A401-Equations diophantiennes : une mise en bouche

(1)

A401-Equations diophantiennes : une mise en bouche Solution

Question n°1 :Trouver 6 entiers distincts a, b, c, p, q et r tels que a + b + c = p + q + r et

2 2 2 2 2

2 b c p q r

a     

Les entiers dont la somme est minimale et qui satisfont les deux équations sont a=6, b=5, c=1, p=7, q=3 et r=2 .

Il existe une infinité de solutions possibles. En effet, en divisant les deux membres des deux équations respectivement par c et c², on obtient des équations du même type où c est remplacé par 1 et les solutions a, b, c, p, q et r sont des nombres rationnels.

a + b + 1 = p + q + r et a²b²1p²q² r²

On en déduit b = p + q + r – a –1 d’où la relation a²(pqr-a-1)²1p²q²r² qui permet d’exprimer p en fonction de a, q et r :

1) r q 1)/(a r q a r

* a q

* a r

* q (a

p ²          = ((a – q – r)*(a + 1) + q*r +1 ) / (a – q – r – 1)

En faisant varier les nombres entiers a, q et r, on obtient des valeurs rationnelles de p et de b sous forme de fractions irréductibles N/D. Dès lors c est pris égal à D et l’on obtient la panoplie de 6 entiers satisfaisant les deux équations d’origine.

En faisant varier q, r (q > r) et a (p et r) de 1 à 10 de telle sorte que le dénominateur a – q – r – 1 prenne les valeurs 1, puis 2 puis 3 etc…., on trouve rapidement même sans l’aide d’un ordinateur la solution minimale précédemment mentionnée.

Question n°2 :Trouver 6 entiers distincts a, b, c, p, q et r tels que a + b + c = p + q + r et

3 3 3 3 3

3 b c p q r

a     

Les entiers dont la somme est minimale et qui satisfont les deux équations sont a=10, b=8, c=2, p=11, q=5 et r=4 avec la somme des entiers a, b et c égale à 20.

Il y a bien d’autres solutions dont la somme des termes est inférieure ou égale à 25 telles que (12,10,2 – 13,8,3) et (14,10,1 – 15,7,3). Pour les obtenir rapidement, l’ordinateur se révèle très utile.

Comme dans la question n°1, on peut chercher des solutions rationnelles en a, b, p, q et r et chacun de ces cinq termes peut être paramétré par exemple sous la forme :

6) 3y y 5)/(2x 3y

x xy (2x

p ² ²   ² ²  6) 3y y 1)/(2x 5y

2y - y (2x

q ² ²  ² ² 

6) 3y y 3)/(2x 3y

2y (-2x

r ² ²  ² ² 

6) 3y y 5)/(2x 3y

x xy (-2x

a ² ²   ² ² 

6) 3y y 2)/(2x - 5y y - y (2x

b ² ² ² ² 

expressions dans lesquelles x et y sont des entiers quelconques

Question n°3 :Trouver 6 entiers distincts a ,b, c, p, q et r tels que a²b²c² p²q² r² et

3 3 3 3 3

3 b c p q r

a     

(2)

Les entiers dont la somme des carrés est minimale et qui satisfont les deux équations sont a=62, b=45, c=2, p=66, q=29 et r=26 avec la somme des carrés égale à 5873 et celle des cubes égale à 329 461. D’autres solutions existent telles que (69,54,1 – 73,45,18), (69,58,3 – 75,45,22)…. Pour les déterminer, un ordinateur est cette fois-ci indispensable.

A noter qu’un paramétrage des solutions rationnelles en a, b ,p, q, r serait également possible.

Question n°4 : Trouver 6 entiers distincts a, b, c, p, q et r tels que a + b + c = p + q + r ,

2 2 2 2 2

2 b c p q r

a      et a³b³c³ p³q³r³

Quels que soient la puissance de l’ordinateur et le temps qui lui est dévolu pour balayer toutes les valeurs possibles de a, b, c, p, q et r, la machine ne livrera jamais de solution. En effet le système des 3 équations n’admet pas de solution avec les 6 entiers tous >0.

Désignons par (1), (2) et (3) chacune des 3 équations : (1) a + b + c = p + q + r

(2) a²b² c² p² q²r² (3) a³b³c³p³q³r³

On vérifie aisément que si (a, b, c, p, q, r) est solution des équations (1), (2) et (3), alors (a+k, b+k, c+k, p+k, q+k, r+k) avec k entier relatif quelconque est également solution de ces mêmes équations.

En prenant k= - c, on en déduit que (a – c, b – c, 0, p – c, q – c, r – c) est solution du système des 3 équations et l’on peut ramener le problème à la recherche de 5 entiers positifs distincts tels que :

(4) a + b = p + q + r (5) a²b² p² q²r² (6) a³b³p³q³r³

Or p³q³r³ = (p + q + r)*(p²q²r²-pq – pr – qr) + 3pqr = (a + b)*(a²b²-pq – pr – qr) + 3pqr.

Comme (pqr)²p²q²r²2pq2pr2qr, (4) et (5)  ab = pq +pr + qr.

D’après (6), il en résulte a³b³= p³q³r³ = (a + b )*(a²b²- ab) + 3pqr = a³b³+ 3pqr.

D’où pqr=0 . L’un des trois termes p ou q ou r doit être nul ce qui est contraire à l’hypothèse de départ.