Le recensement de l’ingénieur des Ponts et Chaussées
Problème G232 de Diophante
Dans cet émirat en pleine expansion, le Ministère des Travaux Publics lance le projet de relier entre elles n villes nouvelles (trois d’entre elles n’étant jamais sur une même ligne droite) par n – 1 autoroutes rectilignes de telle sorte qu’il existe toujours un trajet permettant d’aller d’une ville à une autre. Les autoroutes n’ont pas
d’échangeurs : on n’y entre et on n’en sort qu’à leurs villes-extrémités. L’ingénieur des Ponts et Chaussées responsable du projet constate que n est le plus petit entier avec lequel on pourrait concevoir (sur le papier) plus de 2008 réseaux autoroutiers distincts. Que vaut n ?
Solution
Les réseaux possibles sont des graphes connexes de n sommets et n-1 arêtes ; ce sont nécessairement des arbres.
Le nombre d’arbres possibles est, selon Arthur Cayley (en qui nous avons toute confiance), nn-2. Il vaut 1296 pour n = 6 et 16 807 pour n = 7.
Il y a donc sept villes à relier.