N
OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUESP AUL V OLPICELLI
Deux théorèmes relatifs à la partition des nombres
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 14 (1855), p. 314-317
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DEUX THÉORÈMES
RELATIFS A LA PARTITION DES NOMBRES,
PAR M. PAUL VOLPICELU.
Lemme. Soit
où (JL, a, (3,..., T représentent des entiers, et hl9 A2, A3,..., A^ expriment des nombres premiers. Eu posant
( 3 i 5 )
les nombres coj, w8 des solutions entières de l'équation
Xt — J> — C
sont représentés par les équations
(0
I
M2" i
La première de ces formules se rapporte au cas dans lequel au moins un des exposants fx, #, (3,..., r est im- pair, et la seconde n'est applicable que quand les mêmes exposants sont tous pairs. Dans le cas de
u devra êlre impair dans la première et pair ^> 2 dans la seconde. En faisant
on aura de la première, par corollaire,
= 2 * - ,
«3=2
formule déjà donnée par Legendre (*) et par Poinsot (**).
En outre, en supposant que hx, ft2v-5 hk soient tous nombres premiers de la forme 4 ^ + 1, le nombre des, solutions entières de Téquation
*] + y] — c
est exprimé par les équations
(*) Théorie des nombres; t, I, p. 8j Paris, i83o.
(**) Comptes rendus; t. XXVIII, p. 582; mai i8/,g.
( 3 , 6 )
La première de ces formules est applicable quand, quel que soit ^, un au moins des exposants a, (3,..., T, est im- pair 5 la deuxième quand, p. étant impair, les mêmes expo- sants sont tous pairs 5 la troisième quand, p. étant pair ou zéro, tous les autres exposants sont pairs (*).
THÉORÈME I. Tout nombre c, excepté le double d'un impair, est autant de fois représenté par là somme de x — y nombres impairs consécutifs, en commençant par 2 y -f-1 et en terminant par 2X — 1, quil y a de solutions entières pour Véquation
le nombre desquelles est donné par les équations (1).
«Si C est carré, il y aura de plus la décomposition suivante :
Exemple: Qu'on
on a
et pour cela donc
x =
d'où
et enfin
72 = x>-
= 19, X — 2J4- IX —
35 +
i 5 - f 7"+
ait
<
1 1
r =
I rrr - I zzz
• 3 7 ,
" X7 - 9"
3,
**t -
9 >
2 ,
35 37
-h 4-
72 = a =
= 3;
y
4,
, i5 , 21
J9^-
11 4-
= 2,
=r 1 7 , 7 , 3 ; 6,
» 7>
' ^ 7 '
2 1 ,
i 3 - H i 5 + 1 7 .
(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. A.-L. Crelle j tome XLIX.
THÉORÈME IL Tout nombre c qui se décompose en deux camés x', y* est la somme de deux progressions arithmétiques dont la première se forme de yt termes, en commençant par 2 et en terminant par 4yi — i,et la seconde de xt—yt termes, en commençant par 2 yt + i et en terminant par 2xt — 1. Il y aura pour c autant de ces décompositions qu'il y a des solutions entières pour V équation
dont le nombre est donné par les équations (2). Si C est carré, il y aura de plus la décomposition
Exemple : Qu'on ait
c= 1 i o 5 = 17 . i 3 . 5 ,
les solutions entières de F équation x\ + y\ = no5 seront
J C , ~ 3 2 , 3i, 24, 33; / i = 9, 12, 23, 4>
d'où
4ri — 2 = 34, 46, 90, 4 ; 27,-4-1 = 19, 25, 47, 9;
2 t t(- - i = 6 3 , 61, 47» 65» J?!—-^, = 23, 19, 1, 29;
et enfin
24-6-h 10 ...+ 34 H- 19 + 21 + . . . + 61 + 6 3 , 6 + . . . + 4^ + 2t5 + 27 + . . . + 59 + 6 i , 2 + 6 + . . . + 90 + 47 >
6 + , . . + i 4 + 9 + i i + . .. + 6 3 + 6 5 .
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