2 AR () 2V .R + " e !

1

AO "IDÉAL" EN MODE LINÉAIRE - corrigé du TP3

1. Rappels

2. Montage “générateur de courant”

2.1. Limite supérieure de R

_c

• Si on se limite au cas (idéal) où on dispose de quatre résistances R rigoureusement égales, le problème des considérations de saturation peut être traité comme ci-dessous :

V_e = R I_e + ε + R.(I_e - I + I_s) ≈ R.(2I_e - I + I_s) ;

ε = R.(I_e - I) + R.(I_e - I + I_s) ≈ 0 ; donc 2I_e + I_s ≈ 2 I ; donc V_e ≈ R I.

• Par ailleurs : V_s = 2R.(I_e - I + I_s) = 2 V_- ≈ 2 V₊ ; donc V_s = R I_s.

Pour éviter la saturation, il faut que V_s < A (tension dʼalimentation) ; mais, quand le courant débité par la sortie nʼest pas négligeable, il faut de plus que V_s < A - ρ I_s (contrainte plus forte) où ρ ≈ 300 Ω est la résistance de sortie en mode saturé.

Ceci impose donc :

V_s = R I_s < A - ρ I_s ; donc I_s < A

R+ ! ; donc V_s = R I_s < A R R+ ! ; V₊ ≈ V_- = V_s

2 ^<

A R 2(R+ !) ; V₊ = R_cI = R_c V_e

R ; donc R_c <

!

A R² 2V_e. R

(

+"

)

^.

Par exemple :

◊ pour R = 10 kΩ ; A = 15 V ; V_e = 7,5 V ; on obtient : R_c < 9700 Ω ;

◊ pour R = 1 kΩ ; A = 15 V ; V_e = 12 V ; on obtient : R_c < 480 Ω.

2

2.2. Limite inférieure de R ou R

_c

• Un autre problème se pose si on veut imposer la tension V_e (qui sert à régler le courant I) à l'aide d'un générateur de tension de résistance non nulle (généralement : un GBF). Dans ce cas, la variation de R_c provoque une variation de Ie qui provoque une variation de V_e = E - r I_e, ce qui provoque une variation de I. Pour éviter cela, supposons qu'on veuille limiter les variations de V_e à un proportion α (par exemple 1 %) ; alors il faut imposer I_e <

!

"V_e r ^. Puisque I_e =

!

V_e"R_cI

R ^avec I =

!

V_e

R ceci donne : R_c > R.(1 -

!

"R r ^).

• Si on veut éviter qu'il y ait une limite inférieure sur R_c (ce qui est préférable pour un générateur de courant), il faut que la limite théorique soit négative ou nulle, donc R >

!

r

"^. Par exemple, pour r = 50 Ω et α = 1 %, on doit utiliser R > 5 kΩ.

2.3. Incertitude sur le courant généré

• La propagation des incertitudes lors de l'estimation de l'expression théorique I =

!

V_e

R doit se faire en tenant compte du fait que les résistances ne sont pas rigoureusement égales : R₁ ≠ R₂ ≠ R₃ ≠ R₄.

On obtient dans le cas général (en régime non saturé) : I =

!

V_eR₂R₄

R₁R₂R₄"R_c. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

. Ceci montre en

particulier qu'on n'obtient un montage générateur de courant (dont le courant débité ne dépend pas de R_c) que si on choisit des résistances telles que R₁R₃ = R₂R₄ (et en particulier si ces résistances sont égales).

• L'incertitude est ainsi : ΔI =

!

"I

"V_e ΔV_e +

!

"I

"R₁ ΔR₁ +

!

"I

"R₂ ΔR₂ +

!

"I

"R₃ ΔR₃ +

!

"I

"R₄ ΔR₃ +

!

"I

"R_c ΔR_c ;

expression dans laquelle on substitue ensuite : R = R₁ ≈ R₂ ≈ R₃ ≈ R₄ et ΔR = ΔR₁ = ΔR₂ = ΔR₃ = ΔR₄. On obtient respectivement :

!

"I

"V_e =

!

R₂R₄

R₁R₂R₄"R_c. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

^≈

!

1 R ^;

!

"I

"R₁ =

!

V_eR₂R₄. R

(

₂R₄"R_cR₃

)

R₁R₂R₄"R_c. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

( )

^{2 ≈}

!

V_e. R"

(

R_c

)

R^{3 ;}

!

"I

"R₂ =

!

"V_eR₁R₃R₄R_c R₁R₂R₄"R_c. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

( )

^{2 ≈}

!

V_e R_c R^{3 ;}

!

"I

"R₃ =

!

V_eR₁R₂R₄R_c R₁R₂R₄"R_c. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

( )

^{2 ≈}

!

V_e R_c R^{3 ;}

!

"I

"R₄ =

!

"V_eR₁R₂R₃R_c R₁R₂R₄"R_c. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

( )

^{2 ≈}

!

V_e R_c R^{3 ;}

!

"I

"R_c =

!

V_eR₂R₄. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

R₁R₂R₄"R_c. R

(

₁R₃"R₂R₄

)

( )

² ≈ 0 (conforme au fait que I ne dépend pas de R_c).

3

• Ceci donne donc au total : ΔI =

!

1

R ^{ΔVe +}

!

V_e R^3.

!

R"R_c +3R_c

( )

ΔR qui est en général différent du résultat obtenu en dérivant l'expression simplifiée (ΔI =

!

1 R ^{ΔVe +}

!

V_e R^{2 ΔR).}

Plus précisément :

◊ pour R_c > R cela augmenterait l'effet de ΔR d'un facteur

!

4R_c

R "1 ≥ 3 très gênant, mais le

raisonnement du paragraphe (2.2) montre que ce cas est interdit car il correspond à un régime saturé ;

◊ pour R_c < R cela augmente l'effet de ΔR d'un facteur

!

1+2R_c

R ≤ 3 qui peut ne pas être négligeable pour les plus grandes valeurs de R_c.

3. Montage “dérivateur”

4. Montage “intégrateur”