D´epartement de Math´ematiques MASS - Analyse 2
Universit´e de Lille 1 Ann´ee 2009/2010
Examen MASS - Analyse 2 du 24. Juin 2010
Dur´ee 2h, Documents et appareils num´eriques interdits.
Toute r´eponse est `a justifier avec soin.
Exercice 1 D´eterminer les primitives suivantes:
1.
Z
tan(4x)dx.
2.
Z
exp(√ x)dx.
Exercice 2 Soit f(x) = arccos(2x).
1. Donner le domaine de d´efinitionDf de la fonctionf. 2. D´eterminerf0(x),x∈Df.
3. D´eterminer le d´eveloppement limit´e de f `a l’origine `a l’ordre 4.
Exercice 3 On consid`ere l’´equation dif´erentielle
y0 =eycos(x). (1)
1. D´eterminer les solutions de (1) et pr´eciser les domaines de d´efinition des solutions.
2. Faire un dessin des courbes int´egrales de (1).
Exercice 4 Soit g:R→R une fonction continue et consid´erons l’´equation diff´erentielle
y00−3y0+ 2y =sin(2x). (2)
1. Trouver les solutions de l’´equation homog`ene assoi´ee `a (2).
2. Trouver toutes les solutions de (2).
Tournez la page svp.
Exercice 5 Soit I =]0,√
π[ et soient x ety des fonctions de classe C1(I). On consid`ere la courbe param´etr´ee Γ =γ(I) o`u γ(t) = (x(t), y(t)), t∈I.
1. Quelle est la formule qui permet de d´eterminer la longueurl(Γ) de la courbe Γ?
2. D´eterminer la longueur de la courbe Γ =γ(I) dans le cas o`u x(t) = cos(t2) et y(t) = sin(t2).
