On a vuL[001] tel qued(L[001]) =L[0]·L[01]. Le cas deL[011]
On peut aussi considérer le produit
b=L[01]·L[1]= [t; 1− t x1
, x1,1−x1,1−t].
Mais alors
dA1(b) =L[01]|t=1·[1; 0]6= 0.
On introduit le cycle constantL[01](1) tel que
∀a∈X L[01]|t=a=L[01]|t=1. Concrètement :L[01](1) = [t; 1− 1
x1, x1,1−x1,1−t]⊂X×3. On considère la combinaison linéaire
b= (L[01]−L[01](1))·L[1]. On a bien :
d(b) = 0, dA1(b) = 0, b|t=0=∅.
Le cas deL[011]
Le pull-back par la multiplication de
b= (L[01]−L[01](1))·L[1]
donne alors :
L[011]=µ∗(b) =[t; 1− t
x2,1−x2
x1, x1,1−x1,1−x2] + [t; 1− t
x2
,1−x2,1− 1 x1
, x1,1−x1] – Le cycleL[011] est bien défini surX=P1\ {0,1,∞}.
– On ad(L[011]) =b= (L[01]−L[01](1))·L[1].
Remarque 2.1. – L[011] n’est pas admissible au pointt= 1.
– Ce problème est similaire à celui rencontré dans [GGL05].
2.3 Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis
Supposons pour l’instant que – L[011] est bien défini pourt= 1.
– Ceci pour nous concentrer sur la combinatoire.
Question combinatoire
Quelles sont les combinaisons linéairesb=P
αik,ilcik∧cil possibles ? – On suppose à chaque fois pouvoir construire lectel qued(c) =b.
Poids 4
– Un exemple similaire àL[011] :
d(L[0111]) = (L[011]−L[011](1))·L[1]. La multiplication parL[1] induit une correction par−L[W](1).
– La correction en−L[01](1)deL[011] “se propage” :
d(L[0011]) =L[0]·L[011]+ (L[001]−L[001](1))·L[1]+L[01]·L[01](1)
Poids5
En poids 5 apparaissent les premiers exemples tels qued(L[–])|t=16= 0 : d(L[01011]) =L[01]·L[011]+ (L[0011]−L[0011](1))·L[1]
+2L[011]·L[01](1) – Jusqu’à présentd(L[−](1)) = 0.
– Ces termes n’interviennent pas dans le calcul ded(b) = 0.
– Ce n’est plus le cas en poids 6.
Poids6
On a par exemple :
d(L[010111]) =L[01]·L[0111]+ (L[00111]−L[00111](1))·L[1]
(L[01011]−L[01011](1))·L[1]
+3L[0111]·L[01](1)+2L[011]·L[011](1).
Le terme end(−L[01011](1)·L[1]) =L[01](1)·L[011](1)·L[1]
vient compenser les termes similaires provenant de
d(L[0111]·L[01](1)) et d(L[011]·L[011](1)).
Observations : les combinaisons linéairesb se composent : – d’une “partie principale” en noir ;
– d’une correction “géométrique et combinatoire” en rougelors de la multiplication parL[1];
– d’un “terme correctif” enbleucorrespondant à “une propagation”.
cadre combinatoire
– La partie principale est :
– duale aux crochets de Lyndon dans Lie(X0, X1), l’algèbre de Lie libre ; – codée par des arbres trivalent avecdLie dual au crochet de Lie.
– Les termes correctifs sont liés à une autre différentielledcysur lesmêmesarbres.
3 Combinatoire : crochets de Lyndon, arbres et diffé-rentielle
3.1 Arbres et algèbre de Lie
Définition 3.1. On noteTt leQ-espace vectoriel engendré par : – les arbres trivalents enracinés
– aux feuilles décorées par 0 et 1.
On pose
Tt,r=T/
T1
T2T3
=−
T1
T3T2
.
On munitTt,r de la loi interne définie par
•
T1 T2
•
T3 T4
=
•
T1T2T3T4
.
Remarque 3.2. La relation correspond au crochet de Lie : Tt,r⊗ Tt,r−→ Tt,r T1⊗T27−→[T1;T2].
– est antisymétrique – maisne vérifie pasJacobi.
Lemme 3.3. On a :Tt,r/identité de Jacobi'Lie(X0, X1).
Définition 3.4. – Un mot de Lyndon enX0 etX1est tel que W =U·V U, V 6=∅ ⇒ W <lexi.V.
– SoitW un mot de Lyndon. On définit par récurrence [W] = [[W1],[W2]]∈Lie(X0, X1) avec
W =W1·W2
W2minimal.
Propriété des crochets de Lyndon
– L’écriture [W] = [[W1],[W2]] avecW1< W2est unique.
– Les crochets de Lyndon [W] forment une base de Lie(X0, X1).
– Les ([W1]∧[W2])W1<W2 forment une base de Lie(X0, X1)∧2. – Le crochet de Lie [ ; ] s’écrit dans ces bases :
[[W1],[W2]] =X
W
αW1,W2,W[W].
3.2 Arbres duaux des crochets de Lyndon
On a alors un ordre total<surT et une baseTdeTt,r : T=
(
T tel que
T1T2
sous arbre deT ⇒T1< T2
)
Dualité
– On identifieTt,r à son dual via la baseT.
– On obtient coLie(X0, X1) comme sous espace deTt,r. – On a (T[W])W la base duale des crochets de Lyndon ([W])W. – On a une différentielle duale du crochet :
dLie: coLie(X0, X1)−→coLie(X0, X1)∧2, dLie( •
T1T2
) = •
T1
∧ •
T2
.
Proposition 3.5. On a par dualité :dLie(T[W]) = X
W1<W2
αW1,W2,WT[W1]∧T[W2].
On peut de plus construire lesTW par récurrence :
T[W]= X
W1<W2
αW1,W2,WT[W1] T[W2].
Exemples
3.3 Une autre différentielle sur les arbres
Une autre différentielle sur les arbres Arbres et cycles
– Dans [GGL05], Gangl, Goncharov et Levin introduisent une différentielle dcy sur des arbres.
– La différentielledcy reflète la différentielle dansNSpec(Q).
Définition 3.6. Uneorientationωd’un arbreT est une numérotation des arrêtes.
Les arbres orientés de [GGL05]
– On poseVt leQ-espace vectoriel engendré par les forêts d’arbresT – orientés,
– à la racine décorée :t, 0 ou 1 – aux feuilles décorées par 0 ou 1 – L’union disjointe induit un produit noté·
L’algèbreTdec,or
On noteTdec,or l’algèbre quotient deVt par les relations : (T, σ(ω)) =ε(σ)(T, ω),
T1T2
0 = 0 et 1
0
= 0.
dcy : Contraction d’arêtes
Soiteune arête d’un arbreT. La contractionT /edeT àeest :
– Sieest interne : on contracte simplement.
– On a une orientation induite surT /e.
Définition 3.7. La différentielledcyest définie par : dcy(T, ω) =X
e∈T
(T /e, ie(ω)) et la règle de Leibniz.
Proposition 3.8. Tdec,or muni dedcy est une DGA.
Une autre différentielle sur les arbres
Proposition 3.9 (Soud.). Soit W un mot de Lyndon. On note encore T[W] son image dansTdec,or (tdécore la racine). On a
dcy(T[W]) = X
Idée de la preuve (par récurrence). – Comme d2Lie = 0, les arêtes internes ne contri-buent pas.
– Les termes enT[W2](1) viennent des feuilles décorées par 1.
– La décomposition de crochets dans la base de Lyndon montrent que l’on a exacte-ment des termes enT[W1]·T[W2](1).
Une autre différentielle sur les arbres Exemples
Une autre différentielle sur les arbres Un exemple en poids 5:T[01011]
4.1 Des arbres aux cycles : une première approche
Observation
– Le système (ED-T) redonne les exemples formels précédents (T[W];L[W]).
– On a donc trouvé un cadre combinatoire.
Passer des arbres aux cycles
Dans [GGL05], Gangl, Goncharov et Levin associent un cycle à un arbre de la façon suivante :
– À chaque arête correspond un facteur1den.
– Les sommets internes sont décorés par des paramètresxi. –
Les cycles obtenusne sont pasadmissibles.
Cependant :
– Considérer le “système différentiel” correspondant à (ED-T) donne d’autres cycles.
– Au départ notre problème est une construction inductive.
Système “différentiel”
On considère dansNX le système “différentiel” suivant : d(L[W]) = X
Question
Peut on construire les cyclesL[W] satisfaisant (ED-L) ? Remarque
– Il est essentiel d’avoir des cycles définis surA1.
– En particulier les cycles doivent être admissibles pourt= 1.
– Les cycles restreints àt= 1 correspondent aux MZV.
4.2 Cas de L
[011]: problème d’admissibilité en t = 1
Le système (ED-L) :d(L[011]) = (L[01]−L[01](1))·L[1]
Le pull-back par la multiplication de (L[01]−L[01](1))·L[1] donne L[011]= [t; 1− t
x2
,1−x2
x1
, x1,1−x1,1−x2]
+ [t; 1− t x2
,1−x2,1− 1 x1
, x1,1−x1].
Remarque 4.1. – Le cycleL[011] est bien admissible surX=P1\ {0,1,∞}.
– Le second terme de la somme n’apparaît pas en ne considérant que l’arbre.
Problème
– Il ne s’étend pas surA1. Il n’est pas admissible ent= 1.
– On ne peut donc pas par la suite définirL[011](1).
– Exemple :
d(L[00111]) =L[0]·L[0111]+ (L[0011]−L[0011](1))·L[1]
+L[01]·L[011](1)+L[011]∧L[01](1).
Stratégie : modifier “l’équation différentielle”
– Il faut que le facteur devantL[1] soit vide àt= 1.
– On remplaceL[01]−L[01](1) par
L1[01] tel que L1[01]|t=1=∅.
– On calcule le pull-back deL1[01]·L[1]pour obtenirL[011]. Concrètement
Comme x−1x−t = (1−xt)(1−x1)−1, on utilise une formule de multiplication pour obtenir L1[01]= [t;x1−t
x1−1, x1,1−x1].
On a ainsi
L[011]= [t; 1− t
x2,x1−x2
x1−1, x1,1−x1,1−x2] Remarque
– Il faut modifier le système (ED-L).
– Les deux cyclesL[011] etL[011] donnent le même élément dans H0(B(NX))
4.3 Cycles admissibles pour “t = 1”
Idée
On remplace le système d’équation (ED-L) par deux systèmes d’équations (ED-L) et (ED-L1) donnant respectivement des cycles vides ent= 0 et ent= 1.
Définition 4.2. À partir des coefficients de (ED-L) αW1,W2,βW1,W2 etβW2,W1 on pose pourW16W2:
aW1,W2,W =αW1,W2,W +βW1,W2,W−βW2,W1,W bW1,W2,W =−βW1,W2,W
bW2,W1,W =−βW2,W1,W. et pour 0< W1< W2
a0W1,W2,W =−aW1,W2,W b0W
1,W2,W =aW1,W2,W +bW1,W2,W b0W
2,W1,W =−aW1,W2,W +bW2,W1,W
a00,W2=a0,W2 etb0W1,W1,W =bW1,W1,W
Remarque
Pour obtenir lesaW1,W2,W,bW1,W2,W etbW2,W1,W : - partir de (ED-L)
- remplacer lesL[W2](1) par−(L[W2]−L[W2](1)) +L[W2].
Systèmes d’équations(ED-L)et(ED-L1)
On considère pour tout mot de LyndonW de longueur>2.
d(L[W]) = X
W1<W2
aW1,W2,WL[W1]· L[W2]
+ X
W16W2
bW1,W2,WL[W1]· L1[W
2]
+ X
W1<W2
bW2,W1,WL[W2]· L1[W
1]. (ED-L) et
d(L1[W]) = X
W1<W2
a0W1,W2,WL1[W
1]· L1[W
2]
+ X
W16W2
b0W1,W2,WL[W1]· L1[W
2]
+ X
W1<W2
b0W2,W1,WL[W2]· L1[W
1] (ED-L1)
Cycle admissible pour t= 1 On poseL[0]=L[0]etL[1]=L[0].
Théorème 4.3 (Soud.). Pour chaque mot W de longueurp>2 il existe un cycleL[W]
(resp. L1[w]) dansNX1(p)tel que :
– L[W] (resp. L1[W]) s’étend en un cycle dansN1
A1(p).
– L[W]|t=0=∅(resp.L1[W]|t=1=∅).
– L[W] (resp. L1[W]) satisfait (ED-L)(resp.(ED-L1)).
Idée de la preuve
Par induction. On note A0 (resp.A, B) le membre de droite de (ED-T) (resp. (ED-L), (ED-L1)).
– Commedcy(A0) = 0 on montre qued(A) =d(B) = 0
– en utilisant queL[W0]|t=0=L1[W0]|t=1=∅, on montre quedA1(A) =dA1(B) = 0 et queA|t=0=B|t=1=∅.
– On construit alorsL[W]=µ∗(A) via le pull-back par la multiplicationµ:X×1−→
X.
– On construitL1[W]=ν∗(B) via le pull-back par la multiplication tordue part7→1−t, ν:X×1−→X.
Exemples de cycles paramétrés en poids4 : première combinaison linéaire On a
d(L[0011]) =L[0]· L[011]+L1[001]· L[1]− L[01]· L1[01]
On obtient
L[0011]= [t; 1− t x3
, x3,1−x3
x2
,x1−x2
x1−1, x1,1−x1,1−x2] [t; 1− t
x3
,x3−x2
x3−1 , x2,1−x2
x1
, x1,1−x1,1−x3]
−[t; 1− t
x3,1−x3
x2, x2,1−x2,x1−x3
x1−1, x1,1−x1]
Différence entre(ED-L)et (ED-L1)en poids5
d(L[00101]) =L[001]· L[01]+L[1]L1[0001] (ED-L) et
d(L1[00101]) =−L1[001]· L1[01]+L[001]· L1[01]− L[01]· L1[001]
+L[1]· L1[0001] (ED-L1) La différence entred(L[00101]) etd(L1[00101]) intervient de façon cruciale en poids 6.
Représentation combinatoire : arbres colorés
– arête colororées et la relation : •
···
1
= 0.
– à une arête
a b
correspond a−b a−1 – correspond àµ∗et àν∗ – Exemples :
L[01];
t
0 1
,L1[01];
t
0 1
,L1[001] ;
t
0 0 1
,L[011] ;
t
0 1 1
L[0011];
t
0 0 1 1
+
t
0 0 1 1
−
t
0 1 0 1
5 Cycles et construction bar
5.1 Cycles et constrcution bar
Note :B(NX)⊂ ⊕nNX⊗nmunit de :x,∆, D.
On rappelle queMX'H0(B(NX))+/produitx Objectif initial :
– Décrire le 1-modèle minimal deNX.
– C’est à dire : donner une base deMX (relativement àMSpec(Q)).
;En explicitant la construction inductive du 1-modèle minimal, on a obtenu les cycles L[W] (etL1[W]).
;Construire les éléments correspondants dans H0(B(NX)).
Remarque
MX est un quotient : moduloD(B−1(NX)) et modulo produits.
Exemples en poids2
LB[01]= [L[01]]−[L[0]|L[1]]∈ NX⊕ NX⊗2 L1,B[01]= [L1[01]]−[L[0]|L[1]] On a
L1[01]=L[01]− L[01](1) +d(C[01]), avecC[01]∈ NX0. Comme [C[01]]∈B−1, on en déduit que
L1,B[01]=LB[01]− LB[01](1) ∈ MX
Exemple en poids4
LB[0011]=[L[0011]] NX⊗1
−[L1[001]|L[1]]−[L[0]|L[011]] + [L[01]|L1[01]] NX⊗2
−[L[01]|L[0]|L[1]]−[L[0]|L[1]|L1[01]] NX⊗3 + [L[0]|L[1]|L[0]|L[1]] + [L[0]|L[0]|L[1]|L[1]] NX⊗4
Remarques
– moduloD(B−1);modulo termes en : – [· · · |d(C)| · · ·] avecC∈ NX0
– certains produits [· · · |L[W]·d(C)| · · ·]
– modulo produitx;questions d’ordre dans [a1| · · · |an].
Proposition 5.1. Pour tout mot de LyndonW de poids >2, on a dansMX : L1,B[W]=LB[W]− LB[W](1)
Le coproduit sur H0(B(NX)) induit une différentielle surMX.
Théorème 5.2 (Soud.). DansMX, les élémentsLB[W] satisfont l’équation (ED-T): dM(LB[W]) = X
W1<W2
αW1,W2,WLB[W
1]· LB[W
2]
+ X
W1<W2
βW1,W2,WLB[W
1]· LB[W
2](1)−βW2,W1,WLB[W
2]· LB[W
1](1)
Remarques
– dM correspond au produit motivique de Goncharov (modulo produit).
– De façon équivalente,dM est dual du crochet de Ihara (ou crochet de Poisson).