Un corrigé du devoir maison n°2

Un corrigé du devoir maison n°2

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé¡ O;~ı,~¢

. Partie A : Un cercle

1. On rappelle que le cercleCde centreΩ(a;b) et de rayonrest l’en- semble des pointsMtels queΩM=r.

Justifier qu’alorsM(x;y)∈C ⇔(x−a)²+(y−b)²=r²

M(x;y)∈C ⇔ΩM=r

⇔ΩM²=r²carΩMetr sont des longueurs donc sont positives

⇔(x−a)²+(y−b)²=r²

2. SoitΩ(3;−2) etB(4; 0) etC, le cercle de centreΩet passant parB.

(a) Montrer que :M(x;y)∈C ⇔x²−6x+y²+4y+8=0.

M(x;y)∈C ⇔(x−3)²+(y+2)²=r²=ΩB²

⇔(x−3)²+(y+2)²=(4−3)²+(0+2)²

⇔x²−6x+9+y²+4y+4=5

⇔x²−6x+y²+4y+8=0 (b) Déterminer le rayonr deC

r=ΩB=p 5

(c) Déterminer, s’ils existent, les coordonnées des points d’inter- section deC avec l’axe des abscisses.

M(x;y)∈C∩(Ox)⇔

½ x²−6x+y²+4y+8=0 carM∈C y=0 carM∈(Ox)

⇔

½ x²−6x+0²+4×0+8=0 y=0

⇔

½ x²−6x+8=0 y=0

Cherchons les éventuelles racines dex²−6x+8 :

∆ =36−32 = 4> 0 donc deux racines : x1 = ⁶⁻₂² = 2 et x₂=⁶⁺²₂ =4.

DoncC∩(Ox)={(2; 0); (4; 0)}.

(d) Déterminer, s’ils existent, les coordonnées des points d’inter- section deC avec l’axe des ordonnées.

M(x;y)∈C∩(O y)⇔

½ x²−6x+y²+4y+8=0 carM∈C x=0 carM∈(O y)

⇔

½ 0²−6×0+y²+4y+8=0 x=0

⇔

½ y²+4y+8=0 x=0

Cherchons les éventuelles racines dey²+4y+8 :

∆=16−32= −16<0 donc le trinôme n’a pas de racine.

DoncC∩(O y)=∅_. Partie B : Une droite

SoitA(0; 2),~v(1;m) oùmest un réel quelconque etDla droite passant parAet de vecteur directeur~v.

Montrer qu’une équation cartésienne deDesty=mx+2.

M(x;y)∈D⇔−−→AM µ x−0

y−2

¶ et~v

µ 1 m

¶

colinéaires

⇔det³−−→AM;~v´

=0

⇔x×m−1(y−2)=0

⇔mx−y+2=0

⇔y=mx+2

Partie C : Intersection deC et deD.

C etDsont, respectivement, le cercle défini dans la partie A, question 2, et la droite définie dans la partie B.

1. Quelques cas particuliers.

Déterminer, s’ils existent, les coordonnées des points d’intersec- tion deC etDdans chacun des cas suivants :

(a) m=1

M(x;y)∈C∩D⇔

½ x²−6x+y²+4y+8=0 carM∈C y=x+2 carM∈D

⇔

½ x²−6x+(x+2)²+4(x+2)+8=0 y=x+2

⇔

½ 2x²+2x+20=0 y=x+2

Cherchons les éventuelles racines de 2x²+2x+20 :

∆=4−160= −156<0 donc le trinôme n’a pas de racine.

DoncC∩D=∅_. (b) m= −0,5

M(x;y)∈C∩D⇔

½ x²−6x+y²+4y+8=0 y= −¹₂x+2

⇔

( x²−6x+¡

−¹₂x+2¢2

+4¡

−¹₂x+2¢ +8=0 y= −¹₂x+2

⇔

½ 5

4x²−10x+20=0 y= −¹₂x+2

Cherchons les éventuelles racines de⁵₄x²−10x+20 :

∆=100−100=0 donc le trinôme a une racine,x₀= −⁻¹⁰⁵

2 =

10ײ₅=4 ety₀= −¹₂x₀+2=0.

DoncC∩D={B(4; 0)}.

(c) m= −2

M(x;y)∈C∩D⇔

½ x²−6x+y²+4y+8=0 y= −2x+2

⇔

½ x²−6x+(−2x+2)²+4(−2x+2)+8=0 y= −2x+2

⇔

½ 5x²−22x+20=0 y= −2x+2

Cherchons les éventuelles racines de 5x²−22x+20 :

∆= 484−400= 84 donc le trinôme a deux racines, x₁ =

22−p

1084= ¹¹⁻

p21

5 ≈1,28 etx2= ¹¹⁺

p21

5 ≈3,12 ety1= −2x1+ 2=⁻¹²⁺²

p21

5 ≈ −0,57 ety2= −2x2+2=⁻¹²⁻²

p21

5 ≈ −4,23.

DoncC∩D=n³₁₁

−p

5 21;⁻¹²⁺₅^2p21´

;³₁₁

+p

5 21;⁻¹²⁻₅^2p21´o . 2. On se place dans le cas général oùmn’a pas de valeur particulière

donnée au préalable.

(a) Montrer queM(x;y)∈D∩C ⇔

½ y=mx+2

(1+m²)x²+(8m−6)x+20=0

M(x;y)∈C∩D⇔

½ x²−6x+y²+4y+8=0 y=mx+2

⇔

½ x²−6x+(mx+2)²+4(mx+2)+8=0 y=mx+2

⇔

½ (1+m²)x²+(8m−6)x+20=0 y=mx+2

(b) Montrer que le trinôme (1+m²)x²+(8m−6)x+20 a pour dis- crimant∆= −16m²−96m−44.

∆=(8m−6)²−4×(1+m²)×20=64m²−96m+36−80−80m²=

−16m²−96m−44.

(c) Étudier le signe de∆selon les valeurs dem.

∆est un trinôme donc il sera du signe du coefficient dem², c’est-à-dire négatif sauf entre ses éventuelles racines.

Cherchons∆^′le discriminant de ce trinôme :

∆^′=(−96)²−4×(−16)×(−44)=6400>0 donc ce trinôme a deux racines :

m₁= −¹₂etm₂= −¹¹₂. Donc :

m −∞ −11

2 −1

2 +∞

∆ − 0 + 0 −

(d) En déduire le nombre d’intersections deDetC selon les va- leurs dem.

Le signe de∆donne le nombre de racines donc d’intersec- tions :

• m∈¤

−∞;−¹¹₂£

∪¤

−¹₂;+∞£

:∆<0 donc aucune inter- section

• m= −¹¹₂ oum= −¹₂:∆=0 donc une unique intersec- tion

• m∈¤

−¹¹₂ ;−¹₂£

:∆>0 donc deux intersections