AL3 - Matrices Séance de TD - Corrigés des exercices -

(1)

AL3 - Matrices

Séance de TD

- Corrigés des exercices -

(2)

QCM

1) Lorsqu’il existe, le produit d’une matrice carrée par un vecteur donne :

une matrice carrée un vecteur un réel un déterminant

2) Le carré de la matrice 1 1

M 1 1

−

 

= −  (produit de M par elle-même) est :

2 2

−

 

− 

 

2 2

−

 

 − 

 

0 2

2 0

−

 

− 

 

2 0 0 2

 

 

 

3) Le déterminant de

0

0 0

0

a a

a

a a

 

 

− 

 

est :

0 a³ 2a³ 3a³

4) Parmi les propositions suivantes, laquelle est fausse ?

det(AB) = det(BA) det(AB) = det(A)×det(B) det(A^-1) = det(A) 5) La condition pour qu’une matrice carrée A soit inversible est :

det(A) = 0 termes diagonaux égaux det(A) = 1 det(A) ≠ 0 6) ^det

(

^{2 A}^×

)

⁼^:

( )

2×det A ⁴^×^det

( )

^A ⁸^×^det

( )

^A ça dépend de la dimension de A 7) Si une matrice carrée ne possède pas d’inverse, c’est que forcément…

elle est nulle son déterminant est nul sa trace est nulle 8) L’inverse de 5 3

1 2

 

− − 

  est :

2 1

1

3 5

7

− −

 

 

−  

2 3

1

1 5

7

 

− − 

−  

2 1

1

3 5

7

 

− − 

−  

2 3

1

1 5

7

− −

 

 

−  

9) L’inverse de la matrice 2 5 3 8

 

 

  est :

8 3

5 2

−

 

− 

 

8 5

3 2

−

 

− 

 

2 5

3 8

−

 

− 

 

8 3 5 2

 

 

 

10) L’inverse de la matrice 6 14

3 7

− −

 

 

  est :

7 3

14 6

 

 

− −

 

7 14

3 6

 

 

− −

 

7 3

14 6

−

 

 

 −  aucun des trois

11) Soit A une matrice carrée inversible et u et v deux vecteurs. Si A^-1×u = v, alors :

A×u = v A×v = u A×u⁻¹ = v A×v⁻¹ = u

12) AB est le produit de deux matrices carrées A et B inversibles. L’inverse de AB est alors :

AB^-1 BA^-1 A^-1B^-1 B^-1A^-1

(3)

1 GI FA 2015 – test 2 – Matrice inverse et puissances

Soit une matrice carrée A, inversible, telle que A² + A + I = O. (I représente la matrice identité et O la matrice nulle). A² représente bien entendu le produit A×A et pour tout entier n strictement positif, on définit Aⁿ comme le produit A×A×…×A (n facteurs). Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) Exprimer la matrice A^-1 en fonction de A.

A² + A + I = O ⇔ A(A + I) = -I ⇔ A(-A - I) = I.

Or, comme AA^-1 = I, on en déduit que A^-1 = -A - I

Remarque : à partir de l’égalité A² + A + I = O, on peut multiplier chaque terme à gauche par A^-1, ce qui donne : A^-1×A×A + A^-1×A + A^-1×I = A^-1×O, soit A + I + A^-1 = O, d’où A^-1 = -A - I.

2) a. Déterminer la matrice A³, puis, en fonction de A, l’expression de A⁴. A³ = A²×A = (-A - I)A = -A² - A = I. Donc A⁴ = A

b. En déduire A¹⁰⁰.

Toute multiplication par A³ est une multiplication par I. A¹⁰⁰ = A×A⁹⁹ = A×(A³)³³ = A×I³³ = A×I = A.

2 GI FC18/26 2015 – test – Système

Résoudre, par une méthode matricielle, le système suivant :

2 3 9

2 3 0

3 2 9

x y z

x y z x y z

+ + =



+ + =

 + + =



.

La matrice du système est

1 2 3

F 2 3 1

3 1 2

 

 

= 

 

 

, de déterminant -18.

Résolution par la méthode de Cramer :

9 2 3 1 9 3 1 2 9

0 3 1 2 0 1 2 3 0

9 1 2 18 3 9 2 36 3 1 9 72

1 ; 2 ; 4

18 18 18 18 18 18

x= =− = y= = = − z= =− =

− − − − − −

3 GI FC34 2015 – Système et inversion

1) Résoudre par une méthode matricielle (inverse ou Cramer) le système suivant :

2 2 11

2 2 1

2 2 2

x y z

x y z x y z

+ + =



− + =



 + − = −

 Matrice du système :

1 2 2

A 2 2 1

2 1 2

 

 

= − 

 − 

 

.

det(A) =

1 2 2

2 2 1 4 4 4 8 1 8 27

2 1 2

− = + + + − + =

−

, non nul : solution unique pour le système.

11 2 2 1 11 2 1 2 11

1 2 1 2 1 1 2 2 1

2 1 2 27 2 2 2 54 2 1 2 81

1 ; 2 ; 3

27 27 27 27 27 27

x y z

− −

− − − − −

= = = = = = = = =

(4)

2) On considère la matrice

1 2 2

A 2 2 1

2 1 2

 

 

= − 

 − 

 

et la matrice

1 2 2

1 1

B 2 2 1 A

3 3

2 1 2

 

 

=  − =

 − 

 

. a. Justifier que la matrice A est symétrique.

De part et d’autre de sa diagonale principale, les termes sont égaux : 2,2 ; 2,2 ; 1,1.

b. Vérifier que les trois vecteurs qui composent les colonnes de la matrice A sont deux à deux orthogonaux.

; ;

1 2 2 2 1 2

2 2 2 4 2 0 1 2 4 2 2 0 2 1 2 2 4 0

2 1 2 1 2 2

           

           

⋅ − = − + = ⋅ − = − − = ⋅ = + − =

           

    −      − 

           

c. Vérifier que le déterminant de la matrice B vaut 1 (pour information, cette propriété, combinée au résultat de la question précédente, fait de la matrice B une matrice orthogonale).

Pour cette question, on se souviendra qu’en dimension n, det(k×M) = kⁿ × det(M).

On a vu en question 1 que det(A) = 27. En dimension 3, det(kA) vaut donc k³.det(A) = 27k³. Donc det(B) = det 1 1₃ .

A 27 1

3 3

 

= × =

 

 

d. Montrer que B² = I (B² est le produit B×B et I est la matrice identité).

2

1 2 2 1 2 2 1 4 4 2 4 2 2 2 4 9 0 0

1 1 1 1

B 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 4 1 4 2 2 0 9 0 I

3 3 9 9

2 1 2 2 1 2 2 2 4 4 2 2 4 1 4 0 0 9

+ + − + + −

       

       

= × × −   − =  − + + + − − =  =

 −   −   + − − − + +   

       

e. En déduire la matrice inverse de B, puis en déduire celle de A.

Dire que la matrice B est inversible, c’est dire qu’il existe une matrice B^-1 telle que B.B^-1 = I.

Or d’après la question précédente, B.B = I. En conclusion, B^-1 = B.

B.B = I devient 3B.1

3 B = I et comme A = 3B : A.1

9 A = I, soit A^-1 = 1 9A.

4 GI FA 2012 – test 2 – Système

Une entreprise de matériel électronique fabrique des Tablettes (T), des Smartphones (S) et des écrans LCD (E) à l'aide de trois machines M1, M2 et M3. Les consommations électriques (en kwh) par machine et par produit sont les suivantes :

M1 M2 M3

(T) 3 2 3

(S) 2 1 0

(E) 1 3 2

Au bout d'un certain temps, on relève les consommations totales de chaque machine : M1 : 56 kwh M2 : 63 kwh M3 : 54 kwh

En choisissant une méthode matricielle parmi la méthode de Cramer ou l'inversion de matrice, déterminer le nombre d'appareils de chaque type fabriqués durant cette période.

Notons C1, C2 et C3 les consommations totales respectives des machines M1, M2 et M3 et x, y et z les quantités respectives de (T), (S) et (E) fabriquées.

(5)

Ces consommations s'écrivent :

1 2 3

3 2 56

2 3 63

3 2 54 x y z x y z x z

= + + =



= + + =

 = + =

 C C C

• Par la méthode de Cramer : Le déterminant du système est :

3 2 1

2 1 3 13 0 3 0 2

= ≠ , d’où une solution unique. On obtient :

56 2 1 63 1 3 54 0 2 130

13 13 10

x= = =

3 56 1 2 63 3 3 54 2 91

13 13 7

y= = =

3 2 56 2 1 63 3 0 54 156

13 13 12

z= = =

• Méthode par inversion de matrice :

Le système ci-dessus est équivalent à l'écriture matricielle : A× =X B Avec

 

 

= 

 

 

3 2 1 2 1 3 3 0 2

A ;

x

X y

z

  

= 

  

et

 

 

= 

 

  56 53 54

B Le déterminant de la matrice A, calculé ci- dessus, est différent de 0, donc A est inversible et on peut écrire : X =A⁻¹×B.

Calculons A⁻¹ à l'aide de la formule

( ) ( )

−¹= 1 _T

A Com A

det A

( )

1 3 2 3 2 1

0 2 3 2 3 0

2 5 3

2 1 3 1 3 2

4 3 6

0 2 3 2 3 0

5 7 1

2 1 3 1 3 2

1 3 2 3 2 1

 

−

 

−

 

 

= − −  = − − − 

 − 

 

 

Com A et donc ¹

2 4 5

1 5 3 7

13 3 6 1

−

 

 

=  − 

− − 

 

A

D'où ¹

56 2 4 5 56 130 10

1 1

63 5 3 7 63 91 7

13 13

54 3 6 1 54 156 12

x X = y z

−

           

           

= × = − × = =

           

    − −       

           

A

On retrouve bien les mêmes résultats que par la première méthode.

Finalement, il est fabriqué : 10 appareils (T), 7 appareils (S) et 12 appareils (E).

5 GI FC18/26 2014 – Vecteurs, application et système

On donne la matrice

2 0 1 F 0 1 2

1 1 0

−

 

 

= 

− 

 

et on définit la fonction vectorielle f qui, à tout vecteur X x y z

  

= 

   ,

associe le vecteur ^Y

( )

^X ^F.X ²⁰ ⁰¹ ²¹

1 1 0 x

f y

z

−

  

  

= = =  

−  

  

.

1) Soit les vecteurs

   

   

=  = 

   

   

1 2

1 1

X 1 et X 2

1 0

(6)

a. Déterminer les vecteurs Y et Y , images des vecteurs ₁ ₂ X et X par la fonction f. ₁ ₂

− −

         

         

= =    = = =    =

−     −    

         

1 1 2 2

2 0 1 1 1 2 0 1 1 2

Y F.X 0 1 2 1 3 ; Y F.X 0 1 2 2 2

1 1 0 1 0 1 1 0 0 1

b. Déterminer le vecteur X₁∧X . ₂

−

     

     

∧ =    ∧ = 

     

     

1 2

1 1 2

X X 1 2 1

1 0 1

c. L’égalité ^f

(

^X¹^∧^X²

) ( ) ( )

⁼ ^f ^X¹ ^∧ ^f ^X² est-elle vraie ?

( )

f

− − −

          

          

∧ =   =  ∧ =    ∧ = − 

−         − 

          

1 2 1 2

2 0 1 2 5 1 2 3

X X 0 1 2 1 3 ; Y Y 3 2 1

1 1 0 1 3 0 1 4

Les deux résultats ne sont pas égaux.

d. Quelle est la valeur de l’angle formé par les vecteurs ^f

(

^X¹^∧^{X et}²

)

^f

( ) ( )

^X¹ ^∧ ^f ^X² ^?

( ) ( )

( )

cos f ,

f ϕ

−

   

   

  ⋅ − 

   

∧ ⋅ ∧   −  −

= = = ≈ −

+ + × + + ×

∧ × ∧

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

5 3

3 1

X X Y Y 3 4 30

0 89722 43 26

5 3 3 3 1 4

X X Y Y

Cet angle vaut donc environ 2,684 rad ou encore 153,8°.

2) Quel vecteur est l’antécédent de

  

= 

  

1

X 1

1 ?

Autrement dit : résoudre matriciellement le système

x y z

−

    

    

    =

−    

    

2 0 1 1

0 1 2 1

1 1 0 1

.

−

= + + − − − = −

−

2 0 1

0 1 2 0 0 0 1 4 0 5

1 1 0

, non nul : solution unique pour le système.

x y z

− −

= = = = = = = = = −

− − − − − −

1 0 1 2 1 1 2 0 1

1 1 2 0 1 2 0 1 1

1 1 0 2 1 1 0 7 1 1 1 1

0,4 ; 1,4 ; 0,2

5 5 5 5 5 5

L’antécédent de

  

= 

  

1

X 1

1

est le vecteur

 

 

− 

 

0,4 1,4 0,2

. On pourra vérifier que

−

    

    =

    

− −   

    

2 0 1 0,4 1

0 1 2 1,4 1

1 1 0 0,2 1

.

(7)

6 GI FC34 2014 – Vecteurs et changement de base

1) On donne la matrice P =  − 

 

 

2 3

1 1 . a. Calculer le déterminant de P.

det(P) = 2+3 = 5

b. Donner la matrice inverse de P.

P^-1 =  

− 

 

1 3

1

1 2

5 .

2) Dans une base

( )

^{i j}^, , on donne les vecteurs M  

= 

  3

0 , u  

= 

  2

1 et v − 

= 

  3 1 . a. Déterminer les coordonnées du vecteur M dans la base

( )

^{u v}^, ^.

On remarque que P =

[ ]

^{u v} _ij^.^Mûv ⁼^^{i j}^_uv^.^Mîj ⁼ ⁻ ^.^Mîj ⁼ ^− ^{ }  ⁼ ^− ^

1 1 1 3 3 1 3

P 5 1 2 0 5 3 .

b. On note x y

  

  les coordonnées d’un vecteur dans la base

( )

^{i j}^, ^et^^_^x_y^′_′^^_ celles du même vecteur dans la base

( )

^{u v}^, ^{. Si}^x^et^y dépendent l’une de l’autre par la relation y = 2x + 3, donner alors une relation qui unit x’ et y’.

x x x

y x x

′ +

      

= =

 ′ −  +   + 

      

1 3 7 9

1 1

1 2 2 3 3 6

5 5 . On constate par exemple que 7y’ = 3x’ + 3.

7 GI FA 2016 – test 2 – Système

1) Résoudre, par une méthode matricielle, le système

x y mz m x my z

x y z + + =



+ − =



 + − =



1 1

où m est un nombre réel quelconque.

Donner les conditions sur m pour que ce système admette une solution (x, y, z) unique.

Matrice du système :

m m

 

 

= − 

 − 

 

1 1

A 1 1

1 1 1

. det(A) = -m – 1 + m - m² + 1 + 1 = 1 – m².

Ce système possède donc une solution unique ssi m≠±1.

Par la méthode de Cramer :

( )

2 2

2 2 2

1

1 1

1 1 1 1 1 2 1 2

1 1 1 1

m m

m

m m

m m m m m

x m m m m

−

− − − + − + + −

= = = =

− − − +

(8)

( )

2 2

2 2 2

2 2 2 2

1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 0

1 1

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

m m

m m m m

y m m

m m

m m m m m m m

z m m m m m

−

− − − + − + +

= = =

− −

+ + − − − − + − − − −

= = = = =

− − − − +

2) Quelle est la condition sur m pour que l'unique vecteur x y z

  

  

 

solution du système soit de norme 1 ?

Il faut et il suffit que x²+ + =y² z² 1 , soit m m

m m

−

  +  =

 +   + 

   

2 2

2 1

1 1 1

m m

m m m m

m m

− +

⇔ = ⇔ − = ⇔ = =

+ +

2

2 2

5 2 1

1 4 4 0 0 ou 1

2 1 . Mais on a vu que m ne pouvait valoir 1. Ainsi, ce

vecteur sera de norme 1 à la condition que m = 0.

À ce moment-là, le système est

x y x z x y z

+ =



− =

 + − =



0 1 1

et son unique solution est x y z

   

   

  = 

  − 

    0 0 1

.

8 GI FA 2014 – test 2 – Système et application linéaire

L'espace de dimension 3 est muni d'une base ^B⁼

(

^{i j k}^{, ,}

)

, dans laquelle on définit l'application linéaire vectorielle f par sa matrice

−

 

 

= − 

 − 

 

2 1 3

F 1 5 1

2 3 1

. On rappelle qu’alors l’image par f d’un vecteur x

X y

z

  

= 

   est le vecteur ^Y ⁼^{f X}

( )

^{= ×}^F ^X . Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : Déterminer le vecteur x

X y

z

  

= 

  

dont l’image par f est Y

−

 

 

= 

 

  1 2 1

. Choisissons par exemple la méthode de Cramer :

Le déterminant du système est ⁻ ^{− =} × − × + × −

( )

^{= −}

− cofacteurs avec colonne 1

2 1 3

1 5 1 2 2 1 8 2 14 32

2 3 1

Le déterminant étant différent de 0, le système admet une solution unique donnée par :

( )

x

− −

= − = − × − × + × − =− =

− − − −

1 1 3

1 1 32

2 5 1 1 2 2 8 1 14 1

32 32 32

1 3 1

( ) ( )

( )

y

−

= − = × − × − + × − = =

− − −

2 1 3

1 1 0

1 2 1 2 3 1 4 2 5 0

32 32 32

2 1 1

(9)

( ( ) )

z

− −

= = × − × − + × = = −

− − −

−

2 1 1

1 1 32

1 5 2 2 11 1 4 2 3 1

32 32 32

2 3 1

Le vecteur dont l’image par f est Y

−

 

 

= 

 

  1 2 1

. est X

 

 

= 

− 

  1 0 1

.

Partie 2 : 1) Soit X

 

 

= 

− 

 

B

1 0 1

exprimé dans la base B. Donner les coordonnées du vecteur Y_B dans la base B.

Y

− −

    

    

= −   = 

 − −   

    

B

2 1 3 1 1

1 5 1 0 2

2 3 1 1 1

.

2) On définit une nouvelle base dans cet espace : ^B^{′ =}

(

^{u v w}^{, ,}

)

; on désignera les matrices de passage d’une base à l’autre par ^P=

[

u v w^{, ,}

]

ijk ^{et P}′=i j k^{, ,} uvw et on donne

1 1 1

P 0 2 1

0 1 0

−

 

 

′ = 

 

 

.

a. Justifier que

1 1 3

P 0 0 1

0 1 2

−

 

 

= 

 − 

 

.

P et P’ sont forcément deux matrices inverses, donc PP’ = I. Vérifions :

1 1 3 1 1 1 1 0 0 1 2 3 1 1 0 1 0 0

PP 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 I

0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 2 2 0 1 0 0 0 1

− − + + − − + − +

      

      

′ =   = + + + + + +  = =

 −    + + + − + +   

      

b. Déterminer la matrice F’ de l’application f dans la base B’.

1 1 1 2 1 3 1 1 3 3 9 5 1 1 3 3 2 10

F P FP 0 2 1 1 5 1 0 0 1 4 7 1 0 0 1 4 5 21

0 1 0 2 3 1 0 1 2 1 5 1 0 1 2 1 2 10

− − − − − −

        

        

′= ′ =  −   = −   = − 

  −  −   −  −   − 

        

c. Déterminer les coordonnées du vecteur X_B_′, défini en question 1, dans la base B’.

B B

1 1 1 1 0

P 0 2 1 0 1

0 1 0 1 0

X _′ X

−

    

    

= ′ =   = − 

 −   

    

d. À partir de deux formules différentes, déterminer les coordonnées du vecteur Y_B_′ dans la base B’.

B B ; B B

3 2 10 0 2 1 1 1 1 2

F 4 5 21 1 5 P 0 2 1 2 5

1 2 10 0 2 0 1 0 1 2

Y_′ X _′ Y_′ Y

− − − − −

          

          

′ ′

= = − − =   = =    = 

 −          

          

.

(10)

9 GI FC34 2016 – Système et changement de base

Dans un espace vectoriel de dimension deux, muni d’une base

( )

^{i j}^, , on définit l’application linéaire f dont la matrice est 1 3

F^ij 2 4

−

 

= 

 . Autrement dit, l’image par f de tout vecteur x

u y

=  

 ^est f u

( )

= ×^Fij u 1) Déterminer le vecteur x

w y

=  

 ^{tel que} ^{f w}

( )

⁼^^₁₈⁻¹^^

 . Autrement dit : résoudre matriciellement le système suivant : 3 1

2 4 18

x y

− = −



+ =

 ^.

Matrice du système : 1 3 F^ij 2 4

−

 

= 

 ^{. det(F}^ij) = 10, non nul : solution unique pour le système.

1 3 1 1

18 4 50 2 18 20

5 ; 2

10 10 10 10

x y

− − −

= = = = = =

Résolution par l’inverse : ¹ 1 1 4 3 1 1 50 5

F^ij 18 10 2 1 18 10 20 2

x y

− − −

          

= × = = =

    −      

          

2) On crée dans cet espace une nouvelle base, formée par les vecteurs 5 u  2

= 

 ^et

2 v −5

= 

 ^. a. Donner le contenu des matrices de passage d’une base vers l’autre :

[ ]

u v ij et

i j uv

 

  ^.

[ ]

u v ij ₂⁵ −₅²

= 

 ^et i j uv

[ ]

u v ij⁻¹ ₂₉¹  ⁵_{2 5}²

  = =  

  − ^.

b. Donner la matrice F_uv de l’application f dans la base

( )

^{u v}^, ^.

[ ]

¹ ⁵ ^{2 1} ^{3 5} ² ¹ ⁵ ² ¹ ¹⁷ ¹ ³¹ ⁵³

F F

2 5 2 4 2 5 2 5 18 16 92 114

29 29 29

uv i j uv ij u v ij   −  −   − −   − 

 

=  × × = −   = −  =  

10 GI FA 2013 – test 2 – Valeurs et vecteurs propres

Dans la base canonique

( )

^{i j}^, ^{, soit}^f^:^ℝ²^→^ℝ² définie par : ^v ^x ^{f v}

( )

¹₅ ³₄^x ⁴₃^y

y x y

+

   

=  ֏ =  −  1) Écrire la matrice de f, notée A, dans la base

( )

^{i j}^, , telle que ^{f v}

( )

⁼^A^.^v

3 4 3 4 3 4 .

1 1 1

A , puisque

4 3 4 3 4 3

5 5 5

x x y

y x y

+

      

=  −   −   =  − 

2) Montrer que le vecteur ₁ 2 v  1

= 

  est un vecteur propre de f. Quelle est la valeur propre associée ?

( )

1 1 1

A 2

f v v  1 v

= = =

  C’est donc un vecteur propre de f, associé à la valeur propre 1.

3) Montrer que le vecteur ₂ 1 v −2 

= 

  est un vecteur propre de f. Quelle est la valeur propre associée ?

(11)

( )

2 2 2

A 1

f v v  2 v

= = = −

−  C’est donc un vecteur propre de f, associé à la valeur propre -1.

4) Justifier que les vecteurs v₁ et v₂ forment une base du plan. Ecrire la matrice, notée D, de f dans cette base

(

v v1^, 2

)

de vecteurs propres.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Ils forment donc une base du plan. Autrement dit, la matrice carrée qu’ils forment a un déterminant différent de zéro. La matrice D, de f dans cette base propre, est la matrice diagonale des vecteurs propres : 1 0

D 0 1

 

= 

−

 ^.

5) Écrire la matrice de passage, notée P, de la base

(

v v1^, 2

)

vers la base

( )

^{i j}^, ^.

P = 2 1

1 2

−

 

 

 . 6) Calculer P^-1.

det(P) = 5. P^-1 = 1 2 1 5 1 2

 

− 

 .

7) Quelle est la relation entre A, D, P et P^-1 ? Le vérifier par le calcul.

D = P^-1.A.P

-1 1 2 1

P AP 5 1 2

 

= − 

3 4

1

4 3

5

 

 − 

 

2 1

1 2

−

 

 

  = 1 2 1 10 5 1 25 0 1 0

1 2 5 10 0 25 0 1 D

25 25

      

= = =

−  −   −   − 

      

11 GI FC18/26 2016 – Valeurs et vecteurs propres

f est une application linéaire réelle dans l'espace de dimension 2 : à tout vecteur X de coordonnées réelles, elle fait correspondre le vecteur ^Y ⁼ ^{f X}

( )

⁼^{F X} où F est la matrice 1 3

2 6

 

 

 . 1) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l'application linéaire f .

Valeurs propres : ^det

(

^F⁻^λ^I

)

^{= ⇔}⁰ ¹⁻₂^λ ₆₋³_λ ^{= ⇔}⁰ ^λ²⁻⁷^λ^{= ⇔ =}⁰ ^λ ^{0 ou}^λ⁼⁷

Vecteurs propres associés à λ=0^:

1 3 0 .

3 0

2 6 0

x x y

y

    

= ⇔ + =

    

     Vecteurs propres : 3 ^*

1 , a−  a

∈

 

  ℝ

Vecteurs propres associés à λ=7^:

1 3 7 .

2 6 7 2

x x

y x

y y

    

= ⇔ =

    

     Vecteurs propres : 1 ^*

2 , b  b

∈

   ℝ

2) Une des valeurs propres est particulière ; expliquer ce qu'elle implique pour les images des vecteurs propres concernés.

La valeur propre nulle indique que les vecteurs 3 ^* 1 ,

a−  a

∈

 

  ℝ , ont une image nulle par f.

3) Caractériser les vecteurs X tels que ^{f X}

( )

⁼ ^X , dans une base propre.

(12)

Dans une base propre, la matrice de l'application f est diagonale et contient ses deux valeurs propres, donc par exemple 0 0

0 7

 

 

 , si bien qu'ici ^X ⁼^{ }^{ }_{ }^x_y ^⇒ ^{f X}

( )

⁼^^_^{0 0}_{0 7}^{  }^{  }_{  }^x_y ⁼ ₇⁰_y^^_^.

Ainsi : ^{f X}

( )

⁼ ^X ^⇔^x²⁺^y²⁼⁴⁹^y²^{⇔ = ±}^x ^y ⁴⁸^{= ±}^{4 3}^×^y. Les vecteurs dont la norme est égale à celle de leur image par f appartiennent aux droites vectorielles 4 3

1 ,

c c

 

∈

 

 

ℝ et 4 3 1 ,

d d

−  ∈

 

 

ℝ.

Moins simple, non demandé, mais qui représente un entraînement utile : Dans la base initiale, ^{f X}

( )

⁼^^_^{1 3}_{2 6}^{  }^{  }_{  }^x_y ⁼ ₂^x_x⁺₊³₆^y_y^^_^.

( ) ⁽ ^{) (} ⁾

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 2 6 5 45 30 4 30 44 0

2 7,5 3,5 2

225 49

2 7,5 44 0 2 7,5

2 7,5 3,5 5,5

4 4

f X X x y x y x y x y xy x xy y

x y y x y

x y y y x y y

x y y x y

= ⇔ + = + + + = + + ⇔ + + =

+ = ⇔ = −

⇔ + − + = ⇔ + = ⇔

+ = − ⇔ = −



Les vecteurs dont la norme est égale à celle de leur image par f appartiennent aux droites vectorielles 2 ,

c−1  c

  ∈

  ℝ et 5,5 1 , d−  d

  ∈

  ℝ.

On pourra également remarquer que les solutions dans la base initiale ne correspondent pas à celles de la base propre (par utilisation d'une matrice de passage) : deux vecteurs peuvent avoir la même norme dans une base, mais pas dans une autre !

12 GI FA 2016 – test 2 – Puissances d'une matrice diagonalisable

On donne la matrice A − − 

= 

 

2 1

3 2 définie dans une base

( )

^{i j}^, . L'objectif de l'exercice est de déterminer une expression simple de A^k = × × ×A A ... A (k facteurs) en fonction de k.

1) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de A.

( )

det A λI λ λ λ

− − −

− = = −

−

2 1 2

3 2 1. λ1 = -1 et λ2 = 1 Vecteurs propres associés à λ¹^{= -1 :}

. , *

x x

x y a a

y y

λ λ

− − − − −

           

= ⇒ = ⇔ = − ∈

 −          − 

           

2 1 0 1 1 0 1

Vecteurs propres :

3 2 0 3 3 0 1 ℝ

Vecteurs propres associés à λ²^{= 1 :}

. , *

x x

y x a a

y y

λ λ

− − − − −

           

= ⇒ = ⇔ = − ∈

 −          − 

           

2 1 0 3 1 0 1

3 Vecteurs propres :

3 2 0 3 1 0 3 ℝ

2) Montrer alors que les matrices P  

=− − 

1 1

1 3 et 1 3 1

1 1

P 2 

′ = − −  peuvent être choisies comme matrices de passage entre la base

( )

^{i j}^, et une base de vecteurs propres.

(13)

En choisissant V  

= 

− 

1

1 et V  

= 

− 

2

1

3 comme représentants des deux groupes de vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres – 1 et 1, on a immédiatement la matrice de passage

P  

=− − 

1 1

1 3 de la base des vecteurs propres

( )

^{V V}¹^, ² vers la base

( )

^{i j}^, ^.

On vérifie facilement que 1 0

PP P P I 0 1

′= ′ = = 

 , donc P' est la matrice inverse de P, et est par conséquent la matrice de passage de la base

( )

^{i j}^, vers la base

( )

^{V V}¹^, ² ^.

Remarque :

On peut aussi calculer P⁻¹à partir de P :

( )

P det

P

− − −  − −   

=  =  =  

− −

−

     

1 1 3 1 1 3 1 1 3 1

1 1 2 1 1 2 1 1 et l'on

constate bien que P⁻¹=P'

3) On note D la matrice obtenue en diagonalisant A dans sa base de vecteurs propres.

Écrire la relation entre D et A, puis montrer que A^k =PD P^k ⁻¹

On sait que D=P AP⁻¹ . Donc PD=PP AP⁻¹ =AP et ainsi PDP⁻¹= APP⁻¹= A.

( )( ) (

^...

)

Ak = PDP⁻¹ PDP⁻¹ PDP⁻¹ . Entre chaque apparition de D se trouve le produit P^-1P qui vaut l'identité et donc qui se simplifie. Les matrices D se multiplient donc entre elles : A^k =PD P^k ⁻¹. 4) On admet que si D λ

λ

 

= 

 

1 2

0

0 , alors

k k

D λ k

λ

 

= 

 

1 2

0

0 . Calculer alors A^k en fonction de k, puis donner les expressions simples de cette matrice suivant que k est pair ou impair.

( )

^k

Dk = − 

 

1 0

0 1 . Donc :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

k k k

k

k k

A

k k

   

  −     − −

= − −  − − = − −  − − 

 − − − −    − − 

 

= − − + − − +  =   

1 1 3 1 1 1

1 1 0 1 3 1 1

1 3 1 1 1 3

2 0 1 2 1 1

3 1 1 1 1 1 0 2 1

1 si est pair et si est impair

0 1 3 2

2 3 1 3 1 3

13 GI FA 2015 – Test 2 – Vecteurs propres et système différentiel

1) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice 3 6

2 1

 

 − 

  . On notera λ¹^etλ² ces valeurs propres, avec λ1 < λ2, et V et _p1 V les vecteurs propres correspondants. _p2

Recherche des valeurs propres :

( )( )

² ¹ ²

3 6

0 3 1 12 0 2 15 0 3 et 5

2 1

λ λ λ λ λ λ λ

λ

− = ⇔ − − + − = ⇔ − − = ⇔ = − =

− −

Recherche des vecteurs propres :

* V : _p1

. _p1 _p1 3 6 3 6 3 _p1 1 , *

F V 3V 3 V

2 1 2 3 1

x x x y x

y x

y y x⁺ y ^{= −}y α α

       

= − ⇔  = −   ⇔ ⇔ = − =   ∈

− − = − −

       

ℝ

(14)

* V : _p2

. _p2 _p2 3 6 3 6 5 _p2 3 , *

F V 5V 5 3 V

2 1 2 5 1

x x x y x

x y

y y x⁺ y ⁼ y α α

       

= ⇔ −   =    ⇔ − = ⇔ = =    ∈ℝ

2) On étudie un système mécanique, composé d’une masse reliée à des ressorts et dont les mouvements se cantonnent au plan (O, x, y) qui est muni d’une base

( )

^{i j}^, . Les coordonnées x et y de cette masse sont des fonctions du temps, qui, dans la base

( )

^{i j}^, , sont reliées par le système différentiel suivant :

3 6

2

x x y

y x y

′ = +



′ = −

 où d d

d et d

x y

t t

′= ′= .

Notre objectif est de résoudre ce système afin de déterminer les expressions de ces deux fonctions.

On notera w le vecteur x y

  

 , w x

w t y

′

 

′ = = ′ d

d son vecteur dérivé par rapport au temps, et A la matrice

3 6

2 1

 

 

 − , si bien que le système différentiel précédent s’écrit matriciellement w′ =Aw.

a. Grâce aux résultats de la question 1), sélectionner deux vecteurs propres V et V de la matrice A (un par ₁ ₂ valeur propre) ; justifier que ce couple de vecteurs propres peut définir une base du plan (x, y).

   

−  = 

   

1 2

1 3

V = et V

1 1

b. Les notations x , x

w w

y y

′

   

′

=   = ′ et A dans la base

( )

^{i j}^, deviennent X , X

W W

Y Y

′

   

′

=  = ′ et B dans la base propre

( )

^{V V}¹^, ² . Donner la matrice B.

−

 

= 

 

B 3 0

0 5

c. Que devient, dans cette base propre, le système différentiel reliant X, Y, X’ et Y’ ?

X X

W W

Y Y

′ = −

′ = ⇔

′ =

 B 3

5

d. Résoudre alors ce système simple, c’est-à-dire donner les fonctions X et Y du temps.

t t

X X X C

Y Y Y D

′ = −  = −

 ⇔

 

′ = =

 

3 5

3 e

5 e

e. Par changement de base, le vecteur W étant maintenant connu, donner alors le vecteur w dans la base

( )

^{i j}^, et ainsi les fonctions x et y du temps recherchées initialement.

w=PW avec

ij

 

 

= ¹ ² =− 

1 3

P V V

1 1 , donc

( )

t t

x X X Y x t C D

y Y X Y y t C D

−

+  = +

        

= = ⇔

       

− − +  = − +

        

3 5

1 3 3 e 3 e

1 1 e e