXn6−−−−−→^p.s.

n→+∞ 0.

Ceci implique que Xn n’a pas de limite p.s. puisque siXn

−−−−−→p.s.

n→+∞ Z alors Xn −−−−−→P

n→+∞ Z

et par unicité des limites−−−−−→^P

n→+∞ on auraitZ= 0 p.s.

Contre-exemple 2. SoitU ∼ U([0,1])et :

X2ⁿ+k =1₂^k_n 6U < k+ 1 2ⁿ

pour 0 6 k 62ⁿ−1 n > 0. Pour tout i > 1, ∃!(ni, ki) tq i = 2ⁿⁱ +ki 6 2×2ⁿⁱ donc ni−−−−−→

n→+∞ +∞. Ainsi :

P(|Xi|> ε)6P(Xi= 1) = 1

2ⁿⁱ −−−−−→

n→+∞ 0

∀x∈[0,1[, ∀n>1, ∃ktel quex∈k 2ⁿ;^k+1_2n

=I_n,k.∀ω, ∀n>1, ∃btel queX₂n+k= 1(n et btels queU(ω)∈I_n,k). Donc :

(Xi= 1une infinité de fois)p.s. donc (Xi6−−−−−→^p.s.

n→+∞ 0) On peut remonter un peu :X_n −−−−−→^P

n→+∞ X alors∃nk suite extrate telle quex_nk−−−−−→^p.s.

n→+∞ X. En effet :

∀k,∃n_k,∀n>n_k P Å

kX_n−Xk> 1 k

ã 6 1

k² (carP(|X_n−X|)>1/k−−−−−→

n→+∞ 0). Alors, X

n>1

P(kXn−Xk)<+∞

Donc par le lemme de Borel-Cantelli on a (pourk assez grandkXnk−Xk6 _k¹) p.s. donc (limkX_nk−Xk= 0)p.s. AinsiX_nk−−−−−→^p.s.

n→+∞ X

Applications 1. X_n−−−−−→^P

n→+∞ X etC= sup_nE[kX_nk^p]<+∞ ⇒X ∈L^p etE[kXk]6X. Preuve.

∃nk Xn_k

−−−−−→p.s.

k→+∞ X et alors

E[kXk^p] =E[lim infkX_nk^p] 6

Fatou

lim infE[kX_nkk^p]6C <+∞

2.

F={f: [0,1]→[0,1]|mesurable}\_f=gsif(x)=g(x)Lebp.p.

alors6 ∃ dmétrique surF tel que : fn

−−→p.p ⇔ d(fn, f)−−−−−→

n→+∞ 0

Preuve.

Soit(Xn)n>1 une suite de v.a. de([0,1],B([0,1]),Leb)dans[0,1]telles queXn−−−−−→P

n→+∞ X

maisX_n6−−−−−→^p.s.

n→+∞ X. Doncd(X_n, X)6−−−−−→

n→+∞ 0donc∃ε >0, ∃n_k suite d’entiers strictement croissants tel que ∀k, d(Xn_k, X) > ε Xn_kextrait de Xn P

−−−−−→

n→+∞ X donc Xn_k P

−−−−−→

k→+∞ X

donc il existsk(r)une suite d’entiers strictement croissants tels queXn_k(r) −−−−−P →

r→+∞ X alors ε < d(X_nk(r), X)−−−−−^P →

r→+∞ 0. Absurde donc dn’existe pas.

Remarque. Pareil pour l’ensemble des fonctions à valeurs dans R. L’obstruction vient même si on ne demande pas àdde vérifier l’inégalité triangulaire.

Remarque.−−−−−→^p.s.

n→+∞6⇒−−−−−→^L1

n→+∞. En effet soitU ∼ U([0,1])etXn=n1U6n¹

−−−−−→p.s.

n→+∞ 0.

E[|X_n|] = 1doncX_n 6−−−−−→^L1

n→+∞ 0

SoitXn−−−−−→P

n→+∞ X,r > p >1 etsup_NE[kXnk^r]<+∞alors : Xn

L^p

−−−−−→

n→+∞ X

Propriété 2

Preuve.

Soitε >0. On suppose queX ⊂L^p.

E[kXn−Xk^p] =E[kXn−XkkX−Xk6ε] +E

kXn−Xk^p1kXn−Xk>ε 6ε^p +

HölderE

îkXn−Xk^pr/pó^p_r E

1kXn−Xk>ε^1/α

6ε^p+ Ö

E[kX_n−Xk^p]

| {z }

kXn−Xkr6kXnkr+kXkr6C

1 r

è^p

P(kX_n−Xk> ε)^α1

| {z }

−−−−−→

n→+∞

0

1

r+¹_α= 1. DonclimE[kXn−Xk^p]6ε^pdoncε→0 Xn L^p

−−−−−→

n→+∞ X.

On cherche un critère pour rendre équivalent−−−−−→^P

n→+∞ et−−−−−→^L1

n→+∞ (très utile pour les martingales).

On dit qu’une suite de v.a. réellesL¹(Xi)_i∈I est uniformément intégrable si

L→+∞lim sup

i∈IE

|Xi|1|Xi|>L

= 0 On notera(X_i)_i∈I U.I.

Définition 2(uniformément intégrable)

Exemple.Si X∈L¹,{X} est U.Y. puisque

E

h |X|1|X|>L

| {z }

−−→p.s. 0et|.|6L¹

i

−−−−−→TCD L→+∞ 0

Exemple.Si ∃Y ∈Ltelle que∀i,|X_i|6Y p.s. alors(X_i)_i∈I est U.I. car : E

|Xi|1|Xi|>ε 6E

|Y|1|Y|>L

Exemple.Si Iest fini est lesXi sontL¹,(Xi)est U.I. (prendreY =|X1|+...+|Xn|).

(Xi)i∈I U.I. ⇔

ß C= sup_i∈IE[|Xi|]<+∞

et lim_δ→0sup_{{A|P(A)6δ},i∈I}E[|Xi|1^A] = 0 Propriété 3(caractérisation)

Preuve.

⇒:

• sup_i∈IE[[X_i[1|Xi>L]est une fonction décroissante de L qui tend ves 0 donc61 pour un certainLet alors ∀i∈I :

E[|Xi|] =E[|Xi|1|Xi|6L] +E[|Xi|1|Xi|>L]6L+ 1

• Si P(A)6δ,

E[|Xi|1^A] =E[|Xi1|Xi|6L1^A] +E[|Xi|1|Xi|>L1^A] Donc :

sup

i∈I E[|Xi|1^A] =LP(A) + sup

i∈IE[|Xi|1|Xi|>L]

| {z }

6ε∀L>L_ε

DoncL=L_ε etδ=_L^ε

ε : sup

i∈IE[|Yi|1^A]6ε+ε= 2ε vrai∀AP(A)6δ

⇐:C= sup_i∈IE[|Xi|]<+∞. On se donneε >0,∃δtel que : P(A)6δ⇒E[|X_i|1A]6ε∀i∈I

P(|Xi|> L) 6

Markov

E[|Xi|]

L 6C

L On poseL_ε= ^C_δ, alors pourL > L_ε,P(|Xi|> L)6δ, alors :

E[|Xi|1|Xi|> L

| {z }

AtqP(A)6δ

]6ε ∀i∈I

(X_n)_n>1 suite de v.a.L¹et X une v.a., on a : Xn

L¹

−−−−−→

n→+∞ X ⇔ Xn −−−−−→P

n→+∞ X et (Xn)n>1U.I.

Propriété 4

Preuve.

⇒:

L¹

−−−−−→

n→+∞ ⇒−−−−−→^P

n→+∞ déjà vu.

E[|Xn|]6E[|Xn−X|]

| {z }

−−−−−→

n→+∞

0

+E[|X|]

DoncX_n est bornée dansL¹ et :

E[|Xn|1A]6E[|X|1A] +E[|Xn−X1A|]

Soitε >0,∃n0 tel que∀n>n0,E[|Xn−X|]6ε

{X₁, ..., X_n0−1} U.I. car famille finie de v.a.L¹

donc∃δtel que pour une v.a.Y de cette familleP(A)6δ⇒E[|Y|1A]6ε. Alors, siP(A)6δ:

E[|Xn|1^A]6







ε sin6n0−1car c’est une v.a. de cette famille E[|X|1^A]

| {z }

6εcarXdans la famille

+E[|Xn−X|]

| {z }

6ε

sin>n0 62ε

⇐ : Xn −−−−−→P

n→+∞ X, Xn borné dans L¹ → X ∈ L¹. (Xn)n>1 et {X} sot 2 familles UI donc

∀ε >0,∃δtel que∀P(A)6δ on aE[[Xn|1^A]6ε∀netE[|X|1^A]6ε.

∃n0 tq pourn>n₀:

P(|Xn−X|> ε)6δ Alors,

E[|Xn−X|] =E[|Xn−X|1|Xn−X|6ε] +E[|Xn−X|1|Xn−X|>ε] 6ε+E[|Xn|1|Xn−X|> ε

| {z }

P(.)6δ

] +E[|X|1|Xn−X|>ε]

63ε

−−−−−→P

n→+∞ →−−−−−→^(L)

n→+∞ SiX_n −−−−−→^P

n→+∞ X :

|E[f(X_n)]−E[f(X)]|= E

(f(X_n)−f(X))1kXn−Xk>ε

+E

(f(X_n)−f(X))1kXn−Xk6ε

62kfk_∞P(kXn−Xk> ε) +E

|f(Xn)−f(X)|1kXn−Xk6ε 1kXk6A1kXk>A 62kfk_∞P(kX_n−Xk> ε) + sup

x,y:kxk,kyk6A+1,kx−yk6ε

|f(x)−f(y)|

+ 2kfk_∞P(kXk> A)

D’où : lim_n

E

h

f(X_n)−f(X)i

| {z }

=0ε→0puisA→0

6 sup

kxk,kyk6A+1,kx−yk6ε

|f(x)−f(y)|

| {z }

−−−→

ε→0

0carf absolument sur{x|kxk6A+1}compact

+ 2kfk_∞P(kXk> A)

| {z }

−−−−−→

A→+∞

0

Contre-exemple.Xn=X∼ B(1/2), Xn

−−−−−→(L)

n→+∞ 1−X maisXn6−−−−−→^P

n→+∞ 1−X. X_n −−−−−→^(L)

n→+∞ Xsignifieinff(x)dµ_Xn(x)−−−−−→

n→+∞

R f(x)dµ_X(x); a encore un sens si lesX_n ne sont pas sur le même espace de probabilité.

À l’opposé on peut faire un “couplage” (trouver des v.a. Y_n qui ont les lois des X_n) et pour lesquels cette convergence est plus forte.

Soit(X_n)_n>1 etX v.a. réelles, n a l’équivalence : (i)Xn

−−−−−→(L)

n→+∞ X ⇔(ii)∀t point de continuité deFX, FX_n(t)−−−−−→

n→+∞ FX(t)

⇔(iii)∃(Y_n)_n>1et Y v.a. réelles telles queµ_Yn=µ_Xn ∀n, µ_Y =µ_X etYn−−−−−→

n→+∞ Y p.s.

Théorème 1

Remarque.(Yn)n>1,Y sont un couplage qui renforce la convergence.

Remarque.(i)⇔(iii)est le théorème de représentation de Skorokhod.

Preuve.

(iii)⇒(i): Soitf continue bornée E[f(Xn)] =

Z

f(x)dµX_n(x) = Z

f(x)dµY_n(x)

−−−−−→

n→+∞

−−−−−→p.s.

n→+∞

→−−−−−→^(L)

n→+∞

Z

f(x)dµ_Y(x) = Z

f(x)dµ_X(x) =E[f(X)]

(i)⇒(iii): Posons,

fp(x) = Ç

1−p Å

x− Å

t−1 p

ãã

+

å

+

gp(x) = 1−p(x−t)₊

+

fp et gp sont continues bornées et∀x fp(x)61^x6t6gp(x).

E[fp(Xn)]

| {z }

−−−−−→

p→+∞ E[f_p(X)]

6E[1^Xn6t]

| {z }

=F_xn(t)

6 E[gp(Xn)]

| {z }

−−−−−→

p→+∞ E[g_p(X)]

OrE[1X6t−¹_p]6E[fp(X)]etE[gp(X)]6E[X6 +¹]. Donc : F_X

Å t−1

p ã

6limF_Xn(t)6limF_Xn(t)6F_X Å

t+1 p ã

Donc sitest un point de continuité de F_X, on obtientF_Xn(t)−−−−−→

n→+∞ F_X(t).

(ii) ⇒ (iii) : On sait que FY_n −−−−−→

n→+∞ FX sur les points de continuité de FX. On se donne U ∼ U[0,1]et on poseY_n=F_X^<−1>

n (U)∀netY =F_X^<−1>(U). On a vu queY_n =

loiX_n etY =

loiY. On peut espérer :

F_Xn−−−−−→

n→+∞ F_X F_X^<−1>

n −−−−−→

n→+∞ F_X^<−1> F_Xn(U)^<−1>−−−−−→

n→+∞ F_X^<−1>(U) ? ? Rappel.

F^<−1>(U) = inf{t| F(t)>u}

| {z }

[F^<−1>(u);+∞[

pour0< u <1

F(t)>u⇔t>F^<−1>(u)(contraposée F(t)< u⇔t < F^<−1>(u))

Remarque.F est une fonction croissante vornée donc il y a un nombre au plus dénombrable de point de discontinuité.

SiA_p=¶

t|F(t)>F(t⁻) +¹_p© , alors CardA_p×1

p 6 X

t∈Ap

F(t)−F(t⁻) = lim

+∞F−lim

−∞F = 1−0 = 1 DoncA_p est fini et

[

p>1

Ap={points de discontinuités} est au plus dénombrable

Donc on peut trouverΓ un ensemble dénombrable de points de continuité dense dansR. Soitf ∈Γ, regardons l’évènement :

{Y > t}={F_X^<−1>(U)> y}={U > F_X(t)

| {z }

=limF_Xn(t)

}

⊆ {pournassez grandU > F_Xn(t)}

={pournassez grandF_X^<−1>

n (U)

| {z }

Y_n

> t}

⊆ {limYn>t}

Or,

{limYn< Y} =

Γdense

[

t∈Γ

{limYn< t < Y}

=[

t∈Γ

{limY_n < t, t < Y

| {z }

⊆{limY_n>t}

}=∅

DonclimY_n>Y p.s.

Regardons maintenant :

{Y 6t}={F_X^<−1>(U)6t}={U 6FX(t)}

={U=F_X(t)} ∪ {U < FX(t)}

={U=FX(t)} ∪ {pournassez grandU < FX_n(t)}

⊆ {U=F_X(t)} ∪ {pournassez grand U 6F_Xn(t)

| {z }

{F_Xn^<−1>(U)6t}={Yn6t}

}

⊆ {U=F_X(t)} ∪ {limY_n 6t}

Regardons,

{limYn > Y}[

t∈Γ

{limYn > t} ∩ {t>T}

⊆ {limYn> t} ∩

{U =FX(t)} ∪ {limYn 6t}

⊂ {U =FX(t)}

| {z }

de proba0

∪ {limYn> t,limYn6t}

| {z }

=∅

Donc{Y >limY_n}p.s. Ainsi :

Y 6limYn6limYn6Y p.s.

FinalementYn−−−−−→

n→+∞ Y p.s.

Caractérisation de la convergence en loi.

Soit(Xn)n>1 une suite de v.a., etX une v.a., toutes dans(R^d,B(R^d)). Alors : X_n−−−−−→^(L)

n→+∞ X ⇔ ∀λ∈R^d, φ_Xn(λ)−−−−−→

n→+∞ φ_X(λ) Théorème 2(de Lévy, faible)

Soit(X_n)_n>1 une suite de v.a. dans(R^d,B(R^d)). Si∃ψ:R^d−→Ccontinue en 0 telle que :

∀λ, φ_Xn(λ)−−−−−→

n→+∞ ψ(λ) Alors∃X v.a. telle queψ=ϕ_X et X_n−−−−−→^(L)

n→+∞ X. Théorème 3(de Lévy, fort)

Remarque.L’implication dans la version faible est triviale^ihλ|xicontinue bornée.

Outil pour se ramener à un compact

Soitµune probabilité surR.

µ({x| |x|> A})6 A 2

Z _A²

−_A²

|1−φµ(t)|dt Lemme 1

Preuve.

Soitc >0.

Z c

−c

(1−φµ(t))dt= Z c

−c

Å 1−

Z

e^itxdµ(x) ã

dt

= Z

−c6t6c,x∈R

(1−e^itx)

| {z }

|.|621−c6t6c

dµ(x)dt

=

Fubini

Z

x∈R

Z c

−c

(1−e^itx)dtdµ(x)

= Z

x∈R

Ç 2c−

ïe^itx ix

ò^c

−c

å

1x6=0dµ(x)

= Z

x∈R

Å

2c−e^icx−e^−icx ix

ã

1x6=0dµ(x)

= Z

x∈R

2c Å

1−sin(cx) cx

ã

1x6=0dµ(x)

= 2c Z

x∈R

Å

1−sin(cx) cx

ã dµ(x)

Ainsi

Z c

−c

|1−φµ(t)|dt>

Z c

−c

(1−φµ(t))dt

= 2c Z

x∈R

Å

1−sin(cx) cx

ã dµ(x)

>2c Z

x∈R

Å 1−

sin(cx) cx

ã

| {z }

>¹₂ si|cx>2|

dµ(x)

>2c Z

R

1

21|cx|>2dµ(x) Doncµ({x| |cx|>2})6¹c

Rc

−c|1−φµ(t)|dt. Il reste à appliquer enc= _A². Preuve.(du théorème de Lévy, faible)

φX_n−−−−−→

n→+∞ φX simplement.Xn= (Xn(1)...Xn(d))^T ∈R^d. Soitε >0.

P(kXnk_∞> A

| {z }

∪^d_i=1|Xn(i)|>A

)6

d

X

i=1

P(|Xn(i)|> A)

6

d

X

i=1

A 2

Z _A²

−_A²

|1−φ_Xn(i)(t)|dt (∗) par le lemme

∃Atel queφ_X(i)(t)>1−εfonction cractéristique par continuité soust ∀i∀t∈

−_A²,_A²

.E[e^itx] est continue en 0 de limite 1. Fixons ce A. Regardons la limite de (∗) lorsque n → +∞. Par TCD :

(∗)−−−−−→

n→+∞

d

X

i=1

A 2

Z _A²

−_A²

|1−φ_X(t)|

| {z }

6ε

dt62dε

En particulier pournassez grand(∗)64dε. Donc pournassez grand : P(kX_nk_∞> A)64dε et on aP(kXk_∞> A)62dε

Soitf une fonction continue bornée,∃Pεpolynôme trigonométrique2A−périodique dans toutes les directions (dépendant deA) tel quekf −P_εk^[−A,A]∞ 6ε.

|E[f(Xn)]−E[f(X)]|= E

h

(f−Pε)(Xn)

| {z }

6ε

1kXnk6A

i +E

h

(f−Pε)

| {z }

6kfk∞+kP_εk∞62kfk∞+ε

(Xn)1kXnk>A

i

+ E[P_ε(X_n)]

| {z } P

λiφ_Xn(λi)

+E[P_ε(X)]

| {z }

−−−−−→

n→+∞

0

+E h

(P_ε−f)

| {z }

62kfk∞+ε

(X)1kXk>A

i

+E h

(Pε−f)(X)

| {z }

6ε

1kXk6A

i Donc

limn|E[f(Xn)]−E[f(X)]|62ε+ (2kfk∞+ε)(limP(kXnk∞> A)

| {z }

64dε

+P(kXk∞> A)

| {z }

62dε

) =O(ε)

Remarque.Pour la version forte il manque un théorème qui dit qu’on peut extraire une sous- suite convergente de la suite desµX_n.

Soitµn une suite de probabilité surR^d. µn est tendue

Å

∀ε,∃Kεcompact sup

N

µn(Kε)6ε ã

⇔ de toute sous-suite on peut extraire une suite convergente pour la topologie faible Théorème 4(Prokhorov)

Une des applications du théorème de Lévy.

Soient(X_i)_i>1 v.a. réelles indépendantes de même loi L² avec E[X_i] = met VarX_i =σ². Alors :

X1+...+Xn−nm

√n

−−−−−→(L)

n→+∞ Z ∼ N(0, σ²) Théorème 5(Théorème Central Limite, T.C.L.)

Preuve.

SiY ∈L²réelle. ϕ_Y(t) =E[ eⁱY t

| {z }

2fois dvb

]. Donc on peut dériver 2 fois sous l’espérance. On obtient :

φ⁰_Y(t) =E[iY e^{iY t}] et φ⁰⁰_Y(y) =−E[Y²e^{iY t}]

φY(t) =φY(0) +tφ⁰_Y(t)(0) +t²

2φ⁰⁰_Y(0) +o(t²)

= 1 +itE[Y]−t²

2E[Y²] +o(t²) Ici :

φX1 +...+Xn−nm√ n

(t) =E ï

exp Å

it(X1−m) +...+ (Xn−m)

√n

ãò

idp= E ï

exp Å

itX₁−m

√n ãò

×...×E ï

exp Å

itX_n−m

√n ãò

=

même loi

Å φX₁−m

Å t

√n ããⁿ

n→+∞= Ö

1 + it

√nE[Xi−m]

| {z }

0

− t²

2nE[(X1−m)²]

| {z }

σ²

+o Å1

n ã

è

= exp Å

nln Å

1− t² 2nσ²+o

Å1 n

ããã

=e^−t

2σ2 2 +o(1)

−−−−−→

n→+∞ e^−t

2σ2

2 =φ_N(0,σ2)(t) Par le théorème de Lévy :

X1+...+Xn−nm

√n

−−−−−→(L)

n→+∞ Z ∼ N(0, σ²)

Exemple.(application statistique)

On a une population deN individus. Une proportionp(inconnue,0< p <1) est “Pour”, le reste

“Contre”. Pour estimerp, on interrogenpersonnes choisies de manière indépendante et uniforme.

Et on note :

Xi=

ß 1 si lai−ème personne est “Pour”

0 si elle est “Contre”

Ce sont de v.a. indépendantes de loiB(p).

D’après la LFGNpˆn:= ^X1+...+X_n ⁿ −−−−−→

n→+∞ pp.s. Quelle taillend’échantillon choisir pour assurer que on fait un erreur de3%surpdans au plus 1 sondage sur 20. On vaut doncntel que :

P(|ˆp_n−p|>0.03)6 1 20 On sait que (rappel : on aE[X_i] =pet VarX_i=p(1−p)) :

P(|ˆp_n−p|>0.03) =P Å

X₁+...+X_n

n −p

>0.03 ã

=P

ÅX1+...+Xn−np n >0.03

ã

=P

X₁+...+X_n−np

√n

| {z }

∼∞N(0,p(1−p))

1

pp(1−p) >0.03

√n pp(1−p)

! (∗)

6P Ñ

X1+...+Xn−np

√np

p(1−p)

>0.03√ n

»₁

4

é (∗2)

Carp(1−p)6¹₄. Donc il suffit d’avoir le second terme60.05pour avoir(∗)60.05. NotonsY_n la v.a. du terme de gauche. D’après le TCL,Yn

−−−−−→(L)

n→+∞ Z ∼ N(0,1).

(∗2) =P(|Yn|>0.06√ n)

= 1−F1 n(0.06√

n) +FY_n(−0.06√ n)

≈

ngrand1−FZ(0.06√

n)−FZ(−0.06√ n)

=P(|Z|>0.06√ n)

= 2P(Z >0.06√ n) On veut :

2(1−F_N(0,1)(0.06√

n))60.05 Donc :

F_N(0,1)(0.06√

n)60.975 À lire dans les tables :0.06√

n>1.96. Ce qui donnen>1067.

Remarque.Cela ne dépend pas de la population N. La raison est quenpˆn ∼ B(n, p), la taille de la population n’intervient déjà pas dans la loi.

SoitX₁, X₂, ...une suite de v.a. indépendantes,L², de même loi dansR^d. On note :

X_i=

ÖX_i(1) ... Xi(d)

è

et m=E[X₁] =







E[X₁(1)]

... E[X1(d)]





∈R^d

SoitΓ =

Cov(X₁(i), X₁(j))_16i,j6n

. Alors : X1+...+Xn−nm

√n

−−−−−→(L)

n→+∞ N_Rd(0,Γ) Corollaire 1(TCL dansR^d)

Preuve.

Soitλ∈R^d.

φX1 +...+Xn√ −nE[X1 ] n

( λ

|{z}

∈R^d

) =φ

hλ,^{X1 +...+Xn√}_n^−nE[Xi]i(1) Or,

hλ,X1+...+Xn−nm

√n i= hλ, X1i+...+hλ, Xni −nE[hλ, Xii]

√n où(hλ, Xii)i>1 v.a. indépendantes de même loi etL².

D’après le TCL dansRavec : E[hλ, X_ii] =

d

X

k=1

λ(k)E[X_i(k)] et Var[hλ, X_ii] =

d

X

k,l=1

λ(k)λ(l)Cov(X_i(k), X_i(l))

| {z }

Γk,l

=λ^TΓλ

On obtient que :

hλ,X₁+...+X_n−nm

√n i−−−−−→^(L)

n→+∞ Z_λ∼ N(0, λ^TΓλ) Donc

∀λ, φX1 +...+Xn−nm

√n

(λ)−−−−−→

n→+∞ φ_Zλ(1) =e^−λT2Γλ =φ_N(0,Γ)(λ) Donc par le théorème de Lévy :

X₁+...+X_n−nm

√n

−−−−−→(L)

n→+∞ Z ∼ N(0,Γ)

Comportement de marches aléatoires.

Dans R^d, (Xi)i>1 indépendantes, de même loi, L². La marche issue de 0 est (Sn)définie par : S0= 0,Sn =X1+...+Xn. Quel est le comportement deSn?

• si m6= 0, ^S_nⁿ −−−−−→

n→+∞ mp.s. donc S_n ∼nmp.s. (comportement ballistique) en particulier kSnk −−−−−→

n→+∞ +∞p.s.

∀R >0, Card{n| kS_nk6R}<+∞p.s.

• sim= 0, ^S_nⁿ −−−−−→

n→+∞ 0 p.s. On a ^√Sn_n −−−−−→^(L)

n→+∞ Z∼ N(0,Γ). Donc :

S_n

√n

−−−−−→(L)

n→+∞ kZk car (X_n −−−−−→^(L)

n→+∞ X et f continue)⇒f(X_n)−−−−−→^(L)

n→+∞ f(X) L’ordre de grandeur dekSnkest√

nmais cela ne signifie paskSnk −−−−−→

n→+∞ +∞p.s.