Fonctions transcendantes

Fonctions transcendantes

lundi 26, mardi 27, mercredi 28 novembre, lundi 3, mardi 4, mercredi 5, jeudi 6 décembre 2012

Table des matières

1 Introduction 1

2 Exponentielles, logarithmes, puissances, racines 2

2.1 Exponentielle complexe . . . 2

2.2 Exponentielle & logarithmes réels . . . 3

2.3 Puissances & racines entières . . . 6

2.4 Le nombre et les racines de l’unité . . . 7

2.5 Logarithme et argument complexes . . . 8

2.6 Puissances complexes (dont réelles) . . . 11

2.7 Croissances comparées . . . 13

3 Trigonométrie 13 3.1 Fonctions hyperboliques . . . 14

3.2 Fonctions circulaires . . . 16

1 Introduction

Les deux opérations fondamentales de l’algèbre (addition et multiplication) engendrent toute une classe de fonctions d’arguments complexes, à l’instar de Id, 3 Id² iId 5, Id¹⁸ 1, ^a_b 7!p

2a³ b² ab+eⁱ³a⁴²b⁵, (u; v; w)7!(cos 1)uv²w³, appelées fonctions polynomiales. Sans l’addition, on obtient les fonctions mo- nomiales,commet7!t¹⁸,a7!p

5a, ou( ; )7!5 ^{2 42}). Un polynôme est ainsi une somme demonômes.

Lorsque l’on s’amuse à mettre dans un polynôme des arguments en exposant, à l’instar de x 7! 2^x ou t 7!t^t, l’exposant peut alors dépasser tout degré …xé, ce qui est une des acceptions de la transcendance. C’est pourquoi les fonctions rencontrées dans ce cours, toutes fondées sur l’exponentiellec7!e^c, seront quali…ées de transcendantes.

Quelques rappels fonctionnels.

Si P est une partie deC, une applicationP ^f!Cest dite paire si 8p2P; p2P 8t2R; f( t) =f(t) . Si P est une partie deC, une applicationP ^f!Cest dite impaire si 8p2P; p2P

8t2R; f( t) = f(t) . Une injectionf :A ,!Bpossède une réciproquef ¹: Imf !Atelle que 8a2A,f ¹(f(a)) =a

8b2Imf; f f ¹(b) =b . Une application strictement monotone est injective et sa réciproque est monotone de même sens.

Si f est une application strictement monotone dérivable, alors f ¹ est dérivable en les points où f⁰ ne s’annule pas et on a en un tel pointf ¹(t)

@

@tf ¹(t) = 1 f⁰(f ¹(t)).

2 Exponentielles, logarithmes, puissances, racines

2.1 Exponentielle complexe

Caractère transcendant de l’exponentielle.

Si l’exponentielle était un polynômeanIdⁿ+an 1Id^{n 1}+ +a1Id +a0(où lesaisont des complexes avec an 6= 0) dériver donnerait nanId^{n 1}+ +a1 = exp⁰ = exp = anIdⁿ+ +a0, d’où en divisant par Idⁿ l’égalité ^na_Idⁿ + ^{(n 1)a}_Id2^{n 1} + +_Id^2an²1 +_Id^a1n =a_n+^an_Id¹ + _Id^a0n et un passage à la limite en1 donnerait 0 =an, ce qui est absurde (on a supposéan6= 0).

Osons alors écrire l’exponentielle sous forme d’un polynôme "in…ni", mettonsexp =a0+a1Id +a2Id²+ . On a envie d’écrireexp⁰=a1+ 2a2Id +3a3Id²+ puis d’identi…er les coe¢ cients, d’où un système in…ni

8>

><

>>

:

a1=a0

2a₂=a₁

3a₃=a₂ . Puisquea0= exp 0 = 1, on obtient 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

a₀= 1 a₁= 1 a₂= ¹₂ a₃=_{2 3}¹ a₄=_{2 3:4}¹

,

d’où 8n2N; an = _n!¹ (oùn! := 1 2 n se lit "factoriellen" (attention à 0! = 1)). Cette heuristique¹ motive la dé…nition suivante.

Dé…nition. Soit c un complexe. On appelle exponentiellede c le complexe

e^c:= 1 +c+c² 2 +c³

3!+c⁴

4!+ = lim

N!1

XN n=0

cⁿ n!. L’applicationexponentielle est l’application exp : C ! C

a 7 ! e^a . Théorème (admis).

La dé…nition précédente fait sens pour tout complexe c.

L’exponentielle est un morphisme de (C;+) sur (C ; ), au sens où 8a2C; 8b2C; e^a+b=e^ae^b,

8c2C; e^c6= 0, 8"2C ; 9 2C; e =".

L’exponentielle est dérivable en tout complexe et exp⁰ = exp. MNÉMO (pour la dérivée). Pour c2C, on a envie d’écrire²

exp⁰c = @e^c

@c

= @

@c 1 +c+c² 2 +c³

3! +c⁴ 4! +

= 0 + 1 +2c 2 +3c²

3! +4c³ 4! +

= 1 +c+c² 2!+c³

3!+

= e^c.

1Art de trouver, de découvrir, souvent opposé à un exposé doctrinal – bien que ces deux aspects soient complémentaires.

2Malgré son aspect convainquant, ce qui suit n’est pas une démonstration : il faudrait pour cela d’une part donner du sens à la somme in…nie et d’autre part justi…er que la dérivation est "in…niment" additive, ce qui ne sera pas fait dans ce cours.

Corollaire. On a les identités

e⁰= 1, 8c2C; e ^c= 1

e^c, 8a2C; 8b2C; e^{a b}=e^a e^b, 8c2C; e^c=e^c, 8 2R; eⁱ = 1, 8c2C; 8k2Z; (e^c)^k =e^kc,

8c2C; je^cj=e^Rec. Démonstration.

On spécialise l’égalité8a2C; 8b2C; e^a+b=e^ae^b selon a 0

b 0 , ce qui donnee⁰⁺⁰=e⁰e⁰,i. e.e⁰= e^{0 2}, i. e.e⁰2 f0;1g; or l’exponentielle évite0, donc il ne reste quee⁰= 1.

Soitc2C. On spécialise l’égalitée^a+b =e^ae^bselon a c

b c , ce qui donnee^{c c}=e^ce ^c,i. e.1 =e^ce ^c, i. e.e ^c=_e¹c.

Soientaet bdansC. On ae^{a b}=e^{a+( b)}=e^ae ^{b deuxièm e}=

p oint e^a_e¹b = ^e_e^ab. Soitc2C: on a

e^c = 1 +c+c² 2 +c³

3! +c⁴ 4! +

= 1 +c+c² 2 +c³

3! +c⁴

4! + (en admettant que le conjugué d’une somme "in…nie"

soit la somme (in…nie) des conjugués de ses termes)

= 1 +c+c² 2 +c³

3! +c⁴ 4! +

= e^c.

Soit 2R. On a e^{i 2}=eⁱ eⁱ =eⁱ e^{i 2}=^Reⁱ e ⁱ =e^{i i} =e⁰= 1.

Soit de plusk2Z. Sikest positif, on a(e^c)^k =e| {z }^ce^c e^c

kfacteurs

=e

kt e r m e s

z }| {

c+c+ +c =e^kc; on en déduit lorsque k est négatif

(e^c)^{k k}= (e^{0 c}) ^{jkjdeuxièm e}=

p oint

1 (e^c)^jkj

troisièm e p oint=

1 e^jkjc

deuxièm e

p oint= e ^{jkjc k}=⁰e^kc.

Soitc2C. Puisque e^c =e^Rec+iImc =e^Rece^iImc, prendre le module donneje^cj= e|{z}^Rec

>0

e^iImc

| {z }

=1

=e^Rec.

2.2 Exponentielle & logarithmes réels

Soit a un réel. Vu la dé…nition de e^a = limN!1

XN n=0

aⁿ n!

| {z }

2R

comme une limite de réels, il raisonnable de

croire que e^a restera dans R, ce que l’on admettra³. On peut alors a¢ rmer que exp stabilise R (au sens où 8a2R; expa2R). Par ailleurs, puisqueexptransforme sommes en produits, on peut écrire

8a2R; exp⁰a=e^a=e^2a2 = e^{a2 2}>0,

3Lorsqu’une partie deR est stable par passage à la limite, on dira qu’elle estfermée. On vient donc d’admettre queR est fermé.

ce qui montre que exp croît strictement surR. L’exponentielle induit donc une bijection deR sur son image ]lim ₁exp;lim₁exp[.

Dé…nition. On appelle logarithme⁴ (naturelounépérien⁵) la réciproque de exp_jR. On la note⁶ ln :=h

exp_jRi 1

.

Propriétés.

La fonction ln est un morphisme strictement croissant de R₊; sur (R;+), au sens où : ln :R₊ !R,

8a >0; 8b >0; a < b=)lna <lnb, 8a >0; 8b >0; ln (ab) = lna+ lnb,

8 2R; 9" >0; = ln".

On a les identités

ln 1 = 0, 8a >0; ln1

a = lna, 8a >0; 8b >0; lna

b = lna lnb, 8a >0; 8k2Z; lna^k =klna.

Démonstration. Toutes ces propriétés découlent de celles de l’exponentielle.

L’ensemble but de lnest l’ensemble source de la fonctionexp_jRdont elle est la réciproque, à savoirR.

L’ensemble de dé…nition delnest l’image]lim ₁exp;lim₁exp[deexp_jR : montrons qu’elle vautR₊. En vertu de la dé…nition de exp, on peut écrire 8a 0; e^a = 1 +a+a²

2! +a³ 3! +

| {z }

0

1 +a, ce qui montre que exp Id +1sur R+, d’où en prenant la limite en1 l’égalitélim₁exp =1. Passant à l’inverse, on en déduit 0 = lim_1exp¹ = lim₁e ^Id= lim ₁e^Id.

L’exponentielle croît strictement surR, donc sa réciproqueln également.

Soienta >0etb >0. On ae^lna+lnb=e^lnae^lnb=ab=e^ln(ab), d’où (par injectivité deexp)lna+lnb= lnab.

Soit 2R. Posons":=e . Alorsln"= ln (exp ) =h

ln exp_jRi

( ) = Id_R( ) = . On a ln 1 = lne⁰= ln (exp (0)) = Id (0) = 0.

Soita >0. One ^lna= _eln¹a = ¹_a =e^ln1a, d’où (par injectivité deexp) lna= ln¹_a. Soienta >0 etb >0. On aln ^a_b = ln a¹_b = lna+ ln¹_b = lna lnb.

Soient a > 0 et k 2 Z. On a e^klna = e^{lna k} = (a)^k = a^k = e^ln(^ak), d’où (par injectivité de exp) klna= lna^k.

Exercice. Simpli…er poura >0 réel ln a⁴²

(1 +a) ¹⁸ = lnh

a⁴²(1 +a)¹⁸i

= ln a⁴² + ln (1 +a)¹⁸ = 42 lna+ 18 ln (a+ 1).

Dé…nition.

4Du greclogos(rapport) etarithmos (nombre). Lelogarithme désignait historiquement le rapport des vitesses parcourues par deux mobiles dont l’un avance à vitesse constante et l’autre à une vitesse proportionnelle à la vitesse lui restant à parcourir.

5du nom de son inventeur JohnNapier(francisé enNeper) qui publia ses recherches sur le logarithme en 1614 dans laMiri…ci logarithmorum canonis descriptio

6On trouvera la notationLogdans des ouvrages moins récents.

On appelle base des logarithmes népériensle nombre e:= exp 1.

Soit a >0 di¤ érent de 1. On appellelogarithme de base al’application lg_a := ln

lna =: log_a.

Les applications lg₂ et lg₁₀ s’appellent respectivement le logarithme binaireet le logarithme décimal.

Remarques.

La dernière propriété ci-dessus spécialisée selona es’écrit 8k2Z; lne^k =k.

Il convient également de remarquer que le logarithme de baseeest le logarithme naturel : lg_e= ln.

Propriétés. Soita >0.

L’application lg_a véri…e les mêmes propriétés que celle de lnénoncées ci-dessus (juste après la dé…nition de ln).

On a de plus

8k2Z; lg_aa^k =k.

(pour une démonstration, diviser parales identités connues⁷ pourln).

Exercice. Simpli…er lg₅4 lg¹

5

1 4 =ln 4

ln 5 ln¹₄ ln¹₅ =ln 4

ln 5

ln 4 ln 5 = ln 4

ln 5 ln 4 ln 5 = 0.

Application. Soit a2N. Exprimer le nombre de chi¤ res de aen fonction de a.

Il convient de préciser la base où s’écrit a. Appelons-la b (c’est un entier supérieur ou égal à 2). On peut donc écrire

a=c0+c1b¹+c2b²+ +cnbⁿ

oùndésigne le nombre (plus1) de chi¤res deaen baseb et où chaqueci est un entier dans[0; b[ aveccn6= 0.

En majorant tous les chi¤res parb 1, on peut majorer

a (b 1) + (b 1)b+ (b 1)b²+ + (b 1)bⁿ

= (b 1) 1 +b+b²+ +bⁿ

= b+b²+b³+ +bⁿ⁺¹

1 b b² bⁿ

= bⁿ⁺¹ 1

< bⁿ⁺¹,

d’où par stricte croissance des logarithmeslg_ba < n+ 1.

Par ailleurs, en minorant tous les chi¤res par0(à l’exception decn que l’on minore par1), on peut minorer a 0 + 0b+ 0b²+ + 0b^{n 1}+ 1bⁿ =bⁿ,

d’où (par croissance de lg_b)lg_ba n.

Finalement, on a obtenu l’encadrementn lg_ba < n+ 1, ce qui équivaut (par dé…nition de la partie entière) à n=blg_bac. On en conclut que le nombre de chi¤res deaécrit en baseb vaut

blg_bac+ 1.

7Fdans cette démonstration, on ne pourra pas réécrire ces identités en quanti…ant surapuisque ce dernier a été …xé avant la démonstration

2.3 Puissances & racines entières

Dé…nition. Soit n 1un entier et z un complexe. Uneracine n-ièmedez est un complexe rtel que rⁿ=z.

On regarde dans cette partie le cas où lezde la dé…nition ci-dessus est unréel.

Proposition / dé…nition (racines) (admise). Soitn2N .

1. La fonction Id ⁿ:= _Id¹n est dé…nie sur R et décroît strictement sur R₊ , (a) si nest pair, alors Id ⁿ est paire et croît sur R ;

(b) si nest impair, alors Id ⁿ est impaire et décroît sur R . 2. La fonction Idⁿ est dé…nie sur tout R;

(a) si nest impair, alors Idⁿ est impaire et croît strictement sur tout R; la réciproque de Idⁿ est notée R ! R

a 7 ! pⁿ

a et est appelée "racine n-ième" ;

(b) sinest pair, alorsIdⁿest paire, décroît strictement surR et croît strictement surR+; la réciproque de Idⁿ_jR+ est notée R₊ ! R₊

a 7 ! pⁿa et est appelée "racine n-ième".

[dessin : graphes de ¹

Id et ¹

Id²] [dessin :graphes deId³,Id⁵,p³

et p⁵

avecId = p¹ ] [dessin : graphes deId²,Id⁴,p

et p⁴

avecId]

À RETENIR : sirett sont deux réels POSITIFS et sin 1 est un entier, on a alors les équivalences r est la racinen-ième det()rⁿ=t.

En particulier, on a toujours

8a 0; 8n2N ; pⁿ

aⁿ=a= pⁿ aⁿ Illustrons cela en démontrant les propriétés suivantes.

Propriétés. Soient a 0 et b 0 des réels, soient p 0 et q 0 des entiers. On a les égalités suivantes :

pn

0 = 0; pn

1 = 1; p1

a=a;

(a^p)^q=a^pq= (a^q)^p; pp

ab=p^p ap^p

b; pq

a^p=p^q a^p; pq p_p

a= ^pqp

a=p^p p_q a.

Démonstration.

Puisque 0^a=0, la racinea-ième de0vaut0.

Puisque 1^a=1, la racinea-ième de1vaut1.

Puisque a¹=a, la racine1-ième deavauta.

On revient à la dé…nition d’un exposant entier :

(a^p)^q =

qfacteursa^p

z }| {

a^p a^p a^p

=

qcolonnes

z0 }| {

BB B@

a a ... a

1 CC CA

0 BB B@

a a ... a

1 CC CA

0 BB B@

a a ... a

1 CC CA

9>

>>

=

>>

>; plignes

= anombre de facteursadans le tableau ci-dessus

= a^pq.

On montrerait de même que (a^q)^p=a^qp, d’où le résultat puisque les exposantspq etqpsont égaux.

On veut montrer que la racinep-ième deabvaut p^p ap^p

b, ce qui revient à montrer que la puissancep-ième de ce dernier vautab. Or cela est immédiat : p^p

ap^p

b ^p= p^p a^pp^p

b^p=ab.

On veut montrer que la racineq-ième de a^p vaut p^q

a^p, ce qui revient à montrer que la puissance q-ième de ce dernier vauta^p. Or cela est aisé en utilisant les points précédents : p^q

a^{p q}= p^q

a^{q p}=a^p. On veut montrer que la racinepq-ième deavautp^q p_p

a, ce qui revient à montrer que la puissancepq-ième de ce dernier vauta. Or cela est aisé en utilisant les points précédents : p^q p_p

a

pq

= p^q p_p a

q p

= (p^p

a)^p=a.

Puisque pet qcommutent, on en déduit l’autre égalité souhaitée : p^q p_p a= ^pqp

a= ^qpp

a=p^p p_q a.

Application. On peut simpli…er p3

a⁴p a³

a ¹⁶ = a⁴³a³²

a ¹⁶ =a⁴³⁺³² ( ¹6) =a⁸⁺⁹⁺¹⁶ =a¹⁸⁶ =a³.

2.4 Le nombre et les racines de l’unité

Cette partie s’intéresse aux antécédents de 1 par l’exponentielle. En un certain sens, le nombre 2i les engendre tous – et ce fait peut être pris comme une dé…nition du nombre . Ce dernier permettra de décrire aisément les racines de l’unité.

Théorème (dé…nition de ) (admis). Il existe un unique réel >0 tel que 8t2R; e^it= 1 ()(t22 Z) .

Corollaire 1. Pour tout complexe c, on a l’équivalence

(e^c= 1)()(9k2Z; c= 2 ik). Démonstration. On écritc=a+ibavecaet bréels.

(= Soitk2Ztel quec= 2 ik. On a alors e^c=e^{2 ik}= 1par le théorème précédent.

=) Supposonse^c = 1. Alors1 =j1j=je^cj=e^Rec=e^a, d’oùa= 0; on en déduit1 =e^c =e^ib, d’où par le théorème précédentb22 Z.

Corollaire 2. On a les égalités

eⁱ = 1 et eⁱ² =i.

Démonstration.

Puisque le complexeeⁱ a pour carré e^{i 2}=e²ⁱ = 1, il vaut 1; s’il valait1, le théorème précédent nous donnerait un entierktel que i = 2ki , d’où1 = 2k, ce qui est impossible.

De la même façon, le complexe eⁱ² a pour carré e²ⁱ² = 1 (d’après ce qui précède), donc vaut i. Nous verrons plus loin comment trancher le signe (que nous admettons pour l’instant être+).

Corollaire 3 (racines de l’unité). Pour tout entier n 1, l’équation zⁿ= 1 (d’inconnue z) possède n solutions : les puissances de e²ⁿⁱ. Autrement dit, les racines n-ièmes de 1 sont les e^{2 ikn} pour k décrivant N\[0; n[.

En d’autres termes, on a les équivalences à c2Cet n2N …xés : cⁿ= 1 () 9k2N\[0; n[; c=e^{2 ikn}

() c est un sommet dun-gone régulier inscrit dans le cercle unité et dont1est l’un des sommets:

Démonstration. Soient n2N et c2C. On a les équivalences cⁿ = 1 () e^{Lnc n}= 1

() e^nLnc= 1 () nLnc22 iZ

() 9k2Z; nlnjcj+inArgc= 2 ik () 9k2Z; nlnjcj= 0

nArgc= 2 ik () 9k2Z; jcj= 1

Argc= 2 i^k_n () 9k2Z; c=e^{2 ikn}.

Corollaire (racines d’un complexe). Soit n 1un entier.

Si c est un complexe non nul, alors les racines n-ièmes de c sont les ₀! où dénote une racine n-ième de c et où parcourt l’ensemble des racines n-ièmes de 1.

Si r 0 et sont des réels, alors une racine n-ième de reⁱ est pⁿ reⁱⁿ. Démonstration.

Soientr 0 et deux réels. On a pⁿ reⁱⁿ

n

= pⁿ rⁿ eⁱⁿ

n

=reⁱ ,c. q. f. d..

Soientc2C et un complexe. En notantU_n l’ensemble des racinesn-ième de1, on a les équivalences est une racinen-ième dec

() ⁿ =c () ⁿ = ⁿ₀ ()

0 n

= 1 (on peut diviser par ₀ sinon 0 = 0ⁿ = ⁿ₀ =c6= 0) ()

0 2Un

() 2 0Un,c. q. f. d..

Exemple. Trouver les racines quatrièmes de i 1.

On commence par chercherune telle racine. Pour cela, on prend la racine quatrième du module et le quart de l’argument : i 1 = p

2eⁱ³⁴ = p⁸

2⁴ e^{i316 4} = p⁸

2e^{i316 4}. Puisque les racines quatrièmes de 1 sont les puissances dee²ⁱ⁴ =i, on en déduit que les racines cherchées sont lesp⁸

2eⁱ³¹⁶i^k pourk décrivantf0;1;2;3g, à savoir les complexes de modules p⁸

2et d’arguments respectifs³₁₆, ¹¹₁₆ , ¹⁹₁₆ = ¹³₁₆ et ²⁷₁₆ = ⁵₁₆. Observer que ces quatre racines forment un carré.

Plus généralement, sin 1 est un entier on retiendra que

les racines n-ième d’un complexe donné forment un n-gone régulier centré en 0.

2.5 Logarithme et argument complexes

Dé…nitions (logarithmes et arguments). Soit c un complexe.

On appelle logarithmede ctout complexe tel que c=e . On appelle argumentde c tout complexe tel que c=jcjeⁱ .

Le programme exige la maîtrise des arguments mais n’aborde pas les logarithmes complexes. Pourtant, le premier point qui suit montre que les deux objets sont intimement reliés.

Proposition.

Si c est un complexe non nul, alors est un argument de c ssi i est un logarithme de _j^c_cj. Tout complexe est argument de 0 et 0 n’a pas de logarithme.

Démonstration.

Soitc2C : on a les équivalences à 2C…xé argument dec ^dé…nition()

d’un argum entc=jcjeⁱ ()^c6=0 c

jcj =e^{i dé…nition}()

d’un logarithm ei logarithme de c jcj.

Soit un complexe : on aj0jeⁱ = 0eⁱ = 0, donc est un argument de0. Puisqueexpévite0, ce dernier ne peut avoir de logarithme.

Proposition / dé…nition (argument et logarithme principaux) (admise).

Tout complexe non nul cadmet un unique argument dans ] ; ], appeléargument principaldec et noté Argc.

Tout complexe non nul c admet un unique logarithme dont la partie imaginaire tombe dans ] ; ], appelé logarithme principalde c et noté Lnc.

Propriétés. Soit c un complexe non nul.

On a l’égalité

Lnc= lnjcj+iArgc.

Pour tout réel non nul t, on a

Lnt= lnt si t >0 lnjtj+i si t <0 .

Les arguments de c sont les Argc+ 2 kpour k décrivant Z.

Les logarithmes de c sont les Lnc+ 2 ikpour k décrivant Z.

Pour tous complexes aet bnon nuls, on a les égalités modulaires Argab = Arga+ Argbmodulo 2 Z,

Lnab = Lna+ Lnbmodulo 2 iZ.

F Chez les complexes, les logarithmes ne transforment produits en sommes SEULEMENT modulo 2 iZ (tout comme les arguments ne le font seulementmodulo 2 Z).

Démonstration.

Posons := lnjcj+iArgc. D’une part on a <Im , d’autre part one =e^lnjcj+iArgc =e^lnjcje^iArgc = jcje^iArgc =c, ce qui montre que est un logarithme decdont la partie imaginaire tombe dans] ; ]: d’après l’unicité dans la dé…nition ci-dessus, le complexe est le logarithme principalLnc.

Soit t un réel non nul. Son argument principal vaut 0 si t > 0 et vaut si t < 0, d’où le résultat en appliquant le point précédent.

Soit un complexe. On a les équivalences

argument dec()c=jcjeⁱ () jcje^iArgc=jcjeⁱ ()1 =e^{i( Argc)}() Argc22 Z() 2Argc+2 Z.

Soit un complexe. En écrivant =a+ibavecaet bréels, on a les équivalences

logarithme dec()c=e ()e^Lnc =e ()1 =e ^Lnc() Lnc22 iZ() 2Lnc+ 2 iZ.

D’après le deuxième point, il su¢ t de véri…er queArga+ Argbest un argument deab, ce qui est immédiat vu quee^i(Arga+Argb)=e^iArga+iArgb=e^iArgae^iArgb= _j^a_ajj^b_bj= _j^ab_abj.

D’après le troisième point, il su¢ t de véri…er queLna+ Lnbest un logarithme deab, ce qui est immédiat vu quee^Lna+Lnb=e^Lnae^Lnb=ab.

Convention. Sitdénote un réel strictement positif,lelogarithme detdésignera son logarithme naturel lnt, lequel vaut aussi son logarithme principalLntd’après ce qui précède.

Exemples. Déterminer les logarithmes principaux de 1 +i,ip

3 1et e ³ⁱ .

Vu le premier point, il est pertinent d’écrire ces complexes sont forme polaire, ce qui donne Ln (1 +i) = Ln p

2eⁱ⁴ = lnp 2 +i

4, Ln ip

3 1 = Ln 2e²³ⁱ = ln 2 +i2 3 , Lne ³ⁱ = Ln 1eⁱ = ln 1 +i =i .

F Attention à ne pas écrire Lne ³ⁱ = 3i , ce serait exactement aussi faux qu’écrireArge ³ⁱ = 3 (un argument principal doit rester dans ] ; ]).

BIG WARNING: lorsqueaet bdésignent des réels, on bien a les égalités lne^a=a

lnab= lna+ lnb .MAIS lorsque a et b dénotent des complexes, les égalités

( Lne^a =^? a

Lnab= Ln^? a+ Lnb ne sont vraies SEULEMENT modulo 2 iZ.

FFFOn prendra par conséquent garde à ne pas appliquer "le" logarithme sur des complexes.FFF Application 1. Résoudre l’équation e^{2 1}= 1 +ien l’inconnue 2C.

Soit 2C. Puisque1 +i=e^Ln(1+i)=e^{ln 22 +i4}, on a les équivalences est solution de l’équation proposée () e^{2 1}= 1 +i

() e^{2 1}=e^{ln 22 +i4} () 9k2Z;

2 1 = ln 2 2 +i

4 + 2 ik () 9k2Z; = 2 + ln 2 +i

2 + 4 ik.

L’ensemble des solutions est donc 2 + ln 2 +i₂ + 2 iZ.

Application 2. Résoudre l’équation 4 +e^{4 +6}=e^{2 +3+ln 2} en l’inconnue complexe . Soit 2C. En posantB:=e^{2 +3}, on a les équivalences

est solution de l’équation proposée () 4 + e^{2 +3 2}=e^{2 +3}e^{ln 2}

() 4 +B²= 2B () (B 1)²= 3 () B = 1 ip

3 () e^{2 +3} =e^Ln(^{1 ip3}) () 9k2Z; 2 + 3 = ln 2 i

6 + 2 ik () 9k2Z; =ln 2 3

2 i

12+ ik.

L’ensemble des solutions est donc ^{ln 2 3}₂ +i₁₂+ iZ [ ^{ln 2 3}2 i₁₂+ iZ .

À RETENIR Deux complexes ont même exponentielle ssi ils di¤ èrent d’un multiple entier de 2 i: 8a2C

8b2C ; e^a =e^b ()(9k2Z; a=b+ 2 ik).

2.6 Puissances complexes (dont réelles)

Dé…nition (puissances).

Soit z un complexe et a >0 un réel. On dé…nit un complexe (lu "a puissance z") par a^z:=e^zlna.

Sanity checks.

Lorsquez est entier, on a biene^zlna= e^{lna z}= (a)^z, ce qui est cohérent.

Lorsquea=e, on obtiente^zlna=e^zlne=e^z=a^z, ce qui est cohérent.

Remarque. Lorsque zest réel, le complexea^z reste dansR. Il est naturel d’étudier cette quantité vue comme fonction de la baseaou comme fonction de l’exposantz.

Graphes des fonctions R₊ ! R+

a 7 ! a^t selon le réelt :

[dessin : deux cast <0, le cast= 0, deux cas0< t <1, le cast= 1, deux cast >1]

On voit que, lorsquet 0, le graphe se prolonge "continûment" en0, ce qui donne envie d’écrire 0⁰= 1 et 8t >0; 0^t= 0.

On introduit pour cela une notation commode.

Notation (symbole de Kronecker). Pour tous symboles S et , on dé…nit un entier _S; ou ^S par

S = 0siS6=

1siS= (appelé unsymbole de Kronecker).

Convention: on pose pour tout réelt POSITIF

0^t:= ^t₀= 0 sit >0 1 sit= 0 .

Graphes des fonctions R ! R₊

t 7 ! a^t selon le réela >0 : [dessin : deux cas0< a <1, le casa= 1, deux casa >1]

Propriétés. Soient a >0 et b >0deux réels et z un complexe. On a les identités suivantes : a⁰= 1;

1^z= 1; a ^z= _a¹z; (ab)^z=a^zb^z;

a b

z= ^a_bz^z ;

Démonstration. On revient systématiquement à la dé…nition.

On a a⁰=e^{0 lna}=e⁰= 1.

On a 1^z=e^{zln 1}=e^z0=e⁰= 1.

On a a ^z=e^{( z) lna} =e ^(zlna)=_ez¹lna = _a¹z.

On a (ab)^z=e^zln(ab)=e^z(lna+lnb)=e^zlna+zlnb=e^zlnae^zlnb=a^zb^z. On a ^a_b ^z=e^zlnab =e^{z(lna lnb)}=e^zlnae ^zlnb =a^z_b¹z = ^a_b^zz.

Propriétés (puissances réelles). Soit a >0 un réel. On a les égalités (a^t)^u=a^tu= (a^u)^tpour tous réels t et u;

ln (a^t) =tlnapour tout réel t; aⁿ¹ = pⁿ

apour tout entier n; a^pq =p^q

a^p=p^qa^p pour tous entiers p2Zet q2N . Démonstration

Soient uet v deux réels. Puisque a^u =e^ulna est réel, on peut considérer(a^u)^v, lequel vaute^vlneulna = e^vulna=a^vu=a^uv.

Soittréel : on aln (a^t) = ln e^{tlna ln exp=Id}= tlna.

Découle du point suivant en spécialisant p 1

q n .

On a a^pq

q

=a^pqq =a^p, ce qui montre quea^pq est une racineq-ième dea^p; puisquea^pq est par ailleurs un réel positif, c’estla racineq-ième p^q

a^p.

Exercice. Montrer que exp (ln 1 ln 2 + ln 3 ln 4 + ln 18) = ₂18^18!9!². On commence par exprimer la parenthèse comme un seul logarithme :

ln 1 ln 2 + ln 3 ln 4 + ln 18

= ln 1 + ln 3 + ln 5 + + ln 17 ln 2 ln 4 ln 18

= ln (3 5 17) ln (2 4 18)

= ln3 5 17 2 4 18.

Il reste alors à transformer la fraction en complétant la factorielle au numérateur :

3 5 17

2 4 18 = 2 3 4 5 17 18

(2 4 18) (2 4 18).

Le numérateur vaut 18! et le dénominateur vaut le carré de (2 1) (2 2) (2 3) (2 9) = 2⁹(1 2 9) = 2⁹ 9!, ce qui permet de conclure :

3 5 17

2 4 18 = 18!

(2⁹9!)² = 18!

2¹⁸ 9!²

Exercice. Résoudre l’équation 2^x2+1= 3^{x2 1} en l’inconnue réelle x.

Soitx2R. On a les équivalences

xest solution () 2^x2+1= 3^{x2 1}

ln injective

() ln 2^x2+1 = ln 3^{x2 1} () x²+ 1 ln 2 = x² 1 ln 3 () ln 2 + ln 3 =x²(ln 3 ln 2) () x=

rln 3 + ln 2 ln 3 ln 2 =

s ln 6 ln ³₂ . Exercice. Résoudre l’équation 4^a+ 3 16^a= 7 en l’inconnue réelle a.

Soita2R. Puisque16^a= 4^{2 a}= (4^a)², on a les équivalences aest solution () 4^a+ 3 16^a= 7

() 3 (4^a)²+ 4^a 7 = 0

() 4^a est racine du trinôme3X³+ 4X 7 = (3X+ 7) (X 1) () 4^a= 1ou4^a= 7

3

(la seconde égalité est absurde car une puissance est toujours positive) () 4^a= 1

() aln 4 = ln 1 () a= 0.

2.7 Croissances comparées

On sait facilement comparer la "croissance" des fonctions polynomiales vers l’in…ni : c’est le polynôme de plus haut degré qui croîtra le plus vite, au sens où

8 2R 8 2R ;t

t

t!1

! 8<

:

0 si <

1 si = 1si >

.

L’introduction des fonctions transcendantes permet de créer de nouveaux ordres de "croissance".

Proposition (croissances comparées). Soient > 0 et > 0 deux réels On a les tendances⁸ suivantes :

(lnt) t

t!1

! 0 t (e^t)

t!1

! 0 u (lnu) ^u!0

+

! 0.

On pourra retenir les deux premières tendances de cette proposition sous la forme logarithmes<< puissances<<exponentielles.

Démonstration. Soitt >0 un réel.

Montrons tout d’abord la tendance _e^tt

t!1

! 0. Puisquee^t= 1 +t+^t₂² + où tous les termes sont positifs, on a la comparaison e^{t t}₂², d’où l’on tire _e^tt

2 t

t!1

! 0.

Vu l’égalité ^t

(e^t) = ^t

e ^t

, il alors est judicieux de composer les limites : on a les implications t^t!1! 1

e

!1! 0 =) t

e t

t!1

! 0 et

t e ^t t!1

! 0

!0

! 0

=)

t e ^t t!1

! 0, ce qui permet de conclure _(e^tt) t!1

! 0.

On en déduit la tendance ^(lnt)_t ^t!1! 0 en composant les limites lnt^t!1! 1 (^e )

!1! 0 =) lnt

elnt

t!1

! 0.

Soit à présent u > 0 un réel. En écrivant ulnu= ^ln1 ^u1 u

, on peut composer les limites

1 u u!0⁺

! 1

ln !1

! 0

=)

ln 1 u 1 u

u!0⁺

! 0, d’où la tendanceu(lnu)^u!0

+

! 0.

3 Trigonométrie

L’exponentielle complexe permet de dé…nir convenablement les fonctions trigonométriques usuelles, lesquelles permettent de paramétrer les cercles et les branches d’hyperboles⁹. Dans cette démarche, et contrairement à l’intuition, il est plus naturel de commencer par les fonctions hyperboliques.

Avant cela, nous allons montrer que toute fonction s’écrit d’une unique manière comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire¹⁰.

Propriété. Une fonction paire et impaire est nulle.

Démonstration. Soitf :A !C une telle fonction. Soita2A: le complexef( a)vaut d’une part f(a) par parité de f, d’autre part f(a) par imparité de f, d’où l’égalité f(a) = f(a), i. e. f(a) = 0, c. q. f. d..

8le fait detendre vers

9qui seront traitées dans le prochain cours sur les coniques

1 0les techniques mises en œuvre nous resservirons plus tard en algèbre linéaire

Dé…nition. Soit A une partie de C symétrique, au sens où 8a2A; a2A, et soit f :A !C.

On appelle partie pairede f l’application A ! C a 7 ! ^f(a)+f(₂ ^a) . On appelle partie impairedef l’application A ! C

a 7 ! ^f(a) ₂^{f( a)} . Proposition. Soit f :A !C où Aest une partie symétrique de C.

La partie paire f^\(resp. impaire f^]) de f est une application paire (resp. impaire).

On a l’égalité f =f^\+f^].

Si f s’écrit p+ioù pest une application paire

iest une application impaire , alors ^p_i = ^f_f^\] . Démonstration.

Tout d’abord, les ensembles source de f^\ etf^] sont bien symétriques. Soit ensuitea2A : on a d’une part,f^\( a) = f( a) +f( ( a))

2 =f( a) +f(a)

2 = f(a) +f( a)

2 =f^\(a), d’autre part,f^]( a) = f( a) f( ( a))

2 =f( a) f(a)

2 = f(a) f( a)

2 = f^](a). Soita2A: on a f^\+f^] (a) =f^\(a) +f^](a) =^f(a)+f(₂ ^a)+^f(a) ₂^{f( a)} =f(a).

Supposons f = p+i avec p paire et i impaire. Puisque f = f^\+f^], on en déduit p f^\ = f^] i; or l’application de droite est paire (comme somme de fonctions paires) et l’application de gauche est impaire (comme somme de fonctions impaires), donc ces deux applications sont nulles (d’après la propriété ci-dessus), ce qui s’écrit p f^\= 0

f^] i= 0 ,i. e. ^p_i = ^f_f^\] .

3.1 Fonctions hyperboliques

Dé…nition. Les parties paire et impaire de l’exponentielle sont appelées respectivementcosinus hyper- bolique(noté coshouch) etsinus hyperbolique(noté sinhou sh). Lestangente hyperbolique(notée tanh ou th) et cotangente hyperbolique (notée coth) sont dé…nies respectivement par les fonctions th := ^sh_ch et coth := ^cosh_sinh.

On pourra donc écrire

ch : C ! C

c 7 ! ^ec+e2 ^c

, sh : C ! C

c 7 ! ^ec 2^{e c}

et exp = ch + sh. Propriétés.

chest paire, sh est impaire,th est impaire.

On a les égalités suivantes des dérivées :

ch⁰= sh, sh⁰= ch et th⁰= 1 th²= 1 ch². On a l’identité

ch² sh²= 1.

MNÉMO : on fera le parallèle avec les formules cos⁰ = sin, sin⁰ = cos, tan² = 1 + tan² = _cos¹2 et cos²+ sin²= 1.

Démonstration.

chest une partie paire etshest une partie impaire. Leur quotientth est donc impair.

Soitc2C: on a

ch⁰c = @

@c

e^c+e ^c

2 = e^c e ^c

2 = shc;

sh⁰c = @

@c

e^c e ^c

2 = e^c+e ^c

2 = shc;

d’où l’on tire th⁰ = ^sh_ch ⁰ = ^sh0ch_ch2^{sh ch0} = ^ch2_ch2^sh2 = 1 th². Le point suivant montre que ce dernier quotient vaut aussi _ch¹2.

Soitc2C. On a

ch² sh² (c) = ch²c sh²c

= (chc shc) (chc+ shc)

= e^c+e ^c 2

e^c e ^c 2

e^c+e ^c

2 +e^c e ^c 2

= e ^c (e^c)

= e ^c+c

= 1.

On s’intéresse à présent aux restrictions réelles dech,shetth(observer quethest dé…nie sur toutRpuisque son dénominateur chest toujours strictement positif comme somme d’exponentielles).

Lemme. On a la comparaison

8a >0; a+1

a 2

Démonstration. Soita >0. La comparaison ci-dessus se réécrit p a p¹

a 2

0, ce qui est vrai.

On en déduit, si l’on …xe un réelt, quecht= ^e

t+_et¹ 2

2

2 = 1. En particulier, on ash⁰ = ch 1>0, doncsh croît strictement surR, donc y est injective, donc induit une bijection deRsur son image. Or, lorsquet! 1, on a e^t ! 1

e ^t !0 , doncsht ! 1, d’où (par imparité)Im sh =R. La réciproque desh est donc dé…nie sur tout R; on l’appelle argument sinus hyperbolique et on la noteargsh.

De même, on ach⁰ = sh>sh (0) = 0surR₊, doncchcroît strictement surR₊et induit une bijection deR₊ sur son image. Puisque ch (0) = 1

cht^t!1! 1 , sa réciproque est dé…nie sur [1;1[; on l’appelle argument cosinus hyperbolique et on la noteargch.

En…n, sitest un réel, on observera

d’une part tht = sht cht =

e^t e ^t 2 e^t+e ^t

2

= e^t e ^t

e^t+e ^t =e^2t 1 e^2t+ 1 = 1

2]0;2[

z }| { 2 e^2t

|{z}

>0

+ 1 2] 1;1[, d’autre part th⁰t = 1 th²t2]0;1], donc th croît strictement surR.

Puisque lim ₁th = 1

lim₁th = 1 , on en déduit que la réciproque dethest dé…nie sur] 1;1[; on l’appelleargument tangente hyperbolique et on la noteargth.

[graphes dech;sh;argch;argsh]

[graphes deth;argth]

MNÉMO : le graphe dechest unechaînette suspendue par deux points de même altitude.

On retiendra une ressemblance entre les graphes d’une part deatnet ₂th, d’autre part detanetargth ₂Id . Proposition. On a les égalités des dérivées suivantes :

8c 1; argch⁰c = 1 pc² 1, 8s2R; argsh⁰s = 1

p1 +s², 8t2] 1;1[; argth⁰t = 1

1 t².

MNÉMO : retenir lesensembles de dé…nition ainsi que les signes à l’aide desgraphes.

Démonstration.

Soitc 1. On aargch⁰c= ch ^{1 0}(c) = _ch0(argch¹ c)= _{sh argch}¹ _c. Puisque1 = ch² sh², évaluer cette égalité en argchc donne 1 =c² sh²argchc, d’oùsh argchc= p

c² 1; or argch 0

sh 0surR+ , donc le signe est un +.

Soit s 2 R. On a argsh⁰s = sh ^{1 0}(s) = _sh0(argsh¹ s) = _{ch argchc}¹ . Puisque 1 = ch² sh², évaluer cette égalité en argshsdonne1 = ch²argshs s², d’oùch argshs= p

1 +c²; orch 0, donc le signe est un+.

On a argth⁰ = th ^{1 0} =_th0 ¹argth= _{[1 th}2¹] argth = _{1 Id}¹ 2.

3.2 Fonctions circulaires

Dé…nitions. Soit c un complexe. On dé…nit ses cosinus,sinus,tangente etcotangenterespective- ment par

cosc := e^ic+e ^ic

2 ,

sinc := e^ic e ^ic 2i , tanc = sinc

cosc (si cosc6= 0), cotc = cosc

sinc (si sinc6= 0).

Ces dé…nitions (à l’exception de la cotangente) équivalent aux égalités 8<

:

ch (i) = cos sh (i) =isin th (i) =itan

, ce qui explicite le lien étroit reliant fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques.

Ainsi, puisque l’on connaît ses formules de trigonométrie circulaire, on peut connaître celles de trigonométrie hyperboliques en substituant¹¹

8<

:

cos ch sin ish tan ith

(MNÉMO : mettre unidevant les fonctions impaires).

Exemples.

L’identité de Pythagorecos²+ sin²= 1devient (ch)²+ ish² = 1, i. e.ch² sh²= 1.

L’identité de duplication cos (2 ) = 8<

:

cos² sin² 2 cos² 1 1 2 sin²

devient ch (2 ) = 8<

:

(ch)² (ish)² 2 (ch)² 1 1 2 (ish)²

, i. e. ch (2 ) = 8<

:

ch²+ sh² 2 ch² 1 1 + 2 sh²

.

La formule d’addition (àa et b complexes …xés)sin (a b) = sinacosb cosasinb devient [ish] (a b) = ishachb cha ishb, i. e.sh (a b) = shachb chashb.

Conformément à notre intuition du cercle trigonométriques, on retrouve les lieux d’annulation des fonctions trigonométriques circulaires.

Proposition. Soit c un complexe. On a les équivalences suivantes : sinc = 0()c= 0 [ ], cosc = 0()c=

2 [ ], (si cosc6= 0) tanc = 0()c= 0 [ ]. Démonstration.

1 1Ce qui précède montre qu’il faut en réalité substituersin ishmais la pratique montre que l’on peut oublier le signe .

Poursin, on les équivalences

sinc= 0 () e^ic e ^ic

2 = 0

() e^ic=e ^ic () e^2ic= 1 () 2ic22i Z () c2 Z,

pour cos, on les équivalences

cosc= 0 () e^ic+e ^ic

2 = 0

() e^ic= e ^ic () e^2ic=eⁱ () 2ic=i [2i ] () c=

2 [ ], pour tanon a l’équivalence (sicosc6= 0)tanc= 0()sinc()c2 Z.

Les formules d’addition se retrouveraient par un calcul direct, d’où l’on tirerait les formules de linéarisation puis celle de factorisation. De ces dernières, on retrouverait comment "simpli…er" par sin,cosoutandans une équation, ce qui s’énonce comme suit (aetbsont deux complexes …xés) :

sina = sinb() ^ou a=b [2 ] a= b [2 ] cosa = cosb() ^ou a=b [2 ]

a= b [2 ] tana = tanb()a=b [ ]

Rappelons en…n quelques propriétés qu’il serait facile de déduire de celles dech,sh etth: Pour tout complexe c2C, on a l’égalité e^ic= cosc+isinc.

La fonction sin est 2 -périodique, impaire et dérivable avec sin⁰= cos.

La fonction cos est 2 -périodique, paire et dérivable avec cos⁰ = sin.

La fonctiontanest -périodique, impaire, dé…nie sur C ₂ + Z et dérivable avectan⁰ = 1+tan²= _cos¹2. FEn général, l’écriture cosc+isinc N’EST PAS l’écriture rectangulaire de e^ic (il faudrait pour cela que coscet sincsoient réels).

FEn général, il est FAUX d’écrire e^ic = 1 (il faudrait pour cela quecosc etsincsoient réels)

Regardons à présent le cas réel.

On dira qu’une application f stabilise un ensemble A si ce dernier est stable par f, au sens où 8a 2 A; f(a)2A.

Proposition / Dé…nitions. (admise¹²)

La fonction sinstabilise R, sa restriction à ₂;₂ croît strictement, la réciproque associée est appeléarc sinus et notée

arcsin :=h

sinj[ 2;₂] i 1

.

La fonction cos stabilise R, sa restriction à [0; ]décroît strictement, la réciproque associée est appelé arc cosinuset notée

arccos := cos_{j[0; ]} ¹.

1 2bien sûr, seule la proposition est admise puisque les dé…nitions n’auraient aucun sens à l’être

La fonction tan envoie R ₂ + Z dans R, sa restriction à ₂;₂ croît strictement, la réciproque associée est appeléarc tangente et notée

arctan :=h

tanj] 2;₂[ i 1

.

La fonction cot envoie Rn Z dans R, sa restriction à ]0; [décroît strictement, la réciproque associée est appeléarc cotangente et notée

arccot := cot_{j]0; [} ¹. [graphes dearcsinetarccos, symétriearccos + arcsin = ₂] [graphes dearctanetarccot, symétriearctan + arctan = ₂]

Comme pour les fonctionsargch,argshet argth, il convient de connaître les dérivées des fonctions ci-dessus et ne pas les confondre toutes.

MNÉMO : retenir lesensembles de dé…nition ainsi que les signes à l’aide desgraphes.

Proposition (admise).

Les fonctions arcsin et arccossont dérivables sur ] 1;1[et l’on a 8s 2 ] 1;1[; arcsin⁰s= 1

p1 s², 8c 2 ] 1;1[; arccos⁰c= 1

p1 c². Les fonctions arctanet arccotsont dérivables sur Ret l’on a

8t2R; arctan⁰t= 1 1 +t², 8c2R; arccot⁰c= 1

1 +c².

Digression sur les arctangentes.