HAL Id: tel-02421538
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02421538
Submitted on 20 Dec 2019
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Amadeu Almeida Coco
To cite this version:
Amadeu Almeida Coco. Robust covering problems : formulations, algorithms and an application.
Business administration. Université de Technologie de Troyes; Universidade federal de Minas Gerais, 2017. English. �NNT : 2017TROY0026�. �tel-02421538�
THESE
pour l’obtention du grade de
DOCTEUR de l’UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE TROYES
Spécialité : OPTIMISATION ET SURETE DES SYSTEMES
présentée et soutenue par
Amadeu ALMEIDA COCO
le 6 octobre 2017
Robust Covering Problems:
Formulations, Algorithms and an Application
JURY
M. S. ALBERTO URRUTIA PROFESSOR ADJUNTO Président M. C. DA CRUZ CARNEIRO RIBEIRO PROFESSOR - HDR Rapporteur
M. C. DUHAMEL MAITRE DE CONFERENCES Examinateur
M. T. FERREIRA DE NORONHA PROFESSOR ADJUNTO Directeur de thèse M. P. MICHELON PROFESSEUR DES UNIVERSITES Rapporteur M. C. PRINS PROFESSEUR DES UNIVERSITES Examinateur Mme A. C. SANTOS MAITRE DE CONFERENCES - HDR Directrice de thèse
������ ������� ����
������ �������� ���������
������������� ���������� ���
�����������
������ ��������� �� ��� �������� ������� �� �������� ����
���� ���������� �� ��� ������� ���������� �� ����� ������
��� �� ��� ������������� ���������� �� ������ �� ������� ����
������� �� ��� ������������ ��� ��� ������ �� ������� �������
������� �� �������� ������� ���������� ��� �� ��� �������
���� �� ���������� ������� �������������
��������� ������ ������� ������� ������ �������� ��
��������
���� ���������
������� ����
����� ������ �������
����� ������ �������� ��������� ������������� ����������
��� ����������� � ������ ������� ����� � ����
���������� ����
����� ��� �� � ��� � ����
���� ����������� � ������� ���������� �� �����
������
������������� ������ ������� ������� ������
�������� �� ��������
�� �������� ������� � ������� �� ����� ���������
��� ���������� � ������� �� ������������� ������������
� �������
��� ���
� �������� ���� ������ �� ��������� ��� ������ �� ������ ����� ���� ������
��
���������������
� ����� ���� �� ����� �� �������� ������ �� ������� ��� ������ ������� ������
������� ��� ������ �� ��� ������� ������ �� ������� ������ ��� �� ���� ����� �
����� ���� �� ����� ���� ��� ������ �� ��������� ������� ��� ��������� ������ ���
����� ��� ����� ���� �� ���� ������ �������� ��� ������� �� ���� ���� ����� ��� ���
��������� ���������� ��� ������� �������
����� � ����� ���� �� ����� �� ������ ������� �� ������ ���������� �� ������
������ ��� �� ����� �������� ��� ������ ������ �� �� ��� ������� ������� �� ��
���� ��� ������ ����� ���� ���� ���� ���
� ����� ���� ���� �� ����� �� ������ ���������� ���� ��� ����������� �� ��������
����������� ��� ������ �� � ��� �� ����� ����� ���� ������� ��� �������� ����� ��������
� ����� ���� �� ����� �� ������� ��� ��� ������ �� �� ���� ��� ��� ������ ��
���������� ������ �� �������
��
�� ���� ���� ���� � ���� ���������
����������
����
������
���� ��������� ����������� �� ���������� ������� ����� ��������� ����� ����� � �����
���� ������� ������ �� ��������� �� ��������� ��������� �������� ������ �����
�� ������ ������� ������ �������� ��� �������� �������� � � �������� ������� ������
�� ��������� � ����������� ������� �������� ������ ����� �� ������ ������� ������
������� �������� �������� ��������� � ������� ������ ���� � � ������� ������
���� ��� ���������������� ������� �� ���������� ������� �� �������� �� ���������
�� ��������� ��������� � �� �������� �� ��������� � ����������� �������� �� ���
��� �� ���������� � �������� �� ���������� �������� � �������� ��� ���������� ����
������ �� ������� ������ � ������ ��� ����������� ���� ������ ��� ��������� ��
������� ������ ���� �� ��������� ������������� � ����������� ����� ���� �� ���� ����
���������� ���� ������ ��������� �� ���������� ������� ����� ��������� � ������ �� ����
��� ����� � ������� ���� � � ������� ����� �� ������ �� �������� ������
����������� ������������ ���� ���������� ������ � ����� ����������� ����� �����������
��� � ��������� ���� ����� �� ���������� ������������ �������������� ���������
��� �� ���������� ������ ���������� �� �� �� ���������� ������� ���� � ������� ���
���� ���� � ����� �� ���������� ����������� ������� ���� � ������� ������ �����
���� ������ �� ����� ����� �� ���������� ��� ��� ����� ���������� �� �������������
�� ����������� ��������� ����� ���� ����������� �������� ��� ���� ������ �� ��������
��� ������� ���������� ��� ���� ��� ���������� ������� ������ � ��������� �� ������
���� �������������� �� ���� ������� �� ���������� ������� �������� ����� �������
���� ��� ������� ������ ����� ����������� �������� ��������� ���� �� ��������
����������� ������� � ������ ��� ����� ��� ���������� ��� ��������� ��������� �����
�� �����
��������� ���������� ������������� ����������������� ����������� �������� ������
������� ����������
��
��������
��� ������ ������������ ������� �������� ��� ������� �� ���� ������� ��� ������� ���
���� �������� ��� �������� ������� �������� ������ ����� ��� ��� ������� ������
������� �������� �������� ������� �������� ������ ������ ��� ������� ������
���� ��� ������� ������ ���� ���� ������������� ��� ������ ������������ ��������
����� �� ��� ��� �������� ������� ��� �� ��� ������� �������� �������� ��������
��� ��������� ���� �� ����� �������� �� ������� �� ��������� ��� ���� ��� �������
��� ������� ������ ��� ���� �������� ��� ������ �������� ����� ��� ������� ������
���� �� ����� � ����������� �������� ��� ������� ������ ���� ��� �� �����������
�� �������� ��������� ����� �� ���� ������������ �� ���� ������� �� ���� ������� ��� ���
����� ��� ����� ������ ������������ ��������� ��� ������� ����� �������� ���� ���
��� ������� ����� �������� ����� �� ����� �� �������� ���� ������������ ������
�������� ����� ����� ���������� ��� ��� ���������� ���� ��������� ��� ������� �� ����
��������� ������������� ����������� ������ ���� ��� ����� ���������� ���������
������ �� ��� �� �� ��������� ��������� �� ��� ������� ������ ���� ��� ��� ���������
��������� ������� �� ��� ������� ������ ����� ��� ��� ��������� ��������� ���� ���
��� ������ �� ��������� �� ���� ��������� ��� ���������� ��������� �� ���� ������ �����
���������� �� ���� ��� �� ������ ���� ��� ���� ����� ��������� �� ������ ��� ����������
���������� ��� ����������� �� �������� ���������� ��� ����� ������ ������ ������� �����
�������� ����� ������� ����� �������� ���� ��� ������� ������ ���� ����� ����
���� ��������� ��� ��������� ��������� �� ��� ����������� ���� ��� ���������� ����� ��
����� ���� ������� �������� �� ������� ��� ���� ���������� ���� ��������� ���� �� ���� ���
�� ������ ���������� ��������� �� ��� ����� ������������ �������
��������� ������������� ������������� ���������������� ����������� ���������� ���
������� �����������
����
���� �� �������
��� � �������� ����� �������� ��� ����������� �� ���� �� ��� ��� �� ���
������� ������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �������� ����������� �� ���� ���� ���������� ��� ��� �� �� ��� ����
��� ������ ���� ������ ���� ��� �������� ������ �� ��� ���� ��� ����
�������� ��� ��� �������� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �������� ����������� �� ���� ���� ���������� ��� ��� �� �� ��� ����
��� ������ ���� ������ ���� ��� �������� ������ �� ��� ���� ��� ����
�������� ��� ��� �������� ������������ ���� T = 0.1× |M|� � � � � � � � � � ��
���
���� �� ������
��� �� ������� �� �� �������� �� ���� ���� M = 4 ��� N = 9� ��� �������
��������X∗ ={1,3} �� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� �� ������� �� �� �������� �� ���� ���� M = 4� N = 9 ��� T = 2� ���
������� �������� X∗ ={2,4} �� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ��� �� ������� �� �� �������� �� ������� ������ ���� ���� M = 4 ���
N = 9� ��� �������� X = {1,3} �� ������������ ��� � �������� s �� ���
�������� ����� �� ���� ��� ������� �������� �� s� ����� �� X∗ ={2,4}� ��
������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ��� �� ������� �� �� �������� �� ������� ������ ���� ���� M = 4 ���
N = 9� ��� �������� X ={1,3} �� ������������ ��� �������� s(X) ��� ���
�������� X = {1,3}� ��� ������� �������� �� s(X)� ����� �� X∗ ={2,4}�
�� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ��� �� ������� �� �� �������� �� ������� ������ ���� ����M = 4�N = 9
��� T = 2� ��� �������� X ={1,3} �� ������������ ��� � ��������s �� ���
�������� ����� �� ���� ��� ������� �������� �� s� ����� �� X∗ ={2,4}� ��
������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ��� �� ������� �� �� �������� �� ������� ������ ���� ���� M = 4�
N = 9 ��� T = 2� ��� �������� X = {1,3} �� ������������ ��� ��������
s(X) ��� ��� �������� X = {1,3}� ��� ������� �������� �� s(X)� ����� ��
X∗ ={2,4}� �� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �������� �� ��� ��������������� �� ��� ������� ������ ����� ��� �������
������ ���� ��� ������� �������� ���� ��� ����������� � � � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ����� ���������� �������� �� ������� ��� ��������
������ �� ��� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� �������� ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � � � � ��
���
��� ��� ������� ����� �������� ���� ��� ��� ������� ����� �������� ����
��� ��� ��� ��������� �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������� �� ���� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��������� �� ���������� � � � � ��
��� ������� �� ��� ������� ����� �������� ���� ��� ��� ������� ����� ����
����� ���� ��� ��� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ��� ��� ��� �������
������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � ��
���� ���������� ����� ��� �������� ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � � � � ��
��� ������ ������� ��� ���������������� �� ������� ������ ����� �� �������
������ ���� �� ��� ��������� ������� ���� �� ������������ � � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� �������� ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ������ ���������� �� ��� ��� ���� � � � � � � � � � ��
��� ������� �� ��� ������� ���� ��� ��� ������� ���� ��� ��� ��� ���
�� ��������� ���� T = 0.1× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������� �� ��� ������� ���� ��� ��� ������� ���� ��� ��� ��� ���
�� ��������� ���� T = 0.2× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������� �� ��� ������� ���� ��� ��� ������� ���� ��� ��� ��� ���
�� ��������� ���� T = 0.3× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���������� ����� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ��� ���T = 0.1× |M|� ��
��� ���������� ����� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ��� ���T = 0.2× |M|� ��
���� ���������� ����� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ��� ���T = 0.3× |M|� ��
���� ���������� ����� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ��� ��� ��� T = 0.1× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ���������� ����� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ��� ��� ��� T = 0.2× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ���������� ����� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ��� ��� ��� T = 0.3× |M|� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� ���������� ����� ��� �������� ���������� �� ��� ��� ��� ���T = 0.1×|M|� ���
���� ���������� ����� ��� �������� ���������� �� ��� ��� ��� ���T = 0.2×|M|� ���
���� ���������� ����� ��� �������� ���������� �� ��� ��� ��� ���T = 0.3×|M|� ���
����
��������
��������������� ��
������ ��
�������� ����
���� �� ������� ���
���� �� ������ ���
� ������������ �
� ������ �������� �������� �
��� ������������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ��� ������� ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ��� ������� ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� ���������� ������ ��
��� ������� ����� �� ������������� �������� ��� �������� �������� � � � � � ��
��� ������� ����� �� �������� ��� ��������� �������� ����� ����������� � � ��
��� ������� ����� �� ������������ �� �������� ��� �������� �������� �� ����
����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ������������ ������������ ��
��� ���� ��� ������� ������ ���� ������������ � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���� ��� ������� ������ ���� ������������ � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������� ����� �������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������� ����� �������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������� ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�����
����� ������������ ������������� ��������� ��� ��� ������� ������
���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������������ ������������� ��� ��� ������ ���� � � � � � � � � ��
����� �������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������ ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� �������������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������ ����������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ������������� ����������� ��
��� ������� ��� ��� ������� ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������� ��� ��� ������� ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ����������� ��� ������ ����� ��
�������� � ������ �� ��������� ��������� �� ���������� ������� ��
�������� � ������ ��
������������ ���
����
������� �
������������
������ ������������ ���� �� � ����������� �� ���� ���� ���� ����������� �����
��� ����������� �� ��� ���� �� ����������� �� ������������� ������ ������ �� ���� �����
��������� �� ���� ����� �������� ��� ��� ������ �� ������� �� ��� ���� ������� �� ����
���� �������� �������� ������ ��� ���������� ����� ��������� �� ���� ����� ��� ���
���� �������� �� �������� �� � ��� �� ��������������� ������� ����������� ������� ���
�� ����� �������������� �� ����������� ���������� �� ��������� ����� ������� ���
�������� �� ��� ������ ��� � ������ �� �������� ���� �� ������ ������������ �� ���
���� �� ���������� ��������� ��������� ��� ������� �� ����� �� ��� ������� ���������
�� ��� ������� ���� �� ��� �������� ������ �� ��� ������� ��������� ��� ��������� ������
����� ������ ������������ ���������� ��� ����������� ������� ��� ��� ������� �� �����
������� �������� ��� ������� ������� ��������� ��� ��������� ������� ���������� �� ���
������ ������ �������� �� ��� ������ ����� �� ����� ��� ��������� ���������� �� ������
������������ ���������
���� ������ ������������ �� ��������� ������������ �������� ���� ���� ������� ��
��� ����������� ���� �� ��� ������ �������� ���� ������� ����� �� ���� ������ �������
�� ���� ������ ��� ������ ������� �������� ���� ������� �������������� �� ���� �����
����� �� ���� ������ ��� ������ ���������� ������� �������� ��� ��������� �����
��� ��� ������ �������� ���� ���� ������� ��������� �� ���� ������ ����� ��������
��� ������� ������ �� ���� ������ ������� ��� ���� ���� ����� ������������� ������������
��� ������ �� ���������� ����� �� �������� ����� ������������� ������������ ���
������� ������� ���� ���� ���� �������� ���� �� ��� ������ ��������� �������� �������
����������� �� ���� ������ ��� ������ ��� �������� ������� �������� ��� ���������
������ ��� ������ �������� ������� ������� �� ���� ������ ��� ������ ���������� ��������
���� ������� ��������� �� ���� ������ ��� ��� ������ ������� ������� ������� ����
������� �� ���� ����� ������ �� �� ����� ���������� ���� ������� ���������� ���������
�
��� ������ �� ���������� ��� ������������ ������������ ��� �������� �� �� ��������
����� ��������� ����������� �� �������� ����� ��� ���������� �� ��������� ��� ���� ��
� ������ �������� �� �� ����� ��� ������������� ���������� �� ��� ��������� ������������
��� ��� ������������ ������������ ��� ���� �������� ���� �� ����������� ������ ��
������������
��������� ���� �� ������� ���� �� �� �������� �� ���������� ������� �� ���� ���
������� ��� ����������� �� � ������ ����� ��� ���� ��������� �� ���������� �� � ��������
���� ��� ������� ��� ��������� �� �� ��� � �������� ���� �� ������� ��� ��� ����������
������� �������� �� �� � ������ ��������� ��� �� ��������� ���� �� ���� ���� �� ��������
� �������� �� ������ �� ��� �� ��� ������� ������� �� ��� ������ ������� �� �� ��� ��
��� ���� ������� �� ��������� ������ �� ���� ����� ��� �� �� ����������������� ���� ���
������� ��������� ��������� ������ �� ��� �������� �� ���� ������ ��� ��� ���� ������
��� ��� ������� �� �� �� �� ��� ���� ������� �� ���� ������� �� ���������� ���
��������� ��� ������� �� ������� ������ ������ �������� ��������� �������������
����������� ��� ������� ��� �� ��������� ��������� ��� �� ��������� �������� ���� �
���� ����������� ����� �� �������� ������ ����������
���� ������ ������������ ��� ��������� ��� ������� ������ �������� ��� ��������
������� �������� ������ ����� ��� ��� ������� ������ ������� �������� ��������
������� �������� ������ ������ ��� ������ �� � �������������� �� ��� ��������
��� �������� ������� ������ ��������� ������ ����� ��� ���� �� ���� ������ j ��
������� �� �� �������� [lj, uj]� ���� 0 ≤ lj ≤ uj� ��� ��� ��������� �������� ��������
�� ������ ��� ������ �� ������� ���� ��� �������� ������� ������� ��� ������ ��
� �������������� �� ��� ������� �������� �������� ������� ������ ������� ���
������ ������ ����� ��� ������ �� ���� ������ j �� ������� �� �� �������� [lj, uj]�
��� ��� ��������� �������� �������� �� ������ ��� ������ �� �������� ���� � �������
����������� T� ���� ��� ��� �������� ������� ������� ��� ������� ������ ����
��� ��������� �� �� ����������� ���� ������� �� � �������� ������� ���� �� ���������
�� �������� ����� ����� ���������� ����� ����� ��������� ����� ����������� ���� ���
���������� ����� �� ����� ������ ������ �� ���� ������������ T ���� ��������� ����
�� ������� ����� ����������� ������������ ������� �� ������������� ���������� ���� ���
������ �� ����������� ��������� ������� ����� ���� ��� ������� ������ ���� ���
������� ������ ������ �� ���� �� ���� ��� ����� ��� ������ �� ��� ���� ��������
�� ���� ������� ������������ ������������� ����� ���������� ��� ��������� �����
��� ��� ��������� ��� ������� �� ��� ������� ������ ���� ��� �� ��� ������� ���
���������� ���������� ����� �������� ����� ���������� ��� ���������� ��� ��������
���� ������������� ���������� ��� � �������������� ����� ��������� ����������
������ ���������� ��������� �������� ��� �������������� ���������� ����� �� ����
�
����� ��������� ��� ���������� ������ � ���� ��������� ������� ��� ������� ������ �
����� ������ ����� �� ���� ������ ��� � ������ ����������� ����� ��������� ���������
����� ��� ���� ��������� ��� ����� ������� ��� �������� �� ���� ���� ��� �� �����������
�� ����� ������� ������ ������������ ���������
��� ��������� �� ���� ������ �� ��������� �� ��������
• ������� � �������� ��� ������ ��������� �� ���� ��� ����� �� ���� �� �����
������ ������������� ���� ��� ������� ������ ���� ��� ��� ������� ������
�����
• ������� � ����� � ���������� ������ �� �������� �������� ��� ������ ������������
��������� �� ���� �� ������������ �� ����� �������� �� �������� ����������
• ������� � �� ��������� �� ������� ������ ����������� ������������ ��� ��� ����
��� ������ ����� �� ���� �� ����� ��� ����������� ������ ��� ���������� ��
����������� �� ������������� �������
• �� ������� �� ����� ��� ��������� ������� ��� �������� ��� ������� �� ��� ����
��� ������ ���� ��� ��� ������� ������ �����
• ������������� ����������� �� ��� ����� ��� ��������� ���������� �������� ���
�������� ��� �������� �� ������� ��
• ��� ����������� �� ���� ������� �� ���� �� ������������� ��� ������� ��������� ���
��������� �� ������� ��
������� �
������ �������� ��������
���� ������� ���������� ��� �������� ���� ��� ������ ��� �������� ������� �� ����
������� ��� ������������� ������������ �� ��� ������� ������ ���� ��� ��� �������
������ ���� ��� ��������� �� ������� ���� ����� ��� ��� ������ ������������ ��������
��������� �� ���� ������ ��� �������� ������ �� �������� ��� ��� ����
��� ������������� ������������
�������� �������� ��� ��� �� ��� ���� ������� ������������� ������������ ��������
�������� �� ���� ����� �������� ����� �������� �� ���� ������ ��� ��������� ��������
��� �������� ������� ������ ��� ���������� �� ������� ������ ��� �� �������
������ ��� �������� ������ ��� {aij} �� � ������ ���� � �������� N ��� � ����������
M� ����� ���� ������ j ∈ M �� ���������� ���� � ���� cj ≥ 0� ���� �������� ��
������ � ������ X ⊆ M ����� ��� ��� �� ��� �������� ���� �� ��� �������� ���
���� ����� ���� �� N �� ������� �� �� ����� ��� ������ �� X� �� ������� �� � ����
�������� �� ����� �� ����� ���� ����� ��� ����� ��� ��� ������� ���������� ������������
�� ��� �������� ��� ��� ���������� �� {aij}� ��� ������� �������� �� ����� �� �������
{1,3}� ��� ��� �������� ����� ���� �� ����� �� 9�
��� ������� �������� �������� ������� ������ ��� ���������� �� ������
��� ����� ������ ��� �� ������� ������ ��� �������� ������ ��� {aij} �� � ������
���� � �������� N ��� � ����������M� ����� ���� ������ j ∈M �� ���������� ���� �
������ bj ≥0� ����� � �������� T <|M|� ���� �������� �� ������ � ������X ⊆M�
���� |X|≤ T ����� ��� ��� �� ��� �������� ������ �� ��� �������� ��� ����� ����
��N �� ������� �� �� ����� ��� ������ ��X� �� ������� �� � ���� �������� �� �����
�� ����� ���� ����� ��� ����� ��� ��� ������� ����� ������������ ��� ��� �������� ���
�
� � � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
cj � � � �
����� ���� �� ������� �� �� �������� �� ���� ���� M = 4 ��� N = 9� ��� �������
��������X∗ ={1,3} �� ������������
��� ���������� ��{aij}� ��� ������� �������� ���T = 2�� ����� �� ������� {2,4}���
��� ����� ���� �������� �� ����� �� ���
� � � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
bj � � � �
����� ���� �� ������� �� �� �������� �� ���� ����M = 4� N = 9 ��� T = 2� ���
������� ��������X∗ ={2,4} �� ������������
���� ��� ���� ���� ��������� ������������ �� ���������� �������� �� ���� �����
������ ��� ���������� ����� ������ ������ ���������� ������ �� ���� ������ ���������
������� �������� ���������� �� ���� ����� ������� �� ���� ����� �� �� ���� ������ �����
�������� ������ ���� �� ���� �������� ����� ��� ��������� ������ �������� �������� ������
���� �� ���� ����� ��������� �� ���� ������ ������� ��������� ������� �� ���� ����� ������
��� ������� ����� ���� ��� ������� ������ ��������� �������� ����� ��� ���� ���� ��
����� ������������ ��� ���� ����� ������� �� ��������� ����� ���� ��������� ��� �����
�� ���� �������� ���� ��������������