1ère grille : Les sept entiers 1022, 1122, 1212, 1221, 2101, 2102 et 2212 sont placés dans la grille carrée 4 x 4. Déterminer le 8ième entier.
Dans les sept entiers donnés, il y a trois 0, onze 1 et quatorze 2 : chacune des 16 cases apparait deux fois : le nombre manquant comporte un nombre impair de 0 et de 1.
Supposons le nombre manquant placé horizontalement
Il ne peut avoir trois 0, car alors, il y aurait trois 0 en même position dans les nombres verticaux, ce qui est impossible (1022, 2101, 2102). Il ne peut non plus avoir trois 1, car il ne peut apparaitre trois fois dans des nombres verticaux que si ceux-ci commencent par 1 (1022, 1122, 1212, 1221) mais alors le quatrième nombre vertical devrait commencer par 0, et il n’y en a pas. Le huitième nombre s’écrit donc avec un 0, un 1 et deux 2 ; la constitution de la grille montre que c’est 2021 :
1 2 1 2 2 1 0 2 2 0 2 1 1 1 2 2
Les entiers p et q étant distincts, remplir la grille à l’aide des définitions suivantes : Horizontalement Verticalement
1 : p*q a : (p + 1)*(q + 1) 2 : multiple de q b(1) : multiple de q 3 : (q – 1)² c : multiple de p² – q² 4 : p² d : q²
(1) Nota : l’entier de la colonne b est à 3 chiffres et occupe les cases b2,b3 et b4.
Si p=47, q=43, p2=2209, q2=1849, (q-1)2=1764, pq=2021, (p+1)(q+1)=2112 , 1118 et 172 sont multiples de 43, et 2160 multiple de p2-q2=360 : d’où la grille 2 0 2 1
1 1 1 8 1 7 6 4 2 2 0 9
