D1879. Plus de moyens
La Conf´ed´eration des G´eom`etres r´eclame plus de moyens.
R´eponse des patrons :
≪ Vous disposez d´ej`a d’un moyen. Sil est adapt´e et que vous le partagez en deux, vous pouvez en obtenir trois. ≫
D´ecrivez ces moyens particuliers.
( il s’agit bien sˆur de triangles moyens, c`ad tels queBC2 =AB AC pour un triangle moyen enA )
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Soit le triangleABC moyen enA, avecABplus petit cˆot´e etAC plus grand cˆot´e. Posonsb= AC
AB (donc BC AB =p
(b)) et BAC\ =α.
betα sont li´es par la relation :
b2+ 1 =b(1 + 2cos α) ⇒ 1 ≤b < 3 +√ 5
2 '2.618 (b≥1par convention).
La seule fa¸con de diviser le triangle est par une droite entreB et un pointD`a placer surAC.
Est-ce queABDpeut ˆetre moyen enA, en Bou enD?
1/ ABD moyen en A :
Dans ce cas,αest le mˆeme pourABDet pourABC, doncbest le mˆeme (en prenantb= AB
AD) : ACD est indirectement semblable `aABC.
⇒ BD AB = 1
√ b
Les cˆot´es deBCD sont proportionnels `a √
b,b− 1 b et 1
√ b. Cas a: 1< b < xa'1.75488: le cˆot´e interm´ediaire estDC BCD est moyen enBsi√
b(b− 1 b) = 1
b ⇒ b'1.3626 Cas b: xa< b < xb '1.90517: le cˆot´e interm´ediaire estBD BCD est moyen enC si1 = (b− 1
b)2 ⇒ b'1.6168
1
Cas c: xb< b <2.6108: le cˆot´e interm´ediaire estBC BCD est moyen si(b− 1
b) 1
√b =b
Il n’y a pas de solution : la partie gauche est toujours inf´erieure `ab.
2/ ABD moyen en B
BDC et ABC partage le mˆeme angle enC. ABD doit donc ˆetre semblable
`
a ABC. BCD est donc moyen enB, et on aCD CA=CB2. CD = 1et BD= 1
√b, doncAD =b−1
Dans ABD, AB est le plus grand cˆot´e. Quel est le cˆot´e moyen ? G´eog´ebra fournit la r´eponse : pourb <1.75488, c’estBD, sinon c’est AD.
Cas a: le cˆot´e interm´ediaire estBD
L’´equationb2b −1 = 0l’a pas de racine r´eelle.
Cas b: le cˆot´e interm´ediaire estAD b(b−1)4= 1 b'1.85667
2
3/ ABD moyen en D
Pour chaque valeur de b= AC
AB, il existe un point D sur AC tel que ABD soit moyen enD.
• Pourb= 1(ABCest ´equilat´eral),Dest confondu avecC. DCest trop petit pour queBCDpuisse ˆetre moyen enC.
• Pourb= 3 +√ 5
2 (ABCd´eg´en´er´e avec C surAB), on aAD= 1 +√
5
2 ,BD= −1 +√ 5
2 etDC = 1:
BCD est moyen en B mais d´eg´en´er´e, et DC est trop grand pour que BCDpuisse ˆetre moyen enC.
Il existe donc une valeur debtelle que BCD soit moyen enC.
Le r´esultat, obtenu par approximations successives, est le suivant :
3
4
