Proportionnalité
I. Tableau de valeurs proportionnelles Définition :
Exemple :
Pour jouer au golf, Toto doit régulièrement acheter des balles afin de compenser les balles perdues. On peut alors exprimer le prix des balles de golf à l’aide d’un tableau.
Nombre de balles de golf 4 10 15 25
Prix en euro 5,2 13 19,5 32,5
Pour calculer le prix des balles de golf, on multiplie les nombres de balles par 1,3.
On dit que le prix est proportionnel aux nombres de balles.
Sur le graphique qui donne le prix en euro en fonction du nombre de balles, on constate que les points sont alignés avec l’origine.
1,3 Dans un tableau de valeurs proportionnelles, on passe de la 1ière ligne à la 2ième
en multipliant partout par un même nombre.
Ce nombre est alors appelé coefficient de proportionnalité.
On le calcule en divisant un nombre du bas par le nombre du haut correspondant (regarder la flèche de l’opérateur).
Méthode : Pour vérifier si deux suites de nombres sont proportionnelles, on calcule tous les quotients.
Exemples :
12 60 100 3 15 25 4
Tous les quotients sont égaux donc c’est un tableau de proportionnalité
21 15
7 5 3 mais 100 20 5
Ce n’est pas un tableau de proportionnalité car tous les quotients ne sont pas égaux à une seule même valeur.
II. Outils pour ajouter des données dans un tableau de proportionnalité
1) Propriétés de la linéarité :
Exemples :
3 15 25
12 60 100
7 5 20
21 15 100
5 15 20 15 5 10 5 15 50 5 15 1
20 60 80 60 20 40 20 60 200 20 60 4
+ - 10 5
On peut obtenir une nouvelle colonne à partir des colonnes existantes de différentes façons :
o en additionnant plusieurs colonnes entre elles o en soustrayant deux colonnes entre elles
o en multipliant toute une colonne par un même nombre o en divisant toute une colonne par un même nombre non nul
2 ) Calcul d’une quatrième proportionnelle :
Méthode 1 : Retour à l’unité (pas nécessaire de faire un tableau) Ex : Greg achète pour 98,10 € trois boîtes de balles de golf.
Combien aurait-il payé pour sept boîtes ?
Le prix d’une boîte étant est de 98,10 3 € . Donc le prix de 7 boîtes est 98,10
7 228,9 3 € Méthode 2 : On utilise le coefficient de proportionnalité Ex :
Méthode 3 : On utilise la règle de trois Ex :
Donc 12 8 96
19, 2
5 5
a
Méthode 4 : On utilise les propriétés d’un tableau de proportionnalité Ex :
3
(travail sur les colonnes voir 1)) 5 12
8
a
5 12 8
a
2 6 12
a
Lorsqu’une situation de proportionnalité est représentée dans un tableau à 4 cases dans lequel 3 valeurs sont connues,
on peut calculer la quatrième valeur qui s’appelle la quatrième proportionnelle.
8
5 On passe de 5 à 8 en multipliant par 8 5 (travail sur les lignes)
Donc 8
12 12 1, 6 19, 2 a 5
On calcule directement la valeur de a à partir des trois autres nombres :
On passe de 2 à 6 en multipliant par 3.
On effectue ici les calculs à partir des colonnes :
12 3 39 a
III. Exemples de situations de proportionnalité
1 ) Pourcentages :
Rappel : Pour évaluer « t % d’un nombre », on multiplie ce nombre par 100
t .
Exemple : Pour calculer 28% de 150 euros on effectue :
28 28 150 4200
150 42
100 100 100
42 euros représente 28% de 150 euros
Propriété :
Exemple :
Dans un sac de balles de golf, 12 sur 50 sont de la marque
Titleist
.Déterminons t avec la règle de trois : 12 100 1200
50 50 24
t
Donc il y a 24 % de balles
Titleist
dans le sac.Titleist
12 tTotal 50 100
Les quantités et les taux de pourcentage correspondants sont des grandeurs proportionnelles.
2 ) Échelles :
Remarques : Dans un agrandissement, l’échelle est supérieure à 1 Dans une réduction, l’échelle est inférieure à 1
Exemple : Sur une carte on peut lire : « réduction à l’échelle 1 25000» Que représentent en réalité 40 cm mesurés sur cette carte ?
Et réciproquement, si un terrain mesure 750 m de long en réalité. Combien mesurera t’il sur une carte ?
L’échelle est égale à 1 25000 e
Cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à 25 000 cm dans la réalité.
Distance sur le plan (en cm) 1 40
Distance réelle (en cm) 25 000 ? 75 000
40 cm sur le plan représentent 40 25 000 = 1 000 000 cm en réalité.
C’est à dire 10 km .
De même l’on a : 1 1 3 3
25000 25000 3 75000
e
Sur un plan, les distances sont proportionnelles aux distances réelles.
On appelle « échelle » le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des distances réelles aux distances du plan.
(les distances étant exprimées dans la même unité) dimension sur la reproduction
échelle
dimension réelle
dans la même unité
25 000
il faut absolument utiliser la même unité
x 25 000
3 ) Mouvement uniforme :
Définition :
Exemple :
Un train a parcouru 7,5 km en 15 min, 45 km en 1 h 30, et 120 km en 4 h.
Le tableau suivant représente la distance parcourue en fonction de la durée du parcours.
On a : 7,5 45 120
0, 251,5 4 30 : tous les quotients sont égaux à 30
On constate que la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours : le mouvement du convoi est donc uniforme.
Durée (en h) 0,25 1,5 4
Distance (en km) 7,5 45 120
Un mouvement est uniforme lorsque la distance parcourue
est proportionnelle à la durée de parcours.
