Fiche 2 Martingales

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 Probabilités Année universitaire 20162017

Fiche 2 Martingales

Exercice 1 Espérance conditionnelle. SoitX,Y deux variables aléatoires indépendantes, de loiN(0,1). 1. Vérier que E[Xϕ(X²)] = 0 pour toute fonction borélienne bornée ϕ (penser à la symétrie x 7→ −x). En déduireE[X|X²]. Que vaut E[X|X³]?

2. On poseZ =X+Y.

2.a) Calculer la densité de la loi du vecteur(X,Z).

2.b) Déterminer la loi conditionnelle deX sachantZ =z pour toutz∈R.

2.c) En déduireE[X|Z].

Exercice 2 Double conditionnement. SoitX,Y,Zdes variables aléatoires bornées.

1. A-t-onE[Z|X,Y] =E

E[Z|X]

Y? (considérerZ=X, par exemple) 2. A-t-onE[Z|X] =E

E[Z|X]

X,Y

? 3. A-t-onE[Z|X] =E

E[Z|X,Y] X?

Exercice 3. SoitX₀,X₁, . . .une suite de variables aléatoires indépendantes et intégrables. On noteF= (F_n)_n≥0 sa ltration naturelle :F_n=σ(X₀, . . . ,X_n).

1. À quelle condition la suite de terme général

S_n =X₀+· · ·+X_n

est-elle une martingale (pour la ltrationF) ? Une sous-martingale ? Une sur-martingale ? 2. On suppose de plusXn≥0pour toutn∈N. À quelle condition la suite de terme général

U_n=X₀· · ·X_n

est-elle une martingale (pour la ltrationF) ? Une sous-martingale ? Une sur-martingale ?

Exercice 4. Soit(Mn)_n≥0une martingale, relativement à une ltration(Fn)_n≥0. 1. Montrer queE[Mn] =E[M0]pour toutn∈N.

2. On suppose queMn est de carré intégrable pour toutn∈N. Montrer que E

(M_n+1−M_n)² F_n

=E

M_n+1² −M_n² F_n

.

Exercice 5 Urne de Polya. Dans une urne se trouvent une boule blanche et une boule rouge (instant0).

On tire alors une boule, que l'on remet dans l'urne accompagnée d'une nouvelle boule de la même couleur, et on répète cette opération indéniment. À l'instantn se trouvent doncn+ 2boules dans l'urne. On noteY_n le nombre de boules blanches à cet instant etXn= Yn

n+ 2 la proportion de boules blanches dans l'urne. On pose F_n=σ(X₁, . . . ,X_n).

1. Montrer que(X_n)_n≥0est une martingale.

2. En déduire que(Xn)_n≥0 converge presque-sûrement vers une variable aléatoireU.

Exercice 6. Soit(an)_n≥1 une suite de réels telle que X

n≥1

a²_n<∞, et(ξn)_n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutn,E[ξn] = 0et Var(ξn) = 1(par exemple,ξn∼ N(0,1)).

1. Montrer que la suiteMn=

n

X

k=1

akξk est une martingale.

2. Montrer quesup

n E[M_n²]<∞et en déduire que, presque-sûrement, la série

∞

X

n=1

anξn converge.

Exercice 7 Somme d'un nombre aléatoire de variables aléatoires. SoitX1,X2, . . .une suite de v.a.

indépendantes, de même loi, d'espérancem. On dénit, pour toutn≥0, S_n=X₁+· · ·+X_n.

Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N, indépendante de (Xn)_n≥1. On considère la somme des N premières variables de la suite(Xn)_n≥1, c'est-à-dire la variable aléatoireSN =X1+· · ·+XN.

1. Montrer rigoureusement que, pour toutn∈N,E[SN|N =n] =E[Sn]. 2. En déduire E[SN|N], puisE[SN].

3. Application. SoitZ une variable aléatoire à valeurs dansN, intégrable. On posem=E[Z]. Soit(Zm,n)_m,n∈N une famille de v.a. i.i.d. de même loi queZ. On dénitX0= 1et, pour tout n≥0,

Xn+1=

Xn

X

m=1

Zm,n+1.

Xn représente le nombre d'individus à la n-ième génération, dans un processus de branchement où chaque individu a un nombre d'enfants de même loi queZ, indépendant du nombre d'enfants des autres individus.

3.a) Justier queE[Xn+1|Xn,X_n−1, . . . ,X1,X0] =E[Xn+1|Xn]et en donner la valeur.

3.b) En déduire queMn=m⁻ⁿXn dénit une martingale, et déterminer la valeur deE[Xn] pour toutn≥0. 3.c) Montrer que la suite(Mn)n admet presque sûrement une limiteM_∞.

Exercice 8. Soitp∈]0,¹₂[. Soit(S_n)_n≥0une marche aléatoire biaisée surZpartant dex∈N:S₀=xet, pour n≥1,

Sn=x+X1+· · ·+Xn,

où les variables aléatoiresX₁,X₂, . . .sont indépendantes et de même loi, telles que P(Xi= 1) =p et P(Xi=−1) =q= 1−p.

SoitR∈N^∗,R > x. On dénit le temps (aléatoire) T = inf{n≥0|Sn ∈ {0,R}}et la ltrationF = (Fn)n = (σ(X1, . . . ,Xn))n.

1. On poseZn= (q/p)^Sn. Montrer queZ = (Zn)n≥0 est une martingale pour la ltrationF. 2. Montrer queT est un temps d'arrêt.

3. En considérant la martingale arrêtéeZ^T, montrer que, pour toutn,E[Zn∧T] =E[Z0], et en déduireE[ZT] = E[Z₀], puis la valeur deP(S_T = 0).

Exercice 9. Soit(Xn)_n≥1une suite de variables aléatoires i.i.d., de loi commune donnée par :

P(Xn= 1) = 1

2 =P(Xn =−1).

On note

Sn=X1+· · ·+Xn. SoitR∈N^∗. On considère le temps aléatoire

T = inf{n≥1 : |Sn|=R}.

1. Justier queT est ni p.s., de deux façons : en voyant(Sn∧T)n≥0comme une chaîne de Markov (et en utilisant la transience), ou comme une martingale (et en utilisant le théorème de Doob : convergence p.s.).

2. Montrer queMn =S²_n−nest une martingale.

3. Que vaut, pour n≥0,E[S_n∧T² ]−E[n∧T]?

3.a) Par quel théorème peut-on justier queE[n∧T]→E[T]?

3.b) Par quel théorème peut-on justier queE[S_n∧T² ]→E[S_T²]? Que vaut la limite ? 3.c) En déduire la valeur deE[T].

4. Soitr,R∈N^∗. On considère maintenant le temps aléatoire

T= inf{n≥1 : Sn∈ {−r,R}}.

4.a) Justier (en reprenant le raisonnement précédent) queE[S_T²] =E[T].

4.b) En utilisant la martingale(Sn)_n≥0arrêtée au tempsT, déterminerE[ST](s'inspirer de la question 2 : que vautE[Sn∧T]? Peut-on passer à la limite ?) et en déduire la loi deST.

4.c) En déduire la valeur deE[T].

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Exercice 10. SoitX1, . . . ,Xn des variables aléatoires indépendantes, de même loi, intégrables. On pose S=X₁+· · ·+X_n.

1. Que vautE[S|X₁]?

2. CalculerE[X₁|S] +· · ·+E[X_n|S].

3. Soiti∈ {1, . . . ,n}. En justiant précisément pourquoi lesntermes précédents sont égaux, en déduireE[X_i|S].

Exercice 11 Théorème du bulletin. SoitX1, . . . ,Xn des variables aléatoires indépendantes, de même loi, intégrables. On pose, pourk= 0, . . . ,n,

S_k =X₁+· · ·+X_k et, pourk= 0, . . . ,n−1,

Mk = S_n−k n−k.

1. Soit0≤k≤n−1. CalculerE[S_n−k−1|S_n−k, . . . ,S_n]. (On pourra utiliser le résultat de l'exercice précédent) 2. En déduire que(Mk)_{0≤k≤n−1}est une martingale (pour sa ltration naturelle Fk=σ(M0, . . . ,Mk)).

Attention, l'évolution temporelle deM est inverse de celle deS : on a M0=^S_nⁿ doncF0=σ(Sn). On suppose dorénavant queP(Xk = 1) =α= 1−P(Xk =−1)pour k= 1, . . . ,n, où0< α <1. 3. On noteT = min{0≤k≤n−1|Mk = 0}et T =n−1si l'ensemble précédent est vide.

3.a) Justier queT est un temps d'arrêt pour(Mk)k. 3.b) Justier queE[MT|F0] =M0par un résultat du cours.

3.c) SiM_T 6= 0, justier queM_T = signe(S_n), oùsigne(x) =

(1 six≥0

−1 six <0.. Conclure que

P(pour toutk∈ {1, . . . ,n},Sk 6= 0|Sn) = |Sn| n .

4. Lors d'une élection, le candidat A a obtenu a voix, et le candidat B a obtenu b voix. Si A l'a emporté (autrement dit, a > b), quelle est la probabilité pour que, au cours du dépouillement des votes, le candidat A ait toujours été en tête ? Exprimer la réponse en fonction de la proportion de votesA, c'est-à-direp_A=_a+b^a .

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