M´ecanique des ﬂuides

(1)

M´ ecanique des fluides

Mahdi Ben Jelloul

Laboratoire de Physique des Oc´eans Universit´e de Bretagne Occidentale

Licence de Sciences Physiques. Second semestre 2003–2004

(2)

1. Introduction 2. Cin´ematique

3. Ecoulements incompressibles´ 4. Dynamique

5. Hydrostatique 6. FLuide parfait 7. Fluide visqueux

(3)

Cin´ ematique des fluides

1 Approximation des milieux continus

2 Euler vs. Lagrange

3 Visualisation d’un ´ecoulement

4 Evolution temporelle en suivant le mouvement´ D´eriv´ee particulaire

Formule de Reynolds

5 Lois de conservation

Equation de conservation locale´

6 Champ de vitesse

Le tenseur des taux de d´eformations Conditions aux limites cin´ematiques

(4)

Cin´ ematique des fluides

Formule de Reynolds

6 Champ de vitesse

(5)

Cin´ ematique des fluides

Formule de Reynolds

6 Champ de vitesse

(6)

Cin´ ematique des fluides

Formule de Reynolds

6 Champ de vitesse

(7)

Cin´ ematique des fluides

Formule de Reynolds

6 Champ de vitesse

(8)

Cin´ ematique des fluides

Formule de Reynolds

6 Champ de vitesse

(9)

Approximation des milieux continus

Echelle de la m´´ ecanique des milieux continus : microscopique <m´esoscopique <macroscopique Description en terme de champ:

valeur moyenne sur un volume ´el´ementaire (particule fluide) fonction continue de la variable d’espacer

Cas particulier du fluide :

scalaire: masse volumiqueρ(r,t), pressionp(r,t), temp´erature T(r,t),

vectoriels: vitesseu(r,t).

(10)

Approximation des milieux continus

(11)

Approximation des milieux continus

(12)

Approximation des milieux continus

(13)

Approximation des milieux continus

(14)

Approximation des milieux continus

(15)

Approximation des milieux continus

(16)

Approximation des milieux continus

(17)

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

Lacin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

Rep´erer une particule fluide

r=R(r0,t),

r0=R(r0,t0) coordonnée matérielle (étiquette Lagrangienne) rcoordonnée spatiale à l’instant t (description eulérienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance détermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

(18)

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

La cin´ematique est l’´etude des mouvements abstraction faite des forces qui les produisent.

r=R(r0,t),

particules fluides.

(19)

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

r=R(r0,t),

particules fluides.

(20)

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

r=R(r0,t),

r0=R(r0,t0)coordonnée matérielle(étiquette Lagrangienne) rcoordonnée spatiale à l’instant t (description eulérienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance détermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

(21)

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

r=R(r0,t),

r0=R(r0,t0) coordonnée matérielle (étiquette Lagrangienne) rcoordonnée spatialeà l’instant t (description eulérienne) La fonctionRest une fonction de l’espace et du temps dont la connaissance détermine parfaitement le mouvement de

particules fluides.

(22)

Coordonn´ ee Lagrangienne vs. coordonn´ ee Eul´ erienne (1)

r=R(r0,t),

particules fluides.

(23)

Description Lagrangienne vs. description Eul´ erienne (2)

1. Point de vue Lagrangien : c’est point de vue particulaire; la mesure de l’évolution du paramètre se fait en suivant le mouvement. La valeur d’un paramètre est donné par la fonction f0(r0,t) qui est la valeur de celui-ci à l’instantt pour une particule fluide se trouvant enr₀ àt = 0.

2. Point de vue Eulérien : L’évolution du paramètre est étudié en un point fixe par la donnée de la fonction

f(r,t) =f(R(r0,t),t).

(24)

Description Lagrangienne vs. description Eul´ erienne (2)

1. Point de vue Lagrangien : c’est point de vue particulaire ; la mesure de l’évolution du paramètre se fait en suivant le mouvement. La valeur d’un paramètre est donné par la fonction f0(r0,t) qui est la valeur de celui-ci à l’instantt pour une particule fluide se trouvant enr₀ àt = 0.

2. Point de vue Eulérien : L’évolution du paramètre est étudié enun point fixe par la donnée de la fonction

f(r,t) =f(R(r0,t),t).

(25)

Champs de vitesse

Par d´efinition, le champ de vitesse en un pointr et `a un instant t d’une particule fluide

u(r,t)≡ ∂R(r₀,t)

∂t

r0=R⁻¹_t (r)

, (1)

où R⁻¹_t est la fonction réciproque de la fonction Rt définie par Rt(r0) =R(r0,t).

La description Eul´erienne est plus facile `a l’usage, c’est celle que nous retiendrons.

(26)

Champs de vitesse

Par d´efinition, le champ de vitesse en un pointr et `a un instant t d’une particule fluide

u(r,t)≡ ∂R(r₀,t)

∂t

r0=R⁻¹_t (r)

, (1)

où R⁻¹_t est la fonction réciproque de la fonction Rt définie par Rt(r0) =R(r0,t).

La description Eul´erienne est plus facile `a l’usage, c’est celle que nous retiendrons.

(27)

Visualiser et repr´ esenter graphiquement

1. Trajectoires particulaires: Certaines particules sont marquées et il est ainsi possible de suivre leurs trajectoires. C’est la courbe représentative de la fonctionR(r₀,t) lorsque r₀ fixé et seul le temps t est variable.

2. Lignes de courants: Les lignes de courant sont les courbes qui sont, pour un instant t donné, tangente au champ de vitesse. Ce sont les courbes intégrales du champs de vitesse à un instant t donné. Elles vérifient donc :

dx u = dy

v = dz w

(28)

D´ eriv´ ee particulaire

une grandeur scalaire (ou vectorielle)f(r,t)

un observateur rep´er´e par :r=R(t) suivant le mouvement du fluide

Par d´efinition de la vitesse u: ^dR_dt ≡u(R(t),t).

L’évolution en suivant le mouvement est donnée par la dérivée particulaire, ou dérivée Lagrangienne :

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t)

= dR

dt ·∇f|_r=R(t)

| {z }

´

evolution implicite

+ ∂f

∂t

|{z}

´

evolution explicite

=u·∇f|_r=R(t)+∂f

∂t

(29)

D´ eriv´ ee particulaire

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t)

= dR

dt ·∇f|_r=R(t)

| {z }

´

evolution implicite

+ ∂f

∂t

|{z}

´

evolution explicite

=u·∇f|_r=R(t)+∂f

∂t

(30)

D´ eriv´ ee particulaire

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t)

= dR

dt ·∇f|_r=R(t)

| {z }

´

evolution implicite

+ ∂f

∂t

|{z}

´

evolution explicite

=u·∇f|_r=R(t)+∂f

∂t

(31)

D´ eriv´ ee particulaire

L’évolutionen suivant le mouvementest donnée par ladérivée particulaire, oudérivée Lagrangienne:

Df Dt ≡ d

dtf(R(t),t)

= dR

dt ·∇f|_r=R(t)

| {z }

´

evolution implicite

+ ∂f

∂t

|{z}

´

evolution explicite

=u·∇f|_r=R(t)+∂f

∂t

(32)

Formule de Reynolds (1)

Considérons un système fermé ditvolume matérielV(t) se déformant en suivant le mouvement du fluide :

F(t) = Z

V(t)

d³rf(r,t) .

F(t+dt)−F(t) = Z

V(t+dt)

d³rf(r,t+dt)− Z

V(t)

d³rf(r,t)

= Z

V(t)

d³r [f(r,t+dt)−f(r,t)] + Z

δV(t)

d³rf(r,t+dt)

= Z

V(t)

d³r∂f(r,t)

∂t dt+

Z

δV(t)

d³rf(r,t) +O(dt²),

(33)

Formule de Reynolds (2)

F(t+dt)−F(t) = Z

V(t)

d³r∂f(r,t)

∂t dt+

Z

δV(t)

d²rf(r,t)+O(dt³), δV(t) est la somme des d³r=d²r [(udt)·n+O(dt²) d’o`u :

dF dt = D

Dt Z

V

d³rf

| {z }

´

evolution def somm´ee sur le volume ferm´eVen suivant le mouvement

= Z

V

d³r∂f

∂t

| {z }

´

evolution locale de f

+ I

A(t)

f(r,t)u(r,t)·ndS

| {z }

évolution liée à la déformation du volume par l’écoulement

.

La formule de Reynolds (valable aussi pour un champ vectoriel) est

(34)

Volume de contrˆ ole

Soit un volume fixe (ce qui suit est généralisable à un volume en mouvement) mais ouvertV délimité par une surface immobileA. Un tel volume est dit volume de contrôle.

Le bilan de la grandeur extensive f(r,t) =ρ(r,t)θ(r,t) s’´etablit en deux ´etapes (en l’absence de sources).

(35)

Volume de contrˆ ole

(36)

Volume de contrˆ ole

(37)

Bilan d’une grandeur extensive

Evolution temporelle explicite :´ d

dt Z

V

d³rρ(r,t)θ(r,t)

= lim

dt→0

Z

V

d³rρ(r,t+dt)θ(r,t+dt)−ρ(r,t)θ(r,t) dt

= Z

V

d³r∂(ρ θ)

∂t . Le bilan des flux sortants :

d dt

Z

d³rρ(r,t)θ(r,t)

=− I

d²r(ρ θu)·n=− Z

d³r∇·(ρ θu).

(38)

Bilan d’une grandeur extensive

Evolution temporelle explicite :´ d

dt Z

V

d³rρ(r,t)θ(r,t)

= lim

dt→0

Z

V

d³rρ(r,t+dt)θ(r,t+dt)−ρ(r,t)θ(r,t) dt

= Z

V

d³r∂(ρ θ)

∂t . Le bilan des flux sortants :

d dt

Z

d³rρ(r,t)θ(r,t)

=− I

d²r(ρ θu)·n=− Z

d³r∇·(ρ θu).

(39)

Loi de conservation

Loi de conservation (advection seule) : ∂(ρ θ)

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

∂t +u·∇(ρ θ) =−(ρ θ)∇·u (θ concentration massique), Df

Dt = ∂f

∂t +u·∇f =−f ∇·u (f concentration volumique).

Loi de conservation g´en´erale : ∂(ρ θ)

∂t +∇·F_f = 0.=S_f(r,t), o`u F_f est le flux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est le terme

(40)

Loi de conservation

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

Dt = ∂f

∂t +∇·F_f = 0.=S_f(r,t), o`u F_f est le flux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est le terme

(41)

Loi de conservation

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

Dt = ∂f

∂t +∇·F_f = 0.=S_f(r,t), o`u F_f est leflux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est le terme

(42)

Loi de conservation

∂t +∇·(ρ θu) = 0.

∂(ρ θ)

Dt = ∂f

∂t +∇·F_f = 0.=S_f(r,t), o`u F_f est leflux total (advec. + “diffusif”) etS(r,t) est leterme

(43)

Conservation de la masse

∂ρ

∂t +∇·(ρu) = 0,

1 ρ

Dρ

Dt =−∇·u.

Le taux d’accroissement de la masse volumique (pris ici en suivant le mouvement du fait que c’est un paramètre matériel du fluide) est donc proportionnel à la convergence (l’opposé de la divergence) du champ de vitesse.

(44)

Conservation de la masse

∂ρ

∂t +∇·(ρu) = 0,

1 ρ

Dρ

Dt =−∇·u.

(45)

Conservation de la masse

∂ρ

∂t +∇·(ρu) = 0,

1 ρ

Dρ

Dt =−∇·u.

(46)

Incompressibilit´ e

Un fluide est un fluide incompressible si sa masse volumique est constante dans le temps et dans l’espace.

∇·u= 0.

Un écoulement est un écoulement incompressible si son champ de vitesse est à divergence nulle.

Si un fluide incompressible obéit nécessairement un à

´

ecoulement incompressible, la réciproque n’est pas toujours réalisée (cas de l’atmosphère isotherme).

(47)

Incompressibilit´ e

∇·u= 0.

Un écoulement est un écoulement incompressible si son champ de vitesse est àdivergence nulle.

´

(48)

Incompressibilit´ e

∇·u= 0.

Un écoulement est un écoulement incompressible si son champ de vitesse est à divergence nulle.

´

(49)

Loi de conservation int´ egrale

le th´eor`eme de Leibniz d

dt Z

V

d³rf

= Z

V

d³r ∂f

∂t +∇·(fu)

= Z

V

d³r ∂f

∂t +u·∇f +f ∇·u

= Z

V

d³r Df

Dt +f ∇·u

.

En utilisant l’´equation de conservation de la masse, il vient d

dt Z

V

d³rρ θ

= Z

V

d³r ρDθ Dt

(50)

Loi de conservation int´ egrale

le th´eor`eme de Leibniz d

dt Z

V

d³rf

= Z

V

d³r ∂f

∂t +∇·(fu)

= Z

V

d³r ∂f

∂t +u·∇f +f ∇·u

= Z

V

d³r Df

Dt +f ∇·u

.

En utilisant l’´equation de conservation de la masse, il vient d

dt Z

V

d³rρ θ

= Z

V

d³r ρDθ Dt

(51)

D´ efinition (1)

Considérons l’évolution temporelle d’un segment élémentaire δI(t) =R2(t)−R1(t) dont les extrémitésR1(t) etR2(t) suivent le mouvement de l’écoulement :

d

dtδI= dR₂

dt −dR₁ dt

=u(R2,t)−u(R1,t)

=u(R1+δI,t)−u(R1,t)

=u(R₁,t) + (δI·∇)u|_r=R₁+O(|δI|²)−u(R₁,t)

= (δI·∇)u|_r=R₁+O(|δI|²).

(52)

D´ efinition (2)

Il vient donc : d

dtδI= (δI·∇)u|_r=R₁+O(|δI|²), soit en notation tensorielle :

d

dtδI_i =δI_j ∂u_i

∂rj

r=R1

Le tenseur ∂ui

∂rj

est le tenseur des taux de d´eformations.

Le tenseur des taux de déformations est invariant par toute transformation galiléenne. Il décrit les déformations relatives du

(53)

D´ efinition (2)

Il vient donc : d

d

∂rj

r=R1

Le tenseur ∂ui

∂rj

(54)

D´ efinition (2)

Il vient donc : d

d

∂rj

r=R1

Le tenseur ∂ui

∂rj

(55)

D´ efinition (2)

Il vient donc : d

d

∂rj

r=R1

Le tenseur ∂ui

∂rj

Le tenseur des taux de déformations est invariant par toute transformation galiléenne. Il décrit lesdéformations relatives du

(56)

D´ ecomposition du tenseur des taux de d´ eformations

∂ui

∂rj

=Eij+Rij, E_ij = 1

2 ∂u_i

∂rj

+∂u_j

∂ri

,( composante sym´etrique) R_ij = 1

2 ∂u_i

∂r_j −∂u_j

∂r_i

.( composante antisymétrique) Le tenseur des taux de déformation s’écrit donc comme la somme dutenseur de déformation pure et dutenseur des rotations.

(57)

D´ ecomposition du tenseur des taux de d´ eformations

∂ui

∂rj

=Eij+Rij, E_ij = 1

2 ∂u_i

∂rj

+∂u_j

∂ri

2 ∂u_i

∂r_j −∂u_j

∂r_i

(58)

D´ ecomposition du tenseur des taux de d´ eformations

∂ui

∂rj

=Eij+Rij, E_ij = 1

2 ∂u_i

∂rj

+∂u_j

∂ri

2 ∂u_i

∂r_j −∂u_j

∂r_i

(59)

Tenseur des rotations (1)

D´efinitions :

rotu=ω=∇∧u (vorticit´e), Ω= (∇∧u)/2 = ω

2 (vecteur rotation), R´e´ecriture du tenseur des rotations :



 du₁ du₂ du3



=





0 −Ω₃ Ω₂

Ω₃ 0 −Ω₁

−Ω₂ Ω1 0







 dr₁ dr₂ dr3





(60)

Tenseur des rotations (1)

D´efinitions :



 du₁ du₂ du3



=





0 −Ω₃ Ω₂

Ω₃ 0 −Ω₁

−Ω₂ Ω1 0







 dr₁ dr₂ dr3





(61)

Tenseur des rotations (1)

D´efinitions :



 du₁ du₂ du3



=





0 −Ω₃ Ω₂

Ω₃ 0 −Ω₁

−Ω₂ Ω1 0







 dr₁ dr₂ dr3





(62)

Tenseur des rotations (2)

Pour deux pointsM etM⁰ infiniment proches d’un solide : u_M =u(r) =u_O+Ω∧OM=u_O+Ω∧r, u_M⁰ =u_O +Ω∧OM⁰=u_O+Ω∧(r+dr).

OruM⁰ =u(r+dr) =u(r) +du donc du=Ω∧dr.

Le vecteur rotation de la mécanique des solides indéformables devient un champ de vecteur rotation en mécanique des milieux déformables (dont les fluides).

(63)

Vorticit´ e et circulation

Vorticit´e

rotu=ω=∇∧u Circulation

ΓC = I

C

dr·u

Th´eor`eme de Kelvin-Stokes ΓC =

I

C

dr·u= Z Z

A

d²rω

(64)

Vorticit´ e et circulation

Vorticit´e

rotu=ω=∇∧u

Circulation

ΓC = I

C

dr·u

I

C

dr·u= Z Z

A

d²rω

(65)

Vorticit´ e et circulation

Vorticit´e

rotu=ω=∇∧u Circulation

ΓC = I

C

dr·u

I

C

dr·u= Z Z

A

d²rω

(66)

Tenseur des d´ eviations pures

Le tenseur de déformation pure est symétrique par définition.

Il est donc diagonalisable dans une base orthogonale.

Les vecteurs propres sont les axes de dilatation de la particule fluide dont la valeur propre mesure ce taux de dilatation (contraction si la valeur propre est n´egative et dilatation si la valeur propre est positive).

La trace du tenseur des d´eviations pures, qui est celle du tenseur des taux de d´eformations, vaut ∇·u.

Le tenseur de déformation pure se décompose en un tenseur des changement de volume(termes diagonaux) et un déviateur pur(termes croisés).

(67)

Tenseur des d´ eviations pures

(68)

Tenseur des d´ eviations pures

Les vecteurs propres sont les axes de dilatationde la particule fluide dont la valeur propre mesure ce taux de dilatation (contraction si la valeur propre est n´egative et dilatation si la valeur propre est positive).

(69)

Tenseur des d´ eviations pures

Latrace du tenseur des d´eviations pures, qui est celle du tenseur des taux de d´eformations, vaut ∇·u.

(70)

Tenseur des d´ eviations pures

(71)

Tenseur des d´ eviations pures

(72)

D´ ecomposition du champ de vitesse

1. vitesse detranslation : un ´ecoulement “en bloc”,

2. vitesse de rotation : un écoulement local de rotation solide de vitesse u₂ vérifiant : Ω= (∇∧u₂)/26= 0, ∇·u₂ = 0, 3. vitesse liée au changement de volume : un écoulement à la

vitesse u3 vérifiant : ∇∧u3= 0, ∇·u3 6= 0, 4. vitesse de déviation pure : un écoulement de vitesseu₄

v´erifiant :∇∧u₄ = 0, ∇·u₄ = 0.

(73)

D´ ecomposition du champ de vitesse

1. vitesse de translation : un ´ecoulement “en bloc”,

2. vitesse derotation : un écoulement local de rotation solide de vitesse u₂ vérifiant : Ω= (∇∧u₂)/26= 0, ∇·u₂ = 0, 3. vitesse liée au changement de volume : un écoulement à la

v´erifiant :∇∧u₄ = 0, ∇·u₄ = 0.

(74)

D´ ecomposition du champ de vitesse

2. vitesse de rotation : un écoulement local de rotation solide de vitesse u₂ vérifiant : Ω= (∇∧u₂)/26= 0, ∇·u₂ = 0, 3. vitesse liée au changement de volume: un écoulement à la

v´erifiant :∇∧u₄ = 0, ∇·u₄ = 0.

(75)

D´ ecomposition du champ de vitesse

2. vitesse de rotation : un écoulement local de rotation solide de vitesse u₂ vérifiant : Ω= (∇∧u₂)/26= 0, ∇·u₂ = 0, 3. vitesse liée au changement de volume : un écoulement à la

vitesse u3 vérifiant : ∇∧u3= 0, ∇·u3 6= 0, 4. vitesse dedéviation pure : un écoulement de vitesseu₄

v´erifiant :∇∧u₄ = 0, ∇·u₄ = 0.

(76)

Conditions aux limites cin´ ematiques

Vitesse normale

Fronti`ere immobile :u·= 0.

Fronti`ere mobile : (u−us)·= 0.

Vitesse tangente : d´epend de la dynamique (contraintes du type viscosit´e) si elles existent sinon elles sont libres.

(77)

Conditions aux limites cin´ ematiques

Vitesse normale

(78)

Conditions aux limites cin´ ematiques

Vitesse normale