E IR Partie1

Université Hassan II

Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales de

Mohammedia

Année Universitaire2019/2020

Semestre 2 Algèbre linéaire

Professeur : M.REDOUABY

Corrigé des exercices Partie I

Série de Travaux Dirigés

Exercices 1 & 2 & 3

Partie 1

Exercice 1

L’espace vectoriel considéré dans cet exercice est :

E ⁼ IR ³















 ( x , y , z ) / x ; y ; z IR

IR 3

ensemble destriplets

On a

:

, ,

Question 1)

estcombinaison linéairede , et , ,

tels que :

) 3 ,1 ,2 ( u

¹



1

u

²

u

3

u   ^{  } _IR ^

3 2

1

u u

v ^{ } u ^{   }

) 2 ,5 ,3 (

u

²

  u

³

 (  ,5  13 , 12 )

)

17

,

17

,

6

(  

v 



) 12 , 13 ,5 ( ) 2 ,5 ,3 ( ) 3 ,1 , 2

) (

17 , 17 , 6

(  

^

 ^  ^{ }  ^{ }







 6 , 17 , 17 ) (

) 12 2

3 , 13 5 , 5 3 2

(               

























   

     17 12

2

3 2 5 3 13 5 17 6





  

   

Système linéaire à résoudre, les inconnues sont , et   

S ₁ :

De même :

estcombinaison linéairede , et , ,

tels que :

1

u

²

u

³

u

  ^{  }  _IR

3 2

1

u u

w ^{ } u ^{   }

Question 2) )

1, 1, 1 ( w 

























  

    1 12 2

3 2 5 3 13 5 1 1





  

   

Système linéaire à résoudre, les inconnues sont , et   

S ₂ :

De même,le vecteur nul

est-ilcombinaison linéairede

u

¹ ,

u

² et

u

³ ?

3 2

0 ^ xu

1

^ yu ^ zu

Question 3) )

0 , 0 , 0 ( 0 

C’est à dire, on cherche tous les triplets (x,y,z)s’ils existent, tels que :

























  

    0 12 2

3 2 5 3 13 5 0 0 z y

x y z x x y z

Système linéaire à résoudre, les inconnues sont , et x y z

S ₃ :

De manière générale : soitU(a,b,c) un vecteur quelconque de IR³.

estcombinaison linéairede

u

¹ ,

u

² et

u

³

3 2

1

u u

U ^{ } u ^{   }

Question 4)

c) b, (a, U

  ^{ , ,  }  IR

tels que :

























  

    b a c





  

    12 2

3 2 5 3 13 5

Système linéaire à résoudre en fonction de a, b et c ; les inconnues sont , et   

S ₄ :

Remarque importante

Les quatre systèmes linéaires précédents sontles mêmes, etne diffèrentque dusecond

membre

On peut les résoudre en même temps

Méthode de Pivot de Gauss

Étape 1 : La descente

c b a 0 0 0 1 1 1 17

17 6 12 2 3

13 5

1

5 3 2











3 2 1

L L L

Systèmes : S₁ S₂ S₃ S₄

3a - 2c

a - 2b

a 0 0 0 1 -

1 1 52

28 6 39 13 0

21 7

0

5 3

2











Systèmes : S₁ S₂S₃ S₄

1 3 3

1 2 2

1 1

3L 2L L

L 2L L

L L











Étape 1 : La descente

34a - 26b 14c

a - 2b

a

0 0 0 6 1 1 0 28

6 0 0 0

21 7 0

5 3 2











S₁ S₂S₃ S₄

2 3

2 2

1 1

13L 7L

L L

L L







Fin de La descente :

2^èmeEtape et2^emePivot:7de la deuxième ligne.La ligne 2estla deuxième ligne de pivot

Étape 2 : La remontée

Système S

₁

Question 1)

0 28

6 0 0 0

21 7 0

5 3 2









Second membre











































           



quelconque

 IR













     



0 0

3 4 28

21 7

2

3 5 6 2 3 ( 4 3 ) 5 6 3

2

Remontée

Le systèmeS₁admet donc une infinité de solutions:

Le vecteur vs’écrit donc commecombinaison linéairedes vecteursu₁,u₂,u₃et ceci d’uneinfinité de manières. En effet,















     

quelconque

  IR  

 3 4 2 3

, IR



 

3 2

1

( 4 3 )

) 2 3

( u u u

v  

^{on a :}

      

Étape 2 : La remontée

Système S

₂

Question 2)

6 1 1 0 0 0

21 7 0

5 3 2





Second membre

La 3^èmeéquation du systèmeS2présenteune contradiction:

ceci

Le systèmeS2n’admet pas de solutions Le vecteur wne peut pas s’écrire comme

6 0

0       IR

Étape 2 : La remontée

Système S

₃

Question 3)

0 0 0 0 0 0

21 7 0

5 3 2





Second membre





































        



quelconque

IR z z

z y z

y

z

x y z x z z

x

0 0

3 0

21 7

2 5 0 2 3 3 5 0 3

2

Remontée

Le systèmeS₃admet donc une infinité de solutions:

Le vecteur nul 0s’écrit donc commecombinaison linéairedes vecteursu₁,u₂,u₃et ceci d’uneinfinité de manières. En effet,















   

quelconque

IR z y z z x 3 2

, IR



 z

3 2

1

3

2

0 

^{on a :}

 zu  zu  zu

En particulier

On obtient :

3 2

1

3

2

0   u  u  u 1

z  

2 1

3

2 u 3 u

u  

Étape 2 : La remontée

Système S

₄

Question 4)

34a - 26b 14c

a - 2b

a 0

0 0

21 7 0

5 3 2







Second membre

D’après les questions précédentes,deux casse présentent :

1^erCas :

Dans ce cas,le système linéaireadmetune infinité de solutionset par conséquent, le vecteurUest combinaison linéairedes vecteursu₁,u₂,u₃(et ceci d’uneinfinité de manières).

0 17 13 7 0 34 26

14 c  b  a   c  b  a 

2^emeCas :

Dans ce cas,le système linéairen’admet pasde solutionset par conséquent, le vecteurUn’est pas combinaison linéairedes vecteursu₁,u₂,u₃.

0 17 13

7 c  b  a 

^Conclusion

Le vecteurU(a,b,c)estcombinaison linéaire des vecteursu1,u2,u3

 7 c  13 b  17 a  0

Exercice 3

L’espace vectoriel considéré dans cet exercice est :

E ⁼ IR ³

Exercice 3

1) Soit u un vecteur de , u est de la forme :

avec :

F 1

) z ,y , x ( u 

0 z y x

2    y x 2 z  



Exercice 3

1) Un vecteur u de peut donc s’écrire :

On peut décomposer u de la manière suivante :

F 1

) y x 2 ,y , x (

u  

) y ,y ,0 ( ) x 2 ,0 , x (

u  

Donc :

2

1 yV

xV ) 1, 1, 0 ( y ) 2 ,0 ,1 ( x

u    

) 2 ,0 ,1 ( V ₁ 

Avec :

) 1, 1, 0 ( V ₂ 

et

1) Ainsi, un vecteur quelconque de est combinaison linéaire des vecteurs

et

est engendré par ces deux vecteurs.

On a alors :

F

1

V 1 V ₂

F 1

2 ) V 1 , V ( 1 Vect

F ^

Conclusion :

est donc un sous-espace vectoriel de

F

1

IR 3

Exercice 3

2) Soit u un vecteur de , u est de la forme :

avec : et

F 2

) z ,y , x ( u 

0 x 2 











 

 z x 3 0 y

0 z y 3  

Exercice 3

2) Un vecteur u de peut donc s’écrire :

avec

F 2

) 3 ,1 ,0 ( y ) y 3 ,y ,0 (

u  

yV u 

 V  ( 0 , ,1 3 )

) V ( Vect F ₂ ^

Ainsi

Conclusion :

est donc un sous-espace vectoriel de

F

2

IR 3

Exercice 3

3) Soit u un vecteur de , u est de la forme :

avec : et

F 3

) z ,y , x ( u 

0 z x  

y 3 z y x

3 z z

x     









0

z

y

3  

Exercice 3

3) Un vecteur u de peut donc s’écrire :

avec

F 3

) 3 ,1 ,3 ( y ) y 3 ,y ,y 3 (

u  

yW u 

 W  ( ,3 ,1 3 )

) W ( Vect F ₃ ^

Ainsi

Conclusion :

est donc un sous-espace vectoriel de

F

3

IR 3

Exercice 3

4) Soit u un vecteur de , u est de la forme :

avec : et

F 4

) z ,y , x ( u 

0 z y x   



























  

 





 

  z 3 x x 4 y y 0 0

) y x ( 5 y x 2 x y z

0 z 5 y x

2   





































 







 

4 x y 3

4 x z 1 4 x

y 3

y x z

4) Un vecteur u de peut donc s’écrire :

avec

F 4

4 ) , 1 4 ,1 3 ( x ) 4 x , 1 4 x , 3 x (

u    

xU u 

 )

4 , 1 4 ,1 3 ( U  

) U ( Vect F ₄ ^

Ainsi

4) Ou encore (autre manière) :

avec

) 1, 3 ,4 ( 4 x ) 1 4 , 1 4 ,1 3 ( x

u    

' xU u 

 U '  ( 4 ,  3 1, )  4 U

)' U ( Vect F ₄ ^

Ainsi

Conclusion :

est donc un sous-espace vectoriel de

F

4

IR 3

Exercice 3

5) Soit u un vecteur de , u est de la forme :

avec :

F 5

) z ,y , x ( u 

x 5 y 4 z 3 x

2    y x

z 3

4 3 7 





5) Un vecteur u de peut donc s’écrire :

On peut décomposer u de la manière suivante :

F 5

) y x ,y , x (

u 3

4 3 7 



) y ,y ,0 ( ) x ,0 , x (

u 3

4 3

7  



Donc :

2

1 yT

xT ) ,1 ,0 ( y ) ,0 ,1 ( x

u 3

4 3

7   

 

) ,0 ,1 (

T 3

1  7 Avec :

) ,1 ,0 (

T 3

2   4 et

5) Ainsi, un vecteur quelconque de est combinaison linéaire des vecteurs

et

est engendré par ces deux vecteurs.

On a alors :

F

5

T 1 T ₂

F 5

2 ) T 1 , T ( 5 Vect

F ^

5) Ou encore (autre manière) :

Avec :

) 4 ,3 ,0 ( ) 7 ,0 ,3 (

u 3

y 3

x  

 u T ' T ' ₂

3 1 y 3

x 





1 1 ' ( ,3 0 , 7 ) 3 T

T ^{ }

' ) T ,' T ( Vect

F ₅ ^ _{1 2}

Ainsi

et T 2 ' ^ ( 0 , ,3 ^ 4 ) ^ 3 T 2

Conclusion :

est donc un sous-espace vectoriel de

F

5

IR 3

Exercice 3

6) Soit u un vecteur de , u est de la forme :

avec : et

F 6

) z ,y , x ( u 

z 6 y y 2

x   

 y  6 z  3 z  2 x

















 

 

) z 6 y ( 2 z 3 z 6 y y 6 z x











  

 x y 3 y z 6 z









  

 x y 3 z 3 z

6) Un vecteur u de peut donc s’écrire:

On peut décomposer u de la manière suivante :

Avec . Ainsi

F

6

) z ,z 3 ,z 3 ( u  

zV ) 1, 3 ,3 ( z

u   

) 1, 3 ,3 (

V   F ₆ ^ Vect ( V )

Conclusion :

est donc un sous-espace vectoriel de

F

6

IR 3

Théorème :

Soit E un espace vectoriel réel F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E alors :

est un sous-espace vectoriel de E

G F 

Exercice 3 - Question 2

Intersection de sous-espaces vectoriels

et sont deux sous-espaces vectoriels

de alors est un sous-espace

vectoriel de

2

1

F

F 

Exercice 3 - Question 2

Intersection de sous-espaces vectoriels

F

1

F

₂

IR 3

IR 3

















 

1 3

2

1

F u IR / u F

F ( x , y , z )

2

1

F

F 











F

2

u

et













































    

 



 3 2 2 y x x z 0 y 0 z 0 )

z , y , x

( IR /

u F

F

_{1 2} ³

Ainsi :











































  

 



 z y x 0 0 0 )

z , y , x

( IR /

u F

F

_{1 2} ³

Ainsi :

Après résolution du système linéaire, on trouve :















 F ( 0 , 0 , 0 )

F

_{1 2}

Vecteur nul

IR3

0 ) 0 , 0 , 0

( 

Remarque :

et sont deux sous-espaces vectoriels

de alors est un sous-espace

vectoriel de

4

3

F

F 

De même :

F

3

F

₄

IR 3

IR 3











 



 

3 3

4

3

F u IR / u F

F ( x , y , z )

4

3

F

F 











F

4

u

et









































   

    

 





0 z 5 y x

2 y x z y 0 z 0 3 x z 0 )

z , y , x

( IR /

u F

F

_{3 4} ³

Ainsi :

















































































  

























0 z y x 0 0 /

F F

0 z 5 z z 2

0 z z z

z y

z x ) z , y , x (

3 13 31 1

4 3

Ainsi :















 F ( 0 , 0 , 0 )

F

_{3 4}

(Vecteur nul)

De même :















 F ( 0 , 0 , 0 ) F

_{5 6}



,



,





























 F

₁

( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 )



























5 6 1 5 6

1

F F F F F

F

Si F est un sous-espace vectoriel de E alors :

C’est-à-dire est le plus petit sous espace vectoriel de E ( au sens de l’inclusion )

E

F 0

_^

^







Remarque













0

E

Théorème 1 :

Soit E un espace vectoriel réel F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E alors :

est un sous-espace vectoriel de E





















 G u v / u F ; v G F

Exercice 3 - Question 3 Somme de sous-espaces vectoriels

Théorème 2 :

) G F dim(

) G dim(

) F dim(

) G F

dim(     

Somme de sous-espaces vectoriels

 avec

Comme et forment unefamille génératricede , pour savoir s’ils forment unebasede ou non, il suffit de voir s’ils sontlinéairement indépendantsou non.

2

1

F

F 

2 ) V 1 , V ( 1 Vect

F ^











 ) 1, 1, 0 ( V

) 2 , 0 ,1 ( V

2 1

V

1

V

₂

F

1

F

₁

Soit et deux

scalaires

(nombres réels)

??

0 0

V

V

₁

 

₂

     



et Sont-ils

linéairement indépendants ? V

1

V

₂

 

) 0 , 0 , 0 ( ) 1, 1, 0 ( ) 2 , 0 ,1 ( 0 V

V

₁

 

₂

     











  















 ( , , 2 ) ( 0 , 0 , 0 ) 0 0

et sont linéairement indépendants et comme ils engendrent (c’est-à-dire forment une famille génératrice de ) alors ils forment une

base

de

V

1

V

₂

F

1

F

1

F

1

2 ) F

dim( ₁  dim( F ₂ )  1

UneBasede est formée parle vecteur (voir ci-dessus)

F

2

) 3 ,1 , 0 ( V 

Comme :

Alors : et comme On obtient :

Ainsi :

) F F dim(

) F dim(

) F dim(

) F F

dim(

₁



₂



₁



₂



₁



₂

) F F dim(

1 2 ) F F

dim(

₁



₂

  

₁



₂













 _{F )}  _{dim ( 0 , 0 , 0 ) 0} F

dim(

_{1 2}

3 0 1 2 ) F F

dim(

₁



₂

   

Et comme est un sous-espace de

Alors :

Remarque :

SiFest unsous-espacevectoriel deE tel que alors

finalement :

3 2

1

F ) 3 dim IR F

dim(   

2 1

F

F  IR

³

3 2

1

F IR

F   ) E dim(

) F

dim(  F  E

Même méthode pour

IR

3

F F  

6

5

F

F 

2 ) F dim( ₅ 



UneBasede est formée parles deuxvecteurs et (voir ci-dessus)

F

5

T 1 T ₂

UneBasede est formée parle vecteur (voir ci-dessus)

F

6

) 1, 3 ,3 (

V    dim( F ₆ )  1

Finalement on trouve :

4.

Oui et sont supplémentaires car :

Exercice 3 - Questions 4 & 5

F

5

F

₆

3 6

5

F IR

F  

5.

Oui est une somme directe car :

Exercice 3 - Questions 4 & 5















 F ( 0 , 0 , 0 ) F

_{1 2}

2 1

F F 

Exercices 4 & 5 & 6

Partie 1

Exercice 4

Rappel

: SoitEun espace vectoriel surIRde dimension n :

Fest la famille constituée despvecteurs , ,…, de

E

Fest une famillegénératricedeEsitout vecteurdeEestcombinaison linéairede , ,…,

n ) E dim( 

1

u

²

u

p

u

1

u

²

u

p

u

Exercice 4

Fest une famillelibresi :

F^{est unebasede}

E

si _Fest à la foisgénératrice etlibre(dans ce cas on a forcement :n=p)

0 0

u ...

u

u

1 2 2 p 1 2 p

1

 

_p

    ...   

     

p

IR

2

1

,  ,...,  





Exercice 4

Théorème : SoitEun espace vectoriel surIRde dimension n

Une famillegénératricedeEcontientau moinsn vecteurs

Une famillelibredeEcontientau plusnvecteurs

UnebasedeEcontientnvecteurs

Exercice 4

Théorème : SoitEun espace vectoriel surIRde dimension n

Toute famillegénératricedeEcontenant n vecteurs est unebasedeE

Toute famillelibrecontenantnvecteurs est une basedeE

Exercice 4

Théorème : SoitEun espace vectoriel surIRde dimension n

Fest une famille contenantnvecteurs. On a : Fest libre _Fest génératrice _Fest une base

déterminant(F)

 

  0

Exercice 4

1) L’espace considéré est .

Fest la famille constituée par :

 ; . F^{contient2vecteurs,} det

(

F

)

doncF ^{est une}famille libreet génératricede .

F ^{est unebasede}

IR

2

) 2 ,1

u

^1(

u

^2(,11)

2 )

IR

2

dim( 

0 3 2 1 1

2 1

1      

 

IR

2

IR

2

Exercice 4

La familleF est constituée de :

 . F^{contient1vecteur,}Fne peut pas être génératrice. Vérifions si elle libre.

Soit

doncF ^{est une}famille libremais nongénératrice.

F n’est pas unebasede

) 4 ,1

u

^1(

0 )

0 ,0 ( ) 4 , ( ) 0 ,0 ( ) 4 ,1 ( 0

u

₁

          



IR

2

IR





Exercice 4

La familleF est constituée du vecteur nul :

 . F^{contient1vecteur,}Fne peut pas

être génératrice. Vérifions si elle libre.

Soit

par exemple: : pourtant

F n’est pas unefamille libre. Elle n’est pas génératrice.

F n’est pas unebasede

) 0 ,0 ( u

¹

^ 0 ^

0 )

0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( 0

u

₁

        



IR

2

IR





5



  u

₁

 5 ( ,0 0 )  ( ,0 0 )   0

Exercice 4

La familleFest constituée des vecteurs :

 , ,

F^{nepeut pasêtre}libre, vérifions si elle est génératrice.

On remarque qu’on peut extraire deFune base de Prenons par exemple et :

est une base de … doncFest une famille

F

) 2 ,1 u

¹

 ( 

IR

2

) 3 ,2

u

²

 ( u

³

^ ( ,1 0 )

1

u

³

u

0 2 2 0 0 2

1 ) 1 u , u

det(_{1 3}      )

u , u

( _{1 3}

IR

2

IR

2

IR

²

Exercice 4

2) L’espace considéré est .

Fest la famille constituée par :

 ; . F^{contient2vecteurs,}

doncF ^{nepeut pasêtre}génératrice. Vérifions si elle est libre.

F est une famillelibre.Fn’est pas unebasede

IR

3

) 1, 2 ,1

u

^1(

u

^{2(,1,01)}

) 3 IR

3

dim( 

IR

3

) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 ,1 ( ) 1, 2 ,1

0 (

u

u

₁

^

₂

^{    }

   









  



















 ( , 2 , ) ( , 0 , ) ( 0 , 0 , 0 ) 0 0

Exercice 4

La familleFest constituée par :

 ; et

F^contient3vecteurs, on calcule son déterminant :

F est une famillelibreetgénératricede .

F^{est unebasede} ) 9 ,6 , 7

u

^1(

u

^2(,1,46)

IR

3 ) 2 ,6 ,3

u

^3(

6 9

4 36 2 9

6 6 2 6

6 74 2 6 9

6 4 6

3 1 7 ) F

det(    

0 154 0 3 42 28 7 ) F

det(       



IR

3

Exercice 4

La familleFest constituée par :

 ; . F^{contient2vecteurs,}

doncF ^{nepeut pasêtre}génératrice. Vérifions si elle est libre.

F est une famillelibre.Fn’est pas unebasede

) 2 ,6 ,3

u

^1(

u

^{2(,612,4)}

IR

3

) 0 , 0 , 0 ( ) 4 , 12 , 6 ( ) 2 , 6 ,3

0 (

u

u

₁

^

₂

^{    }

   

) 0 , 0 , 0 ( ) 4 , 12 , 6 ( ) 2 , 6 , 3

(         

















 

 







   

 

0 0 0

2 0

2

Exercice 4

La familleFest constituée par :

 ; . F^{contient2vecteurs,}

doncF ^{nepeut pasêtre}génératrice. Vérifions si elle est libre.

F n’est pas une famillelibre.Fn’est pas unebasede

) 6 ,4 ,2

u

^1( ^

u

^{2(,3,69)}

IR

3

) 0 , 0 , 0 ( ) 9 , 6 ,3 ( ) 6 , 4 , 2

0 (

u

u

₁

^

₂

^{      }

   

) 0 , 0 , 0 ( ) 9 , 6 , 3 ( ) 6 , 4 , 2

(           



2

1

u

u 0

3

2

3

2 3

2

  



















_

Exercice 4

La familleFest constituée par :

 ; et

F^contient3vecteurs, on calcule son déterminant :

 Si F ^{est unebasede}

 Si F ^{n’estni libre,}ni génératrice.

) 2 ,6 ,3

u

^1(

u

^{2(,1 ,03)}

IR

3 ) c , b ,a

u

^3(

3 2

0 a6 c 2

b 6 c 3

b 30 c 3 2

b 0 6

a 1 3 ) F

det(    

c 6 b 7 a 18 ) F

det(   

 0 c 6 b 7 a

18    0 c 6 b 7 a

18   

Exercice 5

 Soit , et trois nombres réels (scalaires) :

car ( , , ) est unefamille libre.

Nous allons utiliser unPivot partielpour résoudre ce système linéaire :

0 ) u u ( ) u u ( ) u

u

_{1 2 2 3 3 1}

(        























   

   

 

0 0 0 0

) ( ) (

) u

₁

u

₂

u

₃

( ^{           }



  

1

u

²

u

³

u

Exercice 5





















         0 0 0

3 2 1

L L L 0 0 0 1 1 0

0 1 1

1 0 1



L2 L

L L L L L

3 2 1

3 2 1

0 0 0 2 0 0

1 - 1 0

1 0 1

































 

  

 

   

   

 

0 0 0 0

2 0 0

3 1 2

1

3 2 1

L L L

L L L L 0 0 0 1 1 0

1 - 1 0

1 0 1











La famille est donc une

famille libre ) u u , u u , u u

( ₁ _{2 2} _{3 3} ₁

Exercice 5

 Soit , , et quatre nombres réels (scalaires) :

car ( , , , ) est unefamille libre.

0 ) u u ( ) u u ( ) u u ( ) u

u

_{1 2 2 3 3 4 4 1}

(           























   

   

   





0 0 0 0

0 u ) ( ) ( ) (

) u

₁

u

₂

u

_{3 4}

( ^{               }



  

1

u

²

u

³

u



4

u

Exercice 5





















   

         0 0 0 0

4 3 2 1

L L L L

0 0 0 0

1 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1



4 4

3 3

1 2 2

1 1

L L

L L

L L L

L L

0 0 0 0

1 0 1 - 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1













4 4

2 3 3

2 2

1 1

L L

L L L

L L

L L

0 0 0 0

1 1 1 - 1

1 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1













3 4 4

3 3

2 2

1 1

L L L

L L

L L

L L

0 0 0 0

0 1 1 - 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1













Le dernier tableau correspond au système suivant :

Le système admet donc uneinfinité de solution:

la famille n’estpas libre,

elle estliée.

Exercice 5

quelconque

0 ; 0 0

 















       

        

 















) u u , u u , u u , u u

( ₁ _{2 2} _{3 3} _{4 4} ₁

Exercice 6

1) La familleBest constituée par :

 ; et

Bcontient3vecteurs, on calcule son déterminant :

DoncBest unebasede

) 0 ,1 ,1

u

^(

v

^(01,1,)

IR

3

) 1, 0 ,1

w

^(

0 2 1 1 1 0

1 1 1 1

0 1 1 1 0

0 1 1

1 0 1 ) B

det(       

Exercice 6

Soit la base canonique de . Le vecteur ts’écrit dans la base canonique : Le vecteur ts’écrit dans la baseB:

Nous voulons exprimerx’ ; y’ ; z’en fonction dex ; yetz

 ,

 , on remplace dans (2) :

) e , e , e

(

_{1 2 3}

IR

³

3

(1)

2

1

ye ze

xe

t   

w (2) 'z v 'y u ' x

t   

2 1

e e u

) 0 ,1 ,1

u

^( ^

^{ } v

^(01,1,)^

v ^ e

₂

^ e

₃

3 1

e e w

) 1, 0 ,1

w

^( ^

^{ }

On obtient :

Et en identifiant avec (1), on obtient :

) e e (' z ) e e (' y ) e e (' x w 'z v 'y u ' x

t    

₁



₂



₂



₃



₁



₃

3 2

1

( x ' y )' e ( 'y z )' e e

)' z ' x (

t      



















































 

    



) z y x ( 'z

) z y x ( 'y

) z y x ( ' x z 'z 'y 'y y ' x ' 'z x x

2 12 12 1

Ainsi, les coordonnées du vecteurtdans la base B sont données par :

Par exemple, si les coordonnées du vecteurt dans la base canonique sont (1,2,3), alors ses coordonnées dans la baseBsont (0,2,1)

) z y x ( 'z ), z y x ( 'y ), z y x ( '

x 

₂¹

  

¹₂

   

₂¹

 

Exercice 6

3) La familleBest constituée par :

 ; et

Bcontient3vecteurs, on calcule son déterminant :

Pour quelles valeurs dema-t-on : ?

) 3 ,1 , m

u

^(

v

^(,0m1,)

w

^(,1,0m)

1 m 3 1 m 3

m 1 m 1

0 m m m 1 3

0 m 1

1 0 m ) B

det(      ³ 

0 1 m 3 m³  

Le tableau de variation de la fonction montre qu’il existe3 valeurspour lesquelles on a :



f (' x )  3 x

²

 3  3 ( x

²

 1 )

f(x)

+ 0

_









3

Il suffit d’étudier la fonction :f(x)x³3x1 ff(x)0

10 +

-1

f’(x)



-1

  

x

Ainsi : , et tels que :

Pour cestrois valeursdemon a : et doncBn’est pas unebasede

[ 1 , ] m

₁

   



0 ) m ( f ) m ( f ) m (

f

₁



₂



₃



Exercice 6

[ 1, 1 ] m

₂

 

 [

,1 ] m

₃

 



0 ) B det(  IR

3

Exercices 1 & 2

Partie 2

Exercice 1

1) Écriture matriciellede f :

avec :

IR

3

IR

³

) z , y , x

( f ( x , y , z )

f

) z y x , z y x , z y x ( ) z , y , x (

f        

















































z y x 1 1 1

1 1 1

1

1

1