G232 : Le recensement de l’ingénieur des Ponts et Chaussées
Dans cet émirat en pleine expansion, le Ministère des Travaux Publics
lance le projet de relier entre elles n villes nouvelles (trois d’entre elles n’étant jamais sur une même ligne droite) par n – 1 autoroutes rectilignes de telle sorte qu’il existe toujours un trajet permettant d’aller d’une ville à une autre. Les autoroutes n’ont pas d’échangeurs : on n’y entre et on n’en sort qu’à leurs villes-extrémités. L’ingénieur des Ponts et Chaussées responsable du projet constate que n est le plus petit entier avec lequel on pourrait concevoir (sur le papier) plus de 2008 réseaux autoroutiers distincts. Que vaut n ?
A partir d’un schéma de réseau, on peut en engendrer n! en permutant les villes, et le nombre de réseaux distincts est obtenu en divisant par le degré de symétrie du schéma.
Si l’ordre d’une ville est le nombre de tronçons d’autoroute qui y aboutissent, la somme des ordres est 2(n-1), et il y a k villes (2≤k≤n-1) d’ordre égal à 1 (extrémités), et n-k d’ordre au moins égal à 2 (nœuds).
Pour n=3, il n’y a qu’un schéma possible, avec un nœud d’ordre 2, et 2 extrémités, 3!=6 permutations avec une symétrie de 2, soit 3 réseaux possibles.
Pour n=4, deux schémas possibles : (3) un nœud d’ordre 3, et 3 extrémités pour 4 réseaux, et (2-2) : deux nœuds d’ordre 2 et 2 extrémités pour 12 réseaux.
On peut schématiser le réseau par la ligne des nœuds, unidimensionnelle pour n≤7 , sauf dans le cas d’un nœud d’ordre 3 relié à 3 nœuds d’ordre 2, noté ici 2-(3-2)-2 : on obtient le tableau suivant : pour n=7, le nombre de réseaux excède largement 2008 .
n permutations ligne nœuds symétrie nombre total
3 6 2 2 3 3
4 24 3 6 4 16
2-2 2 12
5 120 4 24 5 125
3-2 2 60
2-2-2 2 60
6 720 5 120 6 1296
4-2 6 120
3-3 8 90
3-2-2 2 360
2-3-2 2 360
2-2-2-2 2 360
7 5040 6 720 7 16807
5-2 24 210
4-3 12 420
4-2-2 6 840
2-4-2 4 1260
3-3-2 2 2520
3-2-3 8 630
3-2-2-2 2 2520
2-3-2-2 1 5040
2-(3-2)-2 6 840
2-2-2-2-2 2 2520
