Second degré
Etude 1 :
1. On choisit un nombre et on l’élève au carré.
Sachant qu’on obtient 5, peut-on connaître avec certitude le nombre choisi au départ ? 2. On choisit un nombre, on soustrait 3 et on élève le résultat au carré.
Existe-t-il un nombre qui permette d’obtenir 16 ?
3. On choisit un nombre, on ajoute 2019 et on élève le résultat au carré.
Existe-t-il un nombre qui permette d’obtenir -2020 ?
Etude 2 :
Les savants arabes sont les premiers à proposer une classification des équations du second degré. Parmi eux, Al-Khwarizmi (vers 830) résout notamment le problème suivant :
"Que le carré et dix racines égalent 39 unités"
Il se traduit, avec des notations actuelles, par : " résoudre x2+ 10x= 39 "
Pour comprendre sa méthode de résolution, regardons la figure géométrique ci-contre :ABCD est un carré de côté x;
BEF C etDCIH sont des rectangles avec BE =DH = 5 1. Écrire l’aire deAEF CIHA de deux manières différentes.
2. A quelle autre équation correspond ce problème ? La résoudre.
3. Avec la même astuce de calcul, résoudre x2 + 6x= 16.
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes dans l’ensemble des réelsR :
a)x2+ 6x+ 7 = 0 b)x2+ 10x+ 27 = 0 c) 2x2+ 5x+ 3 = 0.
Exercice 2
1. Former une équation ayant deux solutions : 1et −2
2. Former une équation à coefficients entiers ayant trois solutions : 1 2, 2
3 et 1.
Exercice 3
Dessiner l’allure des paraboles suivantes en indiquant et en justifiant les informations utilisées : a)P1 : y= 2−5(x−4)2 b)P2 : y=−5x2+ 5 c)P3 : y= 3(x+ 1)(x−4) d)P4 : y=−2(2−x)(x+ 3) e) P5 : y= 4(x+ 7)2
1. Déterminer le polynôme du second degré P(x) qui admet 2 et 5 comme racines avec P(1) =−2.
2. Déterminer le polynôme du second degré Q(x) tel que son maximum soit égal à 2 en −1 et tel que Q(2) = 20.
3. Déterminer l’équation de la parabole P1 qui coupe l’axe des abscisses en −1et en 5 et qui passe par le point A(2; 18).
4. Déterminer l’équation de la paraboleP2 qui passe par les points B(0; 1), C(−1; 3) etD(1; 5).
Exercice 5
Six entiers naturels consécutifs sont tels que le produit des deux plus petits nombres est égal au triple de la somme des quatre plus grands. Déterminer ces six entiers.
Exercice 6
Soit (E) l’équation : x2−x−1 = 0.
1. Démontrer que le nombre d’or Φ = 1 +√ 5
2 est une solution de(E).
2. En déduire que si l’on ajoute1 à Φ, on obtient le carré de Φ.
3. Déterminer l’autre solution de (E).
Exercice 7
Dans un repère orthonormé(O, I, J)du plan, on désigne parCf etCg les courbes représentatives de deux fonctionsf etg définies par f(x) = 7x2+ 28x+ 10
etg(x) =−2x2+ 4x−6.
1. Identifier sur le graphique ci-contre quelle courbe représente quelle fonction (en justifiant), puis conjecturer le nombre de points d’intersection des deux courbes.
2. Vérifier algébriquement la réponse exacte.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−20
−15
−10
−5 5 10
Exercice 8
1. Déterminer le réel m tel que l’équationx2+ 2x−7m = 0 n’admette qu’une seule solution.
2. Déterminer tous les réelsa tels que l’équationax2+ 12x+ 1 = 0 admette deux solutions distinctes.
3. Déterminer tous les réelsb tels que l’équationx2+bx+ 5 = 0 n’admette aucune solution.
Exercice 9
Dans un repère orthonormal, on donne les pointsA(0;−2)et B(3; 2).
M est un point de l’axe des abscisses.
Déterminer les positions du pointM pour que le triangle ABM soit rectangle en M.
Voici la courbe représentant un trinôme du second degré.
1. Que peut-on dire du signe du discriminant de ce trinôme ? Justifier.
2. Déterminer l’expression de ce trinôme.
3. En déduire les coordonnées des points d’intersection de la courbe et de l’axe des abscisses.
−2−1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1 1 2 3 4
0
Cf
Exercice 11
Déterminer les expressions des fonctions représentées ci-dessous.
x y
−4 −3 −2 −1 1 2
−2
−1 1 2 3 4
0
Cf
Cg
Ch
Ci
Exercice 12
Un artisan fabrique entre 0 et 60 vases par jour et estime que le coût de production dexvases est modélisé par la fonctionC donnée par C(x) =x2+ 10x+ 500. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués. Un vase est vendu 70e. On suppose que toute la production est vendue.
1. Exprimer R(x)en fonction de x.
2. Calculer le coût, la recette et le bénéfice réalisé lorsque l’artisan vend 60 vases.
3. Vérifier que le bénéfice, en euros, réalisé par l’artisan est donné par la fonction B dont l’expression est : B(x) = −x2+ 60x−500.
4. Déterminer le nombre de vases à produire pour réaliser un bénéfice maximal.
5. Déterminer l’intervalle de rentabilité de cette production.
Exercice 13
Déterminer les valeurs des réelsγ etη pour compléter chaque égalité : a. x2 −9x+ 14 = (x−2)(x−γ)
d. x2−9x+ 14 = (x−γ)2+η
b. 2x2−8x+ 6 =η(x−3)(x−γ) e. 2x2−8x+ 6 = 2(x−γ)2−η
c. 3x2−3x−6 =η(x−2)(x−γ) f. 3x2−3x−6 = 3(x−γ)2+η
1. Les fonctions suivantes ont deux racines distinctes. Donner leur somme et leur produit : a)f(x) =x2+ 5x−11 b) g(x) = 2x2−x−89 c)h(x) =−3x2+ 7x+ 20 2. Un rectangle a pour périmètre 338m et pour aire 6 328 m2.
Déterminer les dimensions de ce rectangle.
Exercice 15
Dans le repère orthonormal(0 ; I , J)du plan, on désigne par Cf la courbe représentative de la fonctionf définie parf(x) = 4−x
2x−1 et par Cg la courbe représentative de la fonction g définie parg(x) = 2x+ 1.
Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection des courbes Cf etCg.
Exercice 16
On considère la paraboleP d’équation y=−2x2+ 8x.
1. Déterminerppour que la paraboleP et la droite(D)d’équationy = 4x+pn’aient qu’un seul point commun.
2. Déterminer m pour que la droite (d) d’équation y =m x et P n’aient qu’un seul point commun.
3. On considère le point A(1;−2).
Écrire l’équation réduite de la droite (dm) passant par A et de coefficient directeur m.
Démontrer qu’il y a toujours 2 points d’intersection entre la droite (dm) et la parabole.
Exercice 17
1. Résoudre dans R, l’équation : 2
x−1 + 3
x = 3x2−1 x2−x . 2. Résoudre dans R, l’équation : √
5x+ 6 =x+ 2.
Exercice 18
1. (a) Résoudre dans Rl’équation 2x2−5x+ 3 = 0.
(b) En déduire une résolution de l’équation 2x4−5x2+ 3 = 0.
2. (a) Résoudre dans Rl’équation −x2+ 10x+ 75 = 0.
(b) En déduire une résolution de l’équation −x+ 10√
x+ 75 = 0.
Exercice 19
Dans le repère orthonormal(0 ; I , J)du plan, on désigne par P la courbe représentative de la fonctionf définie dansR par f(x) =x4−x2−1.
Donner les coordonnées des points d’intersection de la courbeP avec l’axe des abscisses.
1. (a) Déterminer les réels a, b et cpour que 6x3−3x2− 10x+ 5 = (2x− 1) (a x2 +b x+c).
(b) En déduire les solutions de 6x3− 3x2− 10x+ 5 = 0.
2. On considère la fonction polynôme P définie par P(x) = x3 − 2x2− 9x+ 18.
Elle est de degré 3.
(a) Montrer que 2 est une racine deP.
(b) Déterminer une fonction polynômeQ du second degré telle que P(x) = (x− 2)Q(x).
(c) Résoudre alorsP(x) = 0.
Exercice 21
Le père Bono a un champ rectangulaire et n’arrive pas à regrouper ses vaches quand il faut les ramener à l’étable. Il décide de rajouter une parcelle triangulaire à son champ, comme sur le schéma ci-dessous pour faciliter le regroupement de ses bêtes. Il déclare alors : « Mon champ aura cette forme ou je ne m’appelle pas Jean ! ». Cependant, il est nécessaire de prévoir une surface minimale de11 152m2 pour que les vaches puissent paître.
1. Montrer que le Père Bono doit résoudre l’inéquation 2x2 + 28x−11152≤0 2. Déterminer les dimensions du champ.
Exercice 22
Un pont est soutenu par un arc parabolique d’une portée de 200 m et d’une hauteur de 80 m. Le pont et l’arc se coupent à 40 m de la rive.
Quelle est la hauteur du pont ? G
portée 200 m
• • •
• pont
arcparabolique
•
•
hauteur 80 m
•
•40 m
•
Exercice 23
Une fontaine construite au milieu d’un bassin projette un jet d’eau dont la trajectoire est parabolique.
On sait que :
— Le point de départ du jet d’eau est situé au niveau du bassin.
— Le jet d’eau retombe dans le bassin 3 mètres plus loin.
— Le jet d’eau atteint une hauteur maximale de2mètres au-dessus du bassin.
On fera un schéma représentant la situation, et on déterminera l’équa- tion de la parabole dans un repère bien choisi.
On considère un rectangleABCD de dimensions : AB = 6 cm etBC = 8 cm.
Sur le côté[AB], on place un pointM quelconque.
On considère ensuite les points :
N sur [BC],P sur[CD] etQ sur[DA] tels que : AM =BN =CP =DQ.
A M•
B N
• C
•P
D Q•
On pose AM =x. On appelle f la fonction qui, à x, associe la valeur de l’aire de M N P Q.
1. Vérifier queM N P Qest un parallélogramme.
2. AM peut-elle prendre la valeur 7 ? Quel est l’ensemble de définition de f? 3. Quelle peut-être la valeur maximale def(x)?
Pour quelle valeur de x est-elle atteinte ? 4. Démontrer que f(x) = 2x2 −14x+ 48.
5. Pour quelle valeur de x l’aire de M N P Q sera-t-elle minimale ?
6. Pour quelles valeurs de x l’aire de M N P Q sera-t-elle inférieure à 25cm2?
Exercice 25
Un tennisman frappe droit devant lui une volée à 1 m du filet alors que la balle est à 0,9 m de hauteur enA. La balle franchit le filet enB à une hauteur de 1,1 m et atteint enC une hauteur maximale de 1,3 m.
La longueur d’un terrain de tennis est 23,77 m.
La balle sortira-t-elle du cours ?
1 1
0 A
B C
Exercice 26
Une société de vente de livres par correspondance a actuellement 10 000 abonnés qui paient 7 euros par mois. Une étude a montré que toute variation de 1 euro du prix de l’abonnement mensuel ferait varier le nombre d’abonnés d’un millier.
Ainsi, une augmentation du prix ferait baisser le nombre d’abonnés et une baisse du prix le ferait augmenter.
1. Soit xla variation du prix en euro.
Déterminer de quelle manière il faut modifier le prix de l’abonnement mensuel pour obtenir un maximum de revenu.
2. Calculer ce revenu.
Exercice 27
Après avoir tourné 90pots, un potier se dit :
" Si j’avais tourné un pot de plus par heure, j’aurais travaillé une heure de moins. "
On appelle t le nombre d’heures de travail et x le nombre de pots tournés en une heure.
1. Expliquer pourquoi x×t= 90 et(x+ 1) (t− 1) = 90.
2. En déduire que x=t−1, puis quet2− t− 90 = 0.
3. Combien d’heures ont été nécessaires au potier pour tourner ses90 pots.
Exercice 28
Le record du monde de lancer de javelot est détenu par Jan Zelezny avec une performance de 98,48 m.
Quelle hauteur maximale a été atteinte par le javelot lors de ce lancer ?
