G232. Le recensement de l’ingénieur des Ponts et Chaussées
Dans cet émirat en plein expansion, le Ministère des Travaux Publics lance le projet de relier entre elles villes nouvelles (trois d’entre elles ’étant jamais sur une même ligne droite) par – autoroutes rectilignes de telle sorte qu’il existe toujours un trajet permettant d’aller d’une ville à une autre. Les autoroutes n’ont pas d’échangeurs : on n’y entre et on n’en sort qu’à leurs villes-extrémités. L’ingénieur des Ponts et Chaussées responsable du projet constate que est le plus petit entier avec lequel on pourrait concevoir (sur le papier) plus de 2008 réseaux autoroutiers distincts. Que vaut ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Le nombre de réseaux de – autoroutes reliant entre elles villes est le nombre d’arbres couvrant un graphe complet à sommets. D’après la formule de Cayley, ce nombre vaut . On le démontre par exemple en utilisant le codage de Prüfer. On conclut que en constatant que .
