Epreuve essai BTS.

Enoncé 1 (d’après BTS « systèmes électroniques » 2007)

Dans ce problème, on étudie un système entrée-sortie susceptible d'être contrôlé.

Dans la partie A, le système est libre de tout asservissement, puis, dans la partie B, il est soumis à un contrôle par une commande intégrale.

On montre que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbation β, au prix d'une détérioration du temps de réponse du système et de l'apparition d'oscillations amorties.

Les résolutions des parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

On considère l'équation différentielle suivante : ¹

2y’(t) + y(t) = 10 – β, notée (E1), où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t et β une constante réelle.

1) Prouver que la fonction h définie pour tout nombre réel t par h(t) = 10 – β est solution de l'équation différentielle (E1).

2) Ecrire les solutions de l'équation différentielle (E1).

Partie B

On rappelle que la fonction échelon unité U est la fonction nulle avant 0 (strictement), et égale à 1 sinon, et qu'une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif.

On considère la fonction causale g qui vérifie la relation (E2) suivante :

1

2g'(t) + g(t) = 13

∫

₀^t

[

10U(u) g(u) du−

]

+ (10 – β)U(t) (E2), et la condition g(0) = 10.

On admet que la fonction g admet une transformée de Laplace notée G.

3) La transformée de Laplace I de la fonction i définie par i(t) = 13

∫

₀^t

[

10U(u) g(u) du−

]

est telle que I(p) = ¹³⁰₂ 13^G(p) p

p − .

Quel(s) théorème(s) permettent d’obtenir ce résultat ?

4) En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), on obtient une égalité de la forme P(p)×G(p) = Q(p) où P(p) et Q(p) sont des quotients de polynômes. Ecrire P(p) et Q(p).

Pour obtenir la décomposition en éléments simples G(p) = ^{10 2}_{2 2} p (p 1) 5

− β

+ + , une méthode consiste à écrire le quotient ^Q(p) P(p)sous la forme ^{Q(p) a} ₂ ^{bp c}

P(p) p p 2p 26

= + +

+ + avec a, b et c constantes.

5) Les nombres a, b et c sont solutions d’un système d’équations, écrire le système obtenu par « identification de coefficients ».

N.B. : on ne demande pas de résoudre le système.

6) On pose g∞ = lim g(t)t

→∞ , qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction g, et on rappelle que, d'après le théorème de la valeur finale, g∞ =

p 0lim pG(p)₊

→ . Ecrire g∞. 7) Présenter un calcul justifié de l’original de ¹_{2 2}

(p 1)+ +5

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE respecter les consignes.

8) Ecrire alors l'expression de g(t).

Partie C

Dans cette partie, on prend β = 5. Ci-dessous, on a représenté une partie des courbes Cf et Cg représentatives des fonctions f et g définies dans les parties A et B avec β = 5.

On admet ici que pour tout nombre réel t positif ou nul : f(t) = 5e^-2t + 5 et g(t) = 10 – 2e^-t sin(5t) .

On rappelle que f∞, et g∞, sont les limites respectives des fonctions f et g en +∞. On a ici : f∞ = 5 et g∞ = 10 . 9) Ecrire l’ensemble des solutions de l’inéquation ^{f (t) f}

f

∞

∞

− ≤ 0,02 sans valeur approchée.

Soit le système d’inéquations 0, 02 ^{g(t) g} 0,02 g

∞

∞

− ≤ − ≤ noté (1). On veut résoudre ce système d’inéquations à l’aide de la représentation graphique de g.

10) Ecrire le système à utiliser pour résoudre graphiquement (1) à l’aide Cg.

11) Ecrire l’ensemble des solutions obtenu par une résolution graphique de (1) avec une précision autorisée par le graphique.

Enoncé 2 (d’après BTS « systèmes électroniques » 2008)

Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.

Un tel signal avec u3(t) = u5(t) = 0 permettra :

9 s’il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple, 9 s’il est associé à un transformateur, d’éviter des pertes,

9 s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d’ordre supérieur.

On désigne par E un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.

On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que : f(t) =

E t si 0 t 1

(3 E)t 2E 3 si 1 t 2 3 si 2 t 5

2

 × ≤ <

 − + − ≤ <



 ≤ ≤

 Partie A : Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E = 2.

1) Sur chaque intervalle, écrire f(t) sous la forme

d’un polynôme en t réduit et ordonné. Sur [0 ; 1[

→ Sur [1 ; 2[

→ Sur 2 ;⁵

2

 

 

  → 2) Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [-5 ; 10].

Partie B :

Dans cette partie, on se place dans le cas général, c’est-à-dire dans le cas où la valeur de E n’est pas spécifiée.

On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f. On note S(t) = a0 + _{n n}

n 1

2n 2n

a cos t b sin t

5 5

+∞

=

  π +  π 

    

 

∑

^.

3) Quelle est la valeur moyenne de la fonction f sur une période ?

4) Les coefficients an sont obtenus à l’aide du calcul de trois intégrales.

a) Quel(s) théorème(s) utiliser pour faire apparaître ces intégrales ?

b) Quelles sont ces intégrales ?

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE respecter les consignes.

c) Prouver que ¹ _{2 2}

0

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +   − 

  π   π  

       

∫

^.

Dans la suite, on admet que, pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, an = ₂⁵₂ (2E 3) cos ²ⁿ (3 E) cos ⁴ⁿ E

5 5

n

 −  π+ −  π− 

     

π      .

5) Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, on appelle un l’harmonique de rang n.

On a alors un(t) = a cos_n ²ⁿ t b sin_n ²ⁿ t

5 5

π π

 +  

   

    pour tout nombre réel t.

a) Prouver qu’au rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre réel t.

b) On appelle E0 la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’est-à-dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombre réel t.

Ecrire la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-2 près, de E0.

E0 = E0 ≈

Enoncé 1 (d’après BTS « systèmes électroniques » 2007)

Dans ce problème, on étudie un système entrée-sortie susceptible d'être contrôlé.

Dans la partie A, le système est libre de tout asservissement, puis, dans la partie B, il est soumis à un contrôle par une commande intégrale.

On montre que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbation β, au prix d'une détérioration du temps de réponse du système et de l'apparition d'oscillations amorties.

Les résolutions des parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

On considère l'équation différentielle suivante : ¹

2y’(t) + y(t) = 10 – β, notée (E₁), où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t et β une constante réelle.

1) Prouver que la fonction h définie pour tout nombre réel t par h(t)

= 10 – β est solution de l'équation différentielle (E1).

De façon évidente, on a : ¹

2h’(t) + h(t) = ¹

2×0 + 10 – β donc ¹

2h’(t) + h(t) = 10 – β, donc h est solution de (E1).

2) Ecrire les solutions de l'équation

différentielle (E1). Sur R, y(t) = ke^-2t + 10 – β (k constante réelle) Partie B

On rappelle que la fonction échelon unité U est la fonction nulle avant 0 (strictement), et égale à 1 sinon, et qu'une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif.

On considère la fonction causale g qui vérifie la relation (E2) suivante :

1

2g'(t) + g(t) = 13

∫

₀^t

[

10U(u) g(u) du−

]

+ (10 – β)U(t) (E2), et la condition g(0) = 10.

On admet que la fonction g admet une transformée de Laplace notée G.

3) La transformée de Laplace I de la fonction i définie par i(t) = 13

∫

₀^t

[

10U(u) g(u) du−

]

est telle que I(p) = ¹³⁰₂ 13^G(p) p

p − .

Quel(s) théorème(s) permettent d’obtenir ce résultat ?

Par exemple :

Linéarité de l’intégration et de la transformation de Laplace

£(tU(t)) = ¹₂ p

Si £(f(t)U(t)) alors

(

0^t

)

£ f (u)U(u)du F(p)

= p

∫

4) En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), on obtient une égalité de la forme P(p)×G(p) = Q(p) où P(p) et Q(p) sont des quotients de polynômes. Ecrire P(p) et Q(p).

P(p) =

p2 2p 26 2p

+ +

; Q(p) =

2 2

5p (10 )p 130 p

+ − β +

Pour obtenir la décomposition en éléments simples G(p) =^{10 2}_{2 2} p (p 1) 5

− β

+ + , une méthode consiste à écrire le quotient ^Q(p) P(p)sous la forme ^{Q(p) a} ₂ ^{bp c}

P(p) p p 2p 26

= + +

+ + avec a, b et c constantes.

5) Les nombres a, b et c sont solutions d’un système d’équations, écrire le système obtenu par

« identification de coefficients ».

N.B. : on ne demande pas de résoudre le système.

26a 260 a b 10 2a c 20 2

 =

 + =

 + = − β

 6) On pose g∞ =

lim g(t)t

→∞ , qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction g, et on rappelle que, d'après le théorème de la valeur finale, g∞ =

p 0lim pG(p)₊

→ . Ecrire g∞.

g∞ = 10 7) Présenter un calcul justifié de l’original de ¹_{2 2}

(p 1)+ +5 Soit H(p) = ¹_{2 2}

(p 1)+ +5 , alors H(p) = ^{1 5}_{2 2} 5 (p 1)× 5

+ + d’où (linéarité de £^-1, originale de « F(p+a) », transformée de Laplace de sin(ωt)U(t)), £^-1(H(p)) = ¹

5e^-t sin(5t)U(t).

8) Ecrire alors l'expression de g(t).

g(t) = 10 U(t) – ² 5

βe^-t sin(5t)U(t)

Eléments pour un corrigé Partie C

Dans cette partie, on prend β = 5. Ci-dessous, on a représenté une partie des courbes C_f et Cg représentatives des fonctions f et g définies dans les parties A et B avec β = 5.

On admet ici que pour tout nombre réel t positif ou nul : f(t) = 5e^-2t + 5 et g(t) = 10 – 2e^-t sin(5t) .

On rappelle que f∞, et g∞, sont les limites respectives des fonctions f et g en +∞. On a ici : f∞ = 5 et g∞ = 10 . 9) Ecrire l’ensemble des solutions de l’inéquation ^{f (t) f}

f

∞

∞

− ≤ 0,02 sans valeur approchée.

^{ln 0, 02}; 2

− + ∞

 

 

Soit le système d’inéquations 0, 02 ^{g(t) g} 0, 02 g

∞

∞

− ≤ − ≤ noté (1). On veut résoudre ce système d’inéquations à l’aide de la représentation graphique de g.

10) Ecrire le système à utiliser pour résoudre

graphiquement (1) à l’aide Cg. 9,8 ≤ g(t) ≤ 10,2 11) Ecrire l’ensemble des solutions obtenu par une

résolution graphique de (1) avec une précision autorisée par le graphique.

[2,26 ; +∞[

Enoncé 2 (d’après BTS « systèmes électroniques » 2008)

Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.

Un tel signal avec u3(t) = u5(t) = 0 permettra :

9 s’il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple, 9 s’il est associé à un transformateur, d’éviter des pertes,

9 s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d’ordre supérieur.

On désigne par E un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.

On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que : f(t) =

E t si 0 t 1

(3 E)t 2E 3 si 1 t 2 3 si 2 t 5

2

 × ≤ <

 − + − ≤ <



 ≤ ≤

 Partie A : Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E = 2.

1) Sur chaque intervalle, écrire f(t) sous la forme

d’un polynôme en t réduit et ordonné. Sur [0 ; 1[

→ 2t Sur [1 ; 2[

→ t + 1 Sur 2 ;⁵

2

 

 

  → 3 2) Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [-5 ; 10].

Partie B :

Dans cette partie, on se place dans le cas général, c’est-à-dire dans le cas où la valeur de E n’est pas spécifiée.

On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f. On note S(t) = a0 + _{n n}

n 1

2n 2n

a cos t b sin t

5 5

+∞

=

  π +  π 

    

 

∑

^.

3) Quelle est la valeur moyenne de la

fonction f sur une période ? 2^{E 3} 5 + 4) Les coefficients an sont obtenus à l’aide du calcul de trois intégrales.

a) Quel(s) théorème(s) utiliser pour faire apparaître ces intégrales ?

Th.1 : si f est paire, alors ^{a a}

af (t)dt 2 f (t)dt0

− =

∫ ∫

Th.2 : si f est T-périodique alors ^{a T}

a⁺ f (t)dt

∫

ne dépend pas du choix de a Th.3 : si f est T-périodique, alors le coefficient de Fourier an = ^{a T}

a

2 f (t)dt T

∫

+

Th.4 : relation de Chasles … b) Quelles sont ces

intégrales ?

∫

₀^{1t cos}²ⁿ₅^{πt dt} ^; 1²

^{[ ]}

(3 E)t 2E 3 cos 2n t dt 5

 π 

− + −  

∫

^; 2⁵²

3cos 2n t dt 5

 π 

 

 

∫

c) Prouver que ¹ _{2 2}

0

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +   − 

  π   π  

       

∫

^.

1 1 1

0 0

0

2n 5 2n 5 2n

t cos t dt t sin t sin t dt

5 2n 5 2n 5

π  π  π

  = ×   −  

   π   π  

      

∫ ∫

(th. de l’intégration par parties, et th. (sin ax)’ = a cos ax)

donc

1 2 1

1

0 0 0

2n 5 2n 5 2n

t cos t dt t sin t cos t

5 2n 5 2n 5

 

π  π  π

  = ×   +    

   π    π  

        

∫

(th. (cos ax)’ = -a sin ax)

Eléments pour un corrigé

donc ¹ _{2 2}

0

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +   − 

  π   π  

       

∫

. (th. cos 0 = 1 et sin 0 = 0)

Dans la suite, on admet que, pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, an = _{2 2}5 (2E 3) cos 2n (3 E) cos 4n E

5 5

n

 −  π+ −  π− 

     

π      .

5) Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, on appelle un l’harmonique de rang n.

On a alors un(t) = _n 2n _n 2n

a cos t b sin t

5 5

π π

 +  

   

    pour tout nombre réel t.

a) Prouver qu’au rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre réel t.

Th.1 : Si une fonction f est T-périodique et de pulsation ω, alors les coefficients de Fourier de f sont donnés (α étant une constante arbitraire) par a0 = ^{1 T}f (t) dt

T

α+

∫

α (valeur moyenne de f sur un intervalle de longueur T), et pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1, an = ^{2 T}f (t) cos(n t) dt

T

α+

α ω

∫

^{et bn = 2 T}f (t) sin(n t) dt

T

α+

α ω

∫

^.

Th.2 : Dans les conditions du th.1, les coefficients bn de Fourier d’une fonction paire sont nuls.

Ici, la fonction étant paire (donnée de l’énoncé), en appliquant le th.2, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, bn = 0, pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1.

De plus, a5 = 2

( ( ) ( ) )

5 (2E 3) cos 2 (3 E) cos 4 E

25 − π + − π −

π

donc a5 = 0 (car cos 2π = cos 4π = 1).

Finalement, pour tout t, u5(t) = 0.

b) On appelle E0 la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’est-à-dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombre réel t.

Ecrire la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^-2 près, de E0.

6 12

3cos 3cos

5 5

E 2 cos 6 cos 12 1

5 5

π π

 −  

   

   

=  π−  π−

   

E0 ≈ 1,14