T.D. num´ ero 15
Alg`ebre
E.N.S. Ulm, L3, 2000–2003 Univ. Paris-Sud, M1, 2004–2007 St´ephane Fischler
Exercice 1 SoitK un corps infini. On poseA=K[X, Y].
1. Soit I un id´eal principal, engendr´e par P ∈ A. Montrer que I n’est pas maximal.
Pour cela, on pourra se ramener au cas o`uP, vu dans K[X][Y], n’est pas constant puis introduire un ´el´ement de Kqui n’est pas racine de son coefficient dominant.
2. Montrer que pour tous F, P ∈ A\ {0} il existe Q, R ∈ A et a ∈ K[X]\ {0} tels que a(X)F(X, Y) = P(X, Y)Q(X, Y) +R(X, Y) et degY(R) < degY(P), o`u degY d´esigne le degr´e par rapport `a Y, c’est-`a-dire le degr´e dansK[X][Y], avec la convention degY(0) =−∞.
SoitM un id´eal premier deA qui n’est pas principal.
3. Montrer que M contient deux polynˆomes irr´eductibles en une variable, P(X) etQ(Y) (Indication : prendre P de degr´e minimal en X parmi les ´el´ements non nuls de M de degr´e minimal en Y)
4. Montrer que M est un id´eal maximal deA. (Indication : on pourra ´ecrireA/M comme un quotient de (K[X]/(P))[Y])
5. Montrer queA/M est unK-espace vectoriel de dimension finie.
6. SiKest alg´ebriquement clos, montrer queM est de la forme (X−a, Y −b) (c’est-`a-dire est l’id´eal engendr´e par X−aetY −b), aveca, b∈K, et queA/M est de dimension 1 sur K.
7. Montrer que les id´eaux premiers deA sont de trois sortes : (0), les id´eaux principaux non nuls (engendr´es par un ´el´ement irr´eductible deA), et les id´eaux maximaux. Montrer que les id´eaux maximaux deAsont exactement les id´eaux de la forme (P(X), R(X, Y)), o`uP(X) est un polynˆome irr´eductible en la variable X uniquement et o`u la projection de R(X, Y) dans (K[X]/(P))[Y] y est irr´eductible.
Exercice 2 Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 1. On noteA=C[X1, . . . , Xn] l’anneau des polynˆomes ennvariablesX1, . . . , Xn `a coefficients complexes. Pourm≥1 etf1, . . . , fm ∈A, on noteZ(f1, . . . , fm) l’ensemble des points x= (x1, . . . , xn) de Cn tels qu’on ait, pour tout j∈ {1, . . . , m},fj(x1, . . . , xn) = 0. SiI est un id´eal deA, on noteZ(I) l’ensemble des points x= (x1, . . . , xn) de Cn tels qu’on ait f(x1, . . . , xn) = 0 pour tout f ∈I. Il est clair que si I est l’id´eal engendr´e par f1, . . . , fm alors Z(I) =Z(f1, . . . , fm).
1. Montrer que tout id´eal de A est de type fini, c’est-`a-dire peut ˆetre engendr´e par un nombre fini d’´el´ements.
On appelle ferm´e alg´ebrique de Cn toute partie de Cn qui peut s’´ecrire Z(I) pour un certain id´eal I de A. D’apr`es la question 1., les ferm´es alg´ebriques sont exactement les ensembles de la forme Z(f1, . . . , fm), c’est-`a-dire qu’un ferm´e alg´ebrique est le lieu des z´eros communs d’une famille finie de polynˆomes (ennind´etermin´ees).
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2. Montrer que les propri´et´es suivantes sont satisfaites, o`u I1, I2 et les It (o`u t d´ecrit un ensemble d’indicesT quelconque) sont des id´eaux deA :
(a) SiI1⊂I2 alors Z(I1)⊃Z(I2).
(b) Z(I1I2) =Z(I1∩I2) =Z(I1)∪Z(I2).
(c) Z(P
t∈T It) =∩t∈TZ(It).
3. Montrer que les ferm´es alg´ebriques sont les ferm´es d’une topologie (appel´ee topologie de Zariski), pour laquelle l’intersection de deux ouverts non vides est toujours non vide. Il en d´ecoule que tout ouvert non vide est dense, et que cette topologie n’est pas s´epar´ee (donc pas m´etrisable).
4. SoitI un id´eal de A. On rappelle que le radical deI, not´e √
I, est l’ensemble desf ∈A pour lesquels il existe n∈N∗ tel quefn∈I. Montrer qu’on a Z(√
I) =Z(I).
Soit V une partie deCn. On noteI(V) l’ensemble des polynˆomesf ∈Aqui sont nuls surV, i.e. tels que f(x) = 0 pour tout x ∈ V. Il est clair que I(V) est un id´eal de A, ´egal `a son radical.
5. Soit V un ferm´e alg´ebrique de Cn. Montrer qu’on aZ(I(V)) =V.
Le th´eor`eme des z´eros de Hilbert affirme que siI est un id´eal deAqui est ´egal `a son radical alors I(Z(I)) = I. Dans toute la suite de cet exercice, on admet ce th´eor`eme. On a alors des bijections r´eciproques, Z et I, entre l’ensemble des id´eaux I de A tels que √
I = I et l’ensemble des ferm´es alg´ebriques deCn.
On dit qu’un ferm´e alg´ebrique est irr´eductible si il peut s’´ecrireZ(P) avec un id´ealP premier.
6. En utilisant l’exercice 4 du T.D. 3, d´emontrer les r´esultats suivants :
(a) Un ferm´e alg´ebrique V est irr´eductible si, et seulement si, il ne peut pas s’´ecrire V1∪V2, o`u V1 etV2 sont des ferm´es alg´ebriques strictement inclus dansV. (b) Tout ferm´e alg´ebrique peut s’´ecrire comme une r´eunion finie de ferm´es alg´ebriques
irr´eductibles.
(c) Si un ferm´e alg´ebrique irr´eductibleV est inclus dans une r´eunion V1∪. . .∪Vk de ferm´es alg´ebriques, alorsV est inclus dans l’un des Vj.
7. `A l’aide de l’exercice 1 ci-dessus, d´ecrire les ferm´es alg´ebriques deC2.
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