Complexe de Cycles sur P 1 \ {0, 1, ∞} :

Complexe de Cycles sur P ¹ \ {0, 1, ∞} :

Motifs de Tate mixtes et polylogarithmes multiples

Ismaël Soudères 10 mars 2012

Table des matières

1 Introduction 2

1.1 Définitions . . . 2

1.2 Complexe de cycles . . . 3

1.3 Cycles et motifs de Tate mixtes . . . 3

1.4 Idée géométrique . . . 4

2 Premiers exemples 5 2.1 Cycles et polylogarithmes . . . 5

2.2 Poids 3 : première correction pour t= 1 . . . 5

2.3 Exemples combinatoires . . . 6

3 Combinatoire 7 3.1 Arbres et algèbre de Lie . . . 7

3.2 Arbres duaux des crochets de Lyndon . . . 7

3.3 Une autre différentielle sur les arbres . . . 8

4 Des arbres aux cycles 9 4.1 Une première approche . . . 9

4.2 Cas deL[011] . . . 10

4.3 Cycles admissibles pour “t= 1” . . . 10

5 Cycles et construction bar 12 5.1 Cycles et constrcution bar . . . 12

1 Introduction

1.1 Définitions : DGA, construction bar et modèle 1-minimal

Construction bar sur une algèbre différentielle graduée

Définition 1.1 (DGA). Soit A = ⊕A^k une algèbre graduée et d : A^k −→ A^k+1 une différentielle. PouradansA^k on note|a|=kson degré.Aest :

– graduée commutativesia·b= (−1)^|a||b|b·a – différentielle sidsatisfait la règle de Leibniz :

d(a·b) =d(a)·b+ (−1)^|a|a·d(b) On supposeAaugmentée et on noteA⁺= ker(ε:A−→Q).

Définition 1.2(Construction bar). La construction bar surAest :B(A) =⊕_n(A⁺)^⊗n⊂

⊕_n(A)ⁿ.

B(A) admet une structure d’algèbre de Hopf différentielle graduée commutative (x, D, ∆).

Problème général

– Décrire les groupes de cohomologie d’une DGA (A, d).

;On va remplacerApar une DGA plus simple à contrôler.

Modèle1-minimal

Définition 1.3(DGA génériquement nilpotente). – Une extension de Hirsch de A est de la forme :A⊗Λ(V)

où : V =Q.v tel quedV ∈(A⁺)²etvde degrék.

– Une DGAAestgénériquement nilpotentesi : – on aQ⊂A1⊂. . .⊂Al⊂. . .

– A=S Al

– Al=Al−1⊗Λ(Vl) est une extension de Hirsch ; – en particulierA= Λ(V).

Théorème 1.4(Sullivan). Soit Aune DGA cohomologiquement connexe.

Il existe une DGA génériquement nilpotenteMA= Λ(V)et un morphisme ϕ:MA−→A

induisant :

H⁰(MA)'H⁰(A), H¹(MA)'H¹(A), H⁰(MA),→H⁰(A).

On parle de modèle 1-minimal Modèle1-minimal

Remarque 1.5. SoitA= Λ(V) génériquement nilpotente avecV en degré 1.

V admet alors une structure de coalgèbre de Lie : V −→^d Λ²(V) =V ∧V oùd²= 0 est dual de l’identité de Jacobi.

Construction inductive du modèle1-minimal 1. On pose :V1= H¹(A) en degré 1 etM1= Λ(V1).

2. On pose :Vi+1= ker(H²(Mi)−→^ϕi H²(A)) en degré 1 etMi+1=Mi⊗Λ(Vi+1).

3. On pose enfinV =∪VietM=∪Mi.

1.2 Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz

Par la suite on noteX= Spec(Q) ouX=P¹\ {0,1,∞}.

Bloch et Kriz définissent une DGA à partir de groupes de cycles.

Le cube

– On noteⁿ pour l’espace affine (P¹\ {1})ⁿ

– lesfacesdeⁿsont données parui1=. . .=uil = 0,∞.

Groupes de cycles Z^p(X, n) est le groupe libre

Z

*

W ⊂X×ⁿtel que







W fermé irréductible codim(W)=p

codim(W∩X×F)=pouW∩X×F=∅

+

Opérations

– Différentielle d :Z^p(X, n)−→Z^p(X, n−1) définie par intersection avec les faces d=

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹(∂₀ⁱ−∂_∞ⁱ ).

– Action de (Z/2Z)ⁿet deS_nsurⁿ. On noteAlt_nle projecteur induit surZ^p(X, n).

Définition 1.6(N_X^•). – SoitN_X^k(p) le groupeAlt_2p−k(Z^p(X,2p−k)) placé en degré k. On obtient un complexe

N_X^•(p) : · · · −→ N_X^k(p)−→ N^∂ _X^k+1(p)−→ · · · – On poseN_X^• =L

pN_X^•(p).

Produit

On définit un produit :

N_X^k(p)× N_X^l(q)−→ N_X^k+l(p+q)

par concaténation des coordonnées, pull-back par la diagonale et projection par Alt2(p+q)−(k+l) :

X×^2p−k×X×^2q−l→^∼ X×X×2(p+q)−(k+l)←X×2(p+q)−(k+l)

. Proposition 1.7 ([?]). N_X^• est une algèbre différentielle graduée. Ses groupes de coho- mologie sont les groupes de Chow supérieurs deX.

1.3 Cycles et motifs de Tate mixtes

On note

– M T M(X) la catégorie des motifs de Tate mixtes surX

– X_X l’algèbre de Hopf associée à la catégorie tannakienneM T M(X).

– M_X la coalgèbre de Lie correspondante.

Théorème 1.8(X= Spec(Q) : [?] ;X=P¹\ {3 pts}: [?] ). Le modèle1-minimal,MNX

deNX est donné en degré1par les indécomposables deH⁰(B(NX)): MNX 'Λ(H⁰(B(N_X))⁺/produits).

On a de plus les isomorphismes suivants :

X_X 'H⁰(B(N_X)) et M_X '(H⁰(B(N_X))⁺/produits.

Remarque 1.9. Le H⁰ de la construction bar surN_X redonne : – Le modèle 1 minimal deN_X.

– L’algèbre de Hopf des motifs de Tate mixtes surX.

Ici,X=P¹\ {0,1,∞}.

Théorème 1.10 ([?]). On a de plus la suite exacte courte de coalgèbre de Lie : 0−→ M_Q−→ M_X −→ M_geom−→0

oùM_geom est (comme espace) la coalgèbre de Lie associée àπ\₁^top(X)

uni

. – π₁^top(X) est libre à 2 générateurs.

– On aπ\^top₁ (X)

uni

=π₁^mot(X), le groupe fondamental motivique défini par Deligne et Goncharov.

Question

Donner une base explicite deM_X = H⁰(B(NX))⁺/produits (relativement àM_Q) : – à partir de cycles explicites dansX×^•,

– compatible avec la différentielle (induite par ∆_H⁰(B(NX))).

0 M_Q M_X M_geom 0

Objectifs

– Obtenir une section.

– Décrire la coaction dMX : M_geom −→ M_Q∧ M_geom, c’est à dire le coproduit motivique de Goncharov.

– Obtenir des cycles algébriques correspondant aux MZV.

Idée : construction inductive du 1-modèle minimal

– Base du H¹(N_X) :L_[0]= [t;t], L_[1]= [t,1−t]⊂X×¹.

– ker(H²(Mi)−→^ϕi H²(A)) : on utilise le diagramme b=P

αk,lck∧cl P

αk,lϕi(ck)·ϕi(cl) 0

∃c∈ N_X¹

ϕi d

d

∈M_i² ∈ N_X²

.

Difficultés

– Combinatoires : quelles combinaisons linéairesP

αk,lck∧clconviennent ? – Géométriques : comment décrirec⊂X×^2p−1explicitement ?

1.4 Idée géométrique

Supposons que l’on ait :

– Les cycles désirés jusqu’en poids6p:c1, . . . cN

– etb=P

αik,ilcik∧cil ⊂X×^2(p+1)−2tel queb−→^d 0.

Question :

À quelles conditions a-t-onc∈ N_X tel qued(c) =b?

Approche :X=P¹\ {0,1,∞} ⊂A¹

On considère (N_A¹, d_A¹). Soitbla clôture debdansA¹×^2(p+1)−2. – Sid_A¹(b) = 0 alors il existec∈ N¹

A¹ etc⊂X×^2(p+1)−1.

– Dans ce cas c = µ^∗(b) où µ est induit par la multiplication A¹×A¹ → A¹ :

X×¹×^2(p+1)−2 X×^2(p+1)−2

[t;u1, u2, . . . , u2(p+1)−1] [_1−u^t

1;u2, . . . , u2(p+1)−1].

µ

– Pour avoird_A¹(b) = 0, on veut imposerb|₀=∅etcik|₁= 0 dès quecil=L1. – Par construction on ac|₀=∅.

2 Premiers exemples

2.1 Cycles et polylogarithmes

Par la suiteX=P¹\ {0,1,∞}. On pose :

L[0]= [t;t] et L[1]= [t; 1−t] ⊂X×¹.

Poids 2:L[01];Li1(t) On considère la combinaison

b=L_[0]·L_[1]= [t;t,1−t]⊂Xײ. On ab|₀=b|₁=∅. Le pull-back par

X׹ײ Xײ [t;u₁, u₂, u₃] [_1−u^t

1;u₂, . . . , u₃]

µ

donne le cycle de Totaro déjà présent dans [?]

L_[01]=µ^∗(b) = [t; 1− t x1

, x₁,1−x₁]∈ N_X¹(2).

Remarque

– L_[01]s’étend surA¹.

– L_[01]|_t=0=∅etL_[01]|_t=1 est bien défini.

– L_[01]correspond à la fonction Li2(t).

Polylogarithmes : L[0···01];Lin(t)

Par récurrence, on construit les cyclesLn=L[0···01]. On considère : b=L_[0]·Ln−1.

On a alorsd(b) =L_[0]·L_[0]·Ln−2= 0 et

b|t=0,1(L_[0]·Ln−1)|0,1=∅.

On en déduit qu’il existe

Ln⊂Xײⁿ⁻¹ tel que d(Ln) =L[0]·Ln−1⊂Xײⁿ⁻². Le calcul deµ^∗(b) donne en particulier

Ln= [t; 1− t xn−1

, xn−1,1−xn−1

xn−2

, xn−2, . . . ,1−x2

x1

, x1,1−x1]∈ N_X¹(p).

Remarque

– L_ns’étend sur A¹etL_n|_t=0=∅.

– On retrouve en particulier l’expression donnée dans [?].

– Ln=L[0···01]correspond à Lin(t) ([?]).

2.2 Poids 3 : première correction pour t = 1

On a vuL[001] tel qued(L[001]) =L[0]·L[01]. Le cas deL_[011]

On peut aussi considérer le produit

b=L[01]·L[1]= [t; 1− t x1

, x1,1−x1,1−t].

Mais alors

d_A¹(b) =L_[01]|_t=1·[1; 0]6= 0.

On introduit le cycle constantL_[01](1) tel que

∀a∈X L_[01]|_t=a=L_[01]|_t=1. Concrètement :L[01](1) = [t; 1− 1

x₁, x1,1−x1,1−t]⊂X׳. On considère la combinaison linéaire

b= (L_[01]−L_[01](1))·L_[1]. On a bien :

d(b) = 0, d_A¹(b) = 0, b|_t=0=∅.

Le cas deL[011]

Le pull-back par la multiplication de

b= (L_[01]−L_[01](1))·L_[1]

donne alors :

L[011]=µ^∗(b) =[t; 1− t

x₂,1−x2

x₁, x1,1−x1,1−x2] + [t; 1− t

x2

,1−x2,1− 1 x1

, x1,1−x1] – Le cycleL_[011] est bien défini surX=P¹\ {0,1,∞}.

– On ad(L_[011]) =b= (L_[01]−L_[01](1))·L_[1].

Remarque 2.1. – L[011] n’est pas admissible au pointt= 1.

– Ce problème est similaire à celui rencontré dans [GGL05].

2.3 Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

Supposons pour l’instant que – L[011] est bien défini pourt= 1.

– Ceci pour nous concentrer sur la combinatoire.

Question combinatoire

Quelles sont les combinaisons linéairesb=P

αik,ilcik∧cil possibles ? – On suppose à chaque fois pouvoir construire lectel qued(c) =b.

Poids 4

– Un exemple similaire àL_[011] :

d(L_[0111]) = (L_[011]−L_[011](1))·L_[1]. La multiplication parL[1] induit une correction par−L_[W](1).

– La correction en−L_[01](1)deL[011] “se propage” :

d(L_[0011]) =L_[0]·L_[011]+ (L_[001]−L_[001](1))·L_[1]+L_[01]·L_[01](1)

Poids5

En poids 5 apparaissent les premiers exemples tels qued(L[–])|_t=16= 0 : d(L[01011]) =L[01]·L[011]+ (L[0011]−L_[0011](1))·L[1]

+2L_[011]·L_[01](1) – Jusqu’à présentd(L[−](1)) = 0.

– Ces termes n’interviennent pas dans le calcul ded(b) = 0.

– Ce n’est plus le cas en poids 6.

Poids6

On a par exemple :

d(L_[010111]) =L_[01]·L_[0111]+ (L_[00111]−L_[00111](1))·L_[1]

(L_[01011]−L_[01011](1))·L_[1]

+3L[0111]·L[01](1)+2L[011]·L[011](1).

Le terme end(−L_[01011](1)·L[1]) =L[01](1)·L[011](1)·L[1]

vient compenser les termes similaires provenant de

d(L[0111]·L[01](1)) et d(L[011]·L[011](1)).

Observations : les combinaisons linéairesb se composent : – d’une “partie principale” en noir ;

– d’une correction “géométrique et combinatoire” en rougelors de la multiplication parL_[1];

– d’un “terme correctif” enbleucorrespondant à “une propagation”.

cadre combinatoire

– La partie principale est :

– duale aux crochets de Lyndon dans Lie(X0, X1), l’algèbre de Lie libre ; – codée par des arbres trivalent avecdLie dual au crochet de Lie.

– Les termes correctifs sont liés à une autre différentielledcysur lesmêmesarbres.

3 Combinatoire : crochets de Lyndon, arbres et diffé- rentielle

3.1 Arbres et algèbre de Lie

Définition 3.1. On noteT^t leQ-espace vectoriel engendré par : – les arbres trivalents enracinés

– aux feuilles décorées par 0 et 1.

On pose

T^t,r=T/





T1

T2T3

=−

T1

T3T2



.

On munitT^t,r de la loi interne définie par

•

T1 T2

•

T3 T4

=

•

T1T2T3T4

.

Remarque 3.2. La relation correspond au crochet de Lie : T^t,r⊗ T^t,r−→ T^t,r T1⊗T27−→[T1;T2].

– est antisymétrique – maisne vérifie pasJacobi.

Lemme 3.3. On a :T^t,r/identité de Jacobi'Lie(X0, X1).

Définition 3.4. – Un mot de Lyndon enX0 etX1est tel que W =U·V U, V 6=∅ ⇒ W <lexi.V.

– SoitW un mot de Lyndon. On définit par récurrence [W] = [[W1],[W2]]∈Lie(X0, X1) avec

W =W1·W2

W2minimal.

Propriété des crochets de Lyndon

– L’écriture [W] = [[W1],[W2]] avecW1< W2est unique.

– Les crochets de Lyndon [W] forment une base de Lie(X0, X1).

– Les ([W1]∧[W2])W1<W2 forment une base de Lie(X0, X1)^∧2. – Le crochet de Lie [ ; ] s’écrit dans ces bases :

[[W1],[W2]] =X

W

αW1,W2,W[W].

3.2 Arbres duaux des crochets de Lyndon

On a alors un ordre total<surT et une baseTdeT^t,r : T=

(

T tel que

T1T2

sous arbre deT ⇒T1< T2

)

Dualité

– On identifieT^t,r à son dual via la baseT.

– On obtient coLie(X0, X1) comme sous espace deT^t,r. – On a (T[W])_W la base duale des crochets de Lyndon ([W])W. – On a une différentielle duale du crochet :

dLie: coLie(X0, X1)−→coLie(X0, X1)^∧2, dLie( •

T1T2

) = •

T1

∧ •

T2

.

Proposition 3.5. On a par dualité :dLie(T_[W]) = X

W1<W2

αW1,W2,WT_[W1]∧T_[W2].

On peut de plus construire lesT_W par récurrence :

T[W]= X

W1<W2

αW1,W2,WT[W1] T[W2].

Exemples Poids 1,2 et3

•

0

|{z}

T[0]

•

1

|{z}

T[1]

•

0 1

| {z }

T[01]

•

0 0 1

| {z }

T[001]

•

0 1 1

| {z }

T[011]

Poids 4

•

0 0 0 1

| {z }

T[0001]

•

0 0 1 1

+

•

0 0 1 1

| {z }

T[0011]

•

0 1 1 1

| {z }

T[0111]

3.3 Une autre différentielle sur les arbres

Une autre différentielle sur les arbres Arbres et cycles

– Dans [GGL05], Gangl, Goncharov et Levin introduisent une différentielle dcy sur des arbres.

– La différentielledcy reflète la différentielle dansN_Spec(Q).

Définition 3.6. Uneorientationωd’un arbreT est une numérotation des arrêtes.

Les arbres orientés de [GGL05]

– On poseV^t leQ-espace vectoriel engendré par les forêts d’arbresT – orientés,

– à la racine décorée :t, 0 ou 1 – aux feuilles décorées par 0 ou 1 – L’union disjointe induit un produit noté·

L’algèbreT^dec,or

On noteT^dec,or l’algèbre quotient deV^t par les relations : (T, σ(ω)) =ε(σ)(T, ω),

T1T2

0 = 0 et ¹

0

= 0.

dcy : Contraction d’arêtes

Soiteune arête d’un arbreT. La contractionT /edeT àeest : – Siecontient la racine ^e

t

p q r

; ^t

p q r ; ^{t t t}

p q r

– Siecontient une feuille : _e

t

p q r

; ^t

p q

r ;

r r

t

p q

r

– Sieest interne : on contracte simplement.

– On a une orientation induite surT /e.

Définition 3.7. La différentielledcyest définie par : dcy(T, ω) =X

e∈T

(T /e, ie(ω)) et la règle de Leibniz.

Proposition 3.8. T^dec,or muni dedcy est une DGA.

Une autre différentielle sur les arbres

Proposition 3.9 (Soud.). Soit W un mot de Lyndon. On note encore T[W] son image dansT^dec,or (tdécore la racine). On a

dcy(T_[W]) = X

W1<W2

αW1,W2,WT_[W1]·T_[W2]

+ X

W16W2

βW1,W2,WT[W1]·T[W2](1) + X

W1<W2

βW2,W1,WT[W2]·T[W1](1) (ED-T)

oùT_[W2](1) désigne l’arbreT_[W2] avec la racine décorée par 1.

Idée de la preuve (par récurrence). – Comme d²_Lie = 0, les arêtes internes ne contri- buent pas.

– Les termes enT_[W2](1) viennent des feuilles décorées par 1.

– La décomposition de crochets dans la base de Lyndon montrent que l’on a exacte- ment des termes enT_[W1]·T_[W2](1).

Une autre différentielle sur les arbres Exemples

– T_[011] :

dcy







t

0 1 1





= ^t

0 1

· ^t

1

+ ^t

1

· ¹

0 1

– T[0011] : dcy







t

0 0 1 1

+

t

0 0 1 1





= ^t

0

·

t

0 1 1

+

t

0 0 1

· ^t

1

+

t

0 1

· ¹

0 1

Une autre différentielle sur les arbres Un exemple en poids 5:T_[01011]

t

0 1 0 1 1

+

t

0 0 1 1 1

+

t

0 0 1 1 1 dcy

7−→ ^t

0 1

·

t

0 1 1

+











t

0 0 1 1

+

t

0 0 1 1











· ^t

1

+ ^t

1

·











1

0 0 1 1

+

1

0 0 1 1











+2

t

0 1 1

·

1

0 1

4 Des arbres aux cycles sur P

\ {0, 1, ∞}

4.1 Des arbres aux cycles : une première approche

Observation

– Le système (ED-T) redonne les exemples formels précédents (T_[W];L_[W]).

– On a donc trouvé un cadre combinatoire.

Passer des arbres aux cycles

Dans [GGL05], Gangl, Goncharov et Levin associent un cycle à un arbre de la façon suivante :

– À chaque arête correspond un facteur¹deⁿ.

– Les sommets internes sont décorés par des paramètresxi. –

xi

xi+1

7→1− xi

xi+1

,

xi

0

7→xi,

xi

1

7→1−xi.

Problème

Les cycles obtenusne sont pasadmissibles.

Cependant :

– Considérer le “système différentiel” correspondant à (ED-T) donne d’autres cycles.

– Au départ notre problème est une construction inductive.

Système “différentiel”

On considère dansN_X le système “différentiel” suivant : d(L[W]) = X

W1<W2

αW1,W2,WL[W1]·L[W2]

+ X

W16W2

βW1,W2,WL_[W1]·L_[W2](1) + X

W1<W2

βW2,W1,WL_[W2]·L_[W1](1) (ED-L) où :

– W,W1,W2sont des mots de Lyndon ;

– L_[W2](1) désigne le cycle constant égal àL_[W2]|_t=1; – αW1,W2,W etβW1,W2,W sont ceux de (ED-T).

Question

Peut on construire les cyclesL_[W] satisfaisant (ED-L) ? Remarque

– Il est essentiel d’avoir des cycles définis surA¹.

– En particulier les cycles doivent être admissibles pourt= 1.

– Les cycles restreints àt= 1 correspondent aux MZV.

4.2 Cas de L

: problème d’admissibilité en t = 1

Le système (ED-L) :d(L[011]) = (L[01]−L_[01](1))·L[1]

Le pull-back par la multiplication de (L[01]−L_[01](1))·L[1] donne L_[011]= [t; 1− t

x2

,1−x2

x1

, x1,1−x1,1−x2]

+ [t; 1− t x2

,1−x₂,1− 1 x1

, x₁,1−x₁].

Remarque 4.1. – Le cycleL_[011] est bien admissible surX=P¹\ {0,1,∞}.

– Le second terme de la somme n’apparaît pas en ne considérant que l’arbre.

Problème

– Il ne s’étend pas surA¹. Il n’est pas admissible ent= 1.

– On ne peut donc pas par la suite définirL_[011](1).

– Exemple :

d(L_[00111]) =L_[0]·L_[0111]+ (L_[0011]−L_[0011](1))·L_[1]

+L_[01]·L_[011](1)+L_[011]∧L_[01](1).

Stratégie : modifier “l’équation différentielle”

– Il faut que le facteur devantL_[1] soit vide àt= 1.

– On remplaceL_[01]−L_[01](1) par

L¹_[01] tel que L¹_[01]|_t=1=∅.

– On calcule le pull-back deL¹_[01]·L_[1]pour obtenirL_[011]. Concrètement

Comme _x−1^x−t = (1−_x^t)(1−_x¹)⁻¹, on utilise une formule de multiplication pour obtenir L¹_[01]= [t;x1−t

x1−1, x₁,1−x₁].

On a ainsi

L_[011]= [t; 1− t

x₂,x1−x2

x₁−1, x1,1−x1,1−x2] Remarque

– Il faut modifier le système (ED-L).

– Les deux cyclesL[011] etL_[011] donnent le même élément dans H⁰(B(N_X))

4.3 Cycles admissibles pour “t = 1”

Idée

On remplace le système d’équation (ED-L) par deux systèmes d’équations (ED-L) et (ED-L¹) donnant respectivement des cycles vides ent= 0 et ent= 1.

Définition 4.2. À partir des coefficients de (ED-L) αW1,W2,βW1,W2 etβW2,W1 on pose pourW16W2:







aW1,W2,W =αW1,W2,W +βW1,W2,W−β_W2,W1,W bW1,W2,W =−β_W1,W2,W

bW2,W1,W =−β_W2,W1,W. et pour 0< W1< W2











a⁰_W1,W2,W =−a_W1,W2,W b⁰_W

1,W2,W =a_W1,W2,W +b_W1,W2,W b⁰_W

2,W1,W =−a_W1,W2,W +bW2,W1,W

a⁰_0,W2=a0,W2 etb⁰_W1,W1,W =bW1,W1,W

Remarque

Pour obtenir lesaW1,W2,W,bW1,W2,W etbW2,W1,W : - partir de (ED-L)

- remplacer lesL_[W2](1) par−(L_[W2]−L_[W2](1)) +L_[W2].

Systèmes d’équations(ED-L)et(ED-L¹)

On considère pour tout mot de LyndonW de longueur>2.

d(L_[W]) = X

W1<W2

aW1,W2,WL_[W1]· L_[W2]

+ X

W16W2

bW1,W2,WL_[W1]· L¹_[W

2]

+ X

W1<W2

bW2,W1,WL_[W2]· L¹_[W

1]. (ED-L) et

d(L¹_[W]) = X

W1<W2

a⁰_W1,W2,WL¹_[W

1]· L¹_[W

2]

+ X

W16W2

b⁰_W1,W2,WL_[W1]· L¹_[W

2]

+ X

W1<W2

b⁰_W2,W1,WL_[W2]· L¹_[W

1] (ED-L¹)

Cycle admissible pour t= 1 On poseL_[0]=L_[0]etL_[1]=L_[0].

Théorème 4.3 (Soud.). Pour chaque mot W de longueurp>2 il existe un cycleL_[W]

(resp. L¹_[w]) dansN_X¹(p)tel que :

– L_[W] (resp. L¹_[W]) s’étend en un cycle dansN¹

A¹(p).

– L_[W]|_t=0=∅(resp.L¹_[W]|_t=1=∅).

– L_[W] (resp. L¹_[W]) satisfait (ED-L)(resp.(ED-L¹)).

Idée de la preuve

Par induction. On note A0 (resp.A, B) le membre de droite de (ED-T) (resp. (ED-L), (ED-L¹)).

– Commedcy(A0) = 0 on montre qued(A) =d(B) = 0

– en utilisant queL_[W0]|_t=0=L¹_[W0]|_t=1=∅, on montre qued_A¹(A) =d_A¹(B) = 0 et queA|_t=0=B|_t=1=∅.

– On construit alorsL_[W]=µ^∗(A) via le pull-back par la multiplicationµ:X×¹−→

X.

– On construitL¹_[W]=ν^∗(B) via le pull-back par la multiplication tordue part7→1−t, ν:X×¹−→X.

Exemples de cycles paramétrés en poids4 : première combinaison linéaire On a

d(L_[0011]) =L_[0]· L_[011]+L¹_[001]· L_[1]− L_[01]· L¹_[01]

On obtient

L_[0011]= [t; 1− t x3

, x₃,1−x3

x2

,x1−x2

x1−1, x₁,1−x₁,1−x₂] [t; 1− t

x3

,x3−x2

x3−1 , x2,1−x2

x1

, x1,1−x1,1−x3]

−[t; 1− t

x₃,1−x3

x₂, x2,1−x2,x1−x3

x₁−1, x1,1−x1]

Différence entre(ED-L)et (ED-L¹)en poids5

d(L_[00101]) =L_[001]· L_[01]+L_[1]L¹_[0001] (ED-L) et

d(L¹_[00101]) =−L¹_[001]· L¹_[01]+L_[001]· L¹_[01]− L_[01]· L¹_[001]

+L_[1]· L¹_[0001] (ED-L¹) La différence entred(L_[00101]) etd(L¹_[00101]) intervient de façon cruciale en poids 6.

Représentation combinatoire : arbres colorés

– arête colororées et la relation : •

···

1

= 0.

– à une arête

a b

correspond a−b a−1 – correspond àµ^∗et àν^∗ – Exemples :

L_[01];

t

0 1

,L¹_[01];

t

0 1

,L¹_[001] ;

t

0 0 1

,L_[011] ;

t

0 1 1

L_[0011];

t

0 0 1 1

+

t

0 0 1 1

−

t

0 1 0 1

5 Cycles et construction bar

5.1 Cycles et constrcution bar

Note :B(N_X)⊂ ⊕_nN_X^⊗nmunit de :x,∆, D.

On rappelle queM_X'H⁰(B(N_X))⁺/produitx Objectif initial :

– Décrire le 1-modèle minimal deN_X.

– C’est à dire : donner une base deM_X (relativement àM_Spec(Q)).

;En explicitant la construction inductive du 1-modèle minimal, on a obtenu les cycles L_[W] (etL¹_[W]).

;Construire les éléments correspondants dans H⁰(B(N_X)).

Remarque

M_X est un quotient : moduloD(B⁻¹(N_X)) et modulo produits.

Exemples en poids2

L^B_[01]= [L_[01]]−[L_[0]|L_[1]]∈ N_X⊕ N_X^⊗2 L^1,B_[01]= [L¹_[01]]−[L_[0]|L_[1]] On a

L¹_[01]=L_[01]− L_[01](1) +d(C[01]), avecC_[01]∈ N_X⁰. Comme [C_[01]]∈B⁻¹, on en déduit que

L^1,B_[01]=L^B_[01]− L^B_[01](1) ∈ M_X

Exemple en poids4

L^B_[0011]=[L_[0011]] N_X^⊗1

−[L¹_[001]|L_[1]]−[L_[0]|L_[011]] + [L_[01]|L¹_[01]] N_X^⊗2

−[L_[01]|L_[0]|L_[1]]−[L_[0]|L_[1]|L¹_[01]] N_X^⊗3 + [L_[0]|L_[1]|L_[0]|L_[1]] + [L_[0]|L_[0]|L_[1]|L_[1]] N_X^⊗4

Remarques

– moduloD(B⁻¹);modulo termes en : – [· · · |d(C)| · · ·] avecC∈ N_X⁰

– certains produits [· · · |L_[W]·d(C)| · · ·]

– modulo produitx;questions d’ordre dans [a₁| · · · |a_n].

Proposition 5.1. Pour tout mot de LyndonW de poids >2, on a dansM_X : L^1,B_[W]=L^B_[W]− L^B_[W](1)

Le coproduit sur H⁰(B(N_X)) induit une différentielle surM_X.

Théorème 5.2 (Soud.). DansM_X, les élémentsL^B_[W] satisfont l’équation (ED-T): d^M(L^B_[W]) = X

W1<W2

αW1,W2,WL^B_[W

1]· L^B_[W

2]

+ X

W1<W2

β_W1,W2,WL^B_[W

1]· L^B_[W

2](1)−β_W2,W1,WL^B_[W

2]· L^B_[W

1](1)

Remarques

– d^M correspond au produit motivique de Goncharov (modulo produit).

– De façon équivalente,d^M est dual du crochet de Ihara (ou crochet de Poisson).