4.3. Propriété – composition des limites.

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4.3. Propriété – composition des limites.

Soit a et l désignant chacun soit un nombre réel, soit + ∞ ou −∞ . Si on suppose que la limite de f en a vaut l et que g a une limite en l alors la fonction g ◦ f a une limite en a qui est

x→a

lim g ◦ f (x) = lim

y→l

g(y).

Exemple 58. Soit a un nombre réel, alors si on considère la fonction f : x �→ 2x, la limite de f en a est 2a, et si la fonction g a une limite en 2a on peut écrire

x→a

lim g ◦ f(x) = lim

x→a

g(2x) = lim

x→2a

g(x).

De même, dans ce cas la limite de f en + ∞ est + ∞ , et si la fonction h a une limite en + ∞ on peut écrire

x→+∞

lim h ◦ f (x) = lim

x→+∞

h(2x) = lim

x→+∞

h(x).

Exemple 59. On peut par exemple retrouver la limite

x→+∞

lim

� 1 + α x

�

= e

à partir de la limite

x→0

lim

ln(1+x)

x

= 1

4.4. Propriété – lien avec les suites.

On désigne par l soit un nombre réel, soit + ∞ ou −∞ . Soit (x

) une suite qui tend vers l, si on suppose que f a une limite en l, alors la suite (f(x

))

tend vers la limite de f en l :

n→

lim

f (x

) = lim

y→l

f (y).

Exemple 60. En se rappelant que lim

x→0 sin(x)

x

= 1 on peut obtenir

n→+∞

lim n sin ^� 2π n

� = lim

n→+∞

n tan ^� 2π n

� = 2π

ce qui permet de calculer le périmètre du cercle.

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4.5. Théorème – des gendarmes.

On désigne par a soit un nombre réel, soit + ∞ ou −∞ et I un intervalle ouvert qui contient a (dans le cas où a est un nombre réel) ou de la forme ]b, + ∞ [ (si a = + ∞ ) ou de la forme ] − ∞ , b [ (si a = −∞ ). On considère trois fonctions numériques f, g et h pour lesquelles

∀ x ∈ I, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

Si f et h ont la même limite en a, alors g a pour limite en a cette valeur commune :

x→a

lim f(x) = lim

x→a

g(x) = lim

x→a

h(x)

Exemple 61. On peut ainsi calculer lim

x→0

x sin ^� 1 x

� .

Remarque 35. Dans le cas où a ∈ R et où on veut calculer la limite en a par valeurs supérieures grâce au théorème des gendarmes on procède de la manière suivante : on applique le théorème des gendarmes aux restrictions f

, g

et h

des fonctions f , g et h à [a, + ∞ [ , et il suffit d’appliquer ce théorème à ces nouvelles fonctions. Cela revient en fait à vérifier que

∀ x ∈ I ∩ [a, + ∞ [ , f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

ce qui signifie que ces inégalités doivent être vérifiées uniquement pour les x supérieurs à a. Dans le cas où on veut calculer la limite en a par valeurs inférieures on raisonne de la même façon avec les restrictions à ] − ∞ , a] .

4.6. Théorème – Comparaison.

On désigne par a soit un nombre réel, soit + ∞ ou −∞ et I un intervalle ouvert qui contient a (dans ce cas où a est un nombre réel) ou de la forme ]b, + ∞ [ (si a = + ∞ ) ou de la forme ] − ∞ , b [ (si a = −∞ ). On considère deux fonctions numériques f et g pour lesquelles

∀ x ∈ I, f(x) ≤ g(x)

Si f et g ont chacun une limite en a, alors on peut écrire :

x

lim

f (x) ≤ lim

x→a

g(x)

Exemple 62. On applique souvent ce résultat dans le cas où on sait que f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I : on peut alors conclure que si f a une limite en a alors lim

x→a

f(x) ≥ 0.

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4.3 Application à l’étude des asymptotes

4.3.1 asymptote verticale en un point

Définition 40. Soit f une fonction numérique et a un nombre réel. On dit que f a pour asymp- tote verticale la droite d’équation x = a si lim

x→a

f(x) = + ∞ ou lim

x→a

f(x) = −∞ .

Exemple 63. La fonction x �→ ln(x) a pour asymptote verticale la droite d’équation x = 0. La fonction x �→

a pour asymptote verticale la droite d’équation x = 0 par valeurs supérieures (+ ∞ en 0

) et inférieures ( −∞ en 0

).

4.3.2 asymptote en ±∞

D’un point de vue général, la droite d’équation y = ax + b est une asymptote à la courbe représen- tative de f en + ∞ (ou −∞ ) si

x→+∞

lim f(x) − (ax + b) = 0

(ou limite en −∞ ), ce qui signifie que la courbe représentative de f se rapproche de la droite en + ∞ (respectivement −∞ ). On introduit aussi les notions un peu plus subtiles de direction asymptotique.

Définition 41. Soit f une fonction numérique et b un nombre réel. On dit que f a pour asymptote horizontale en + ∞ la droite d’équation y = b si lim

x→+∞

f(x) = b.

De même, on dit que f a pour asymptote horizontale en −∞ la droite d’équation y = b si

x→−∞

lim f (x) = b

Exemple 64. La fonction x �→

a pour asymptote horizontale en −∞ et en + ∞ la droite d’équation y = 0.

Définition 42. Soit f une fonction numérique dont la limite en + ∞ est + ∞ ou −∞ . On dit que f a pour direction asymptotique en + ∞ la droite d’équation y = 0 si lim

x→+∞

f (x) x = 0.

On dit que f a pour direction asymptotique en + ∞ la droite d’équation x = 0 si lim

x→+∞

f(x) x = + ∞ ou lim

x→+∞

f (x)

x = −∞ .

On définit de la même manière les notions de direction asymptotique en −∞

Exemple 65. La fonction x �→ ln(x) a pour direction asymptotique en + ∞ la droite d’équation y = 0.

La fonction x �→ x

a pour direction asymptotique en + ∞ et en −∞ la droite d’équation x = 0.

Définition 43. Soit f une fonction numérique, on dit que f a pour asymptote en + ∞ la droite d’équation y = ax + b si

x→+∞

lim f(x)

x = a et lim

x→+∞

f(x) − ax = b

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où a est un nombre réel non nul et b est nombre réel. De même, on dit que f a pour asymptote en

−∞ la droite d’équation y = ax + b si

x→−∞

lim f(x)

x = a et lim

x→−∞

f(x) − ax = b où a est un nombre réel non nul et b est nombre réel.

Exemple 66. La fonction x �→

a pour asymptote en + ∞ la droite d’équation y = x + 1 et pour asymptote en −∞ la droite d’équation y = − x − 3 :

y =

y = x + 1

y = − x − 3

− 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4

− 2

− 1 1 2 3 4 5

0 x

y