Exercices résolus de mathématiques.
TRI 1
EXTRI010 – EXTRI019
http://matheux.ovh/Accueil.html
Jacques Collot
1 avril 03
EXTRI010 – Liège, septembre 1996.
Calculer l’aire de la surface définie par la figure ci dessous, sachant que 20 cm, 45 cm, 40 cm et
a
b d
− =
= = =
² 3325 . 360
30 0241 . 2 17 1
1856 . 27 sin 20 9759 . 2 22 1
9759 . 4265 22 . 60 sin
3880 . 92 20 sin
sin sin
4264 . 60 1856 . 27 3880 . 92 180
1856 . 27 0555
. 50 64
20 2
² 50
² 20
² cos 45 arc
3880 . 45 92
20 2
² 45
² 20
² cos 50 arc
50
² 30
² 40
8699 . 40 36 tan 30 arc
2 2
2 1
cm S
S
B AE A EB B
E E
A ED E
=
+
=
=
=
=
=
−
−
=
=
→
=
−
−
= −
=
−
−
= −
= +
=
=
=
EXTRI011 – Mons, questions-types 2000-2001.
Dans un trapèze ABCD, on connaît la longueur des bases (AD = 15 m, BC = 10 m) ainsi que la longueur des côtés non parallèles (AB = 8 m, CD = 7 m).
Calculer les angles et l’aire du trapèze.
( )
² 6 . 86
7869 . 81 sin 7 15 120 sin 10 2 8 1
2 sin sin 1
2 1
21 . 98 8787 . 71 3295 . 26
8787 . 71 7869
. 81 6205 sin . 15 sin 15
sin
60 6705 . 33 3295 . 26
6705 . 33 120
6205 sin . 15 sin 10
sin
120 3295
. 26 8 sin
5205 . sin 15
8 sin AC
7869 . 81 3295
. 26 7 sin
6205 . sin 15
sin sin
3295 . 6205 26 . 15 30
² 15
² 244
² cos 7 arc
6205 . 15 244
14 ² 30
² 15
²
² 7
14 10
² 15
² 10
² 7
² cos 8
cos 30
² 15
²
² 7
cos 20
² 10
²
² 8
2 1
2 2
2 1 2
1 2
1 2
2
2 1 2
m A
D CD AD B
BC BA A
surface la
Calculons C C C
C AC D
C AD A A A
AC B A BC
B C
B même
De
D CD D
A AC
Or D
C A
AC AC AC
AC AC
AC A AC
A AC
AC
C AC
AC
A C que emarquons
R 1
=
+
=
+
=
= +
= +
=
=
→
=
=
= +
= +
=
→
=
=
=
→
=
=
=
→
=
→
=
=
−
− −
=
=
→
=
→
=
→
− +
=
→
+ =
−
= −
→
− +
=
− +
=
=
EXTRI012 – Liège, juillet 2000.
Si
n x x
et m x
x + sin = tan − sin = tan
quand a-t-on l’égalité ?
2 2
4 m − n = mn
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2
: 2
2
On voit immédiatement que le système admet comme solution : Dans les autres cas :
tan sin tan sin
tan sin tan sin
tan 2 tan sin sin
tan 2 tan sin sin
CE x k
x k
x x m
x x m
x x n x x n
x x x x m
x x x x
+
=
+ =
+ =
→
− =
− =
+ + =
− + =
( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2 4 2
2 2 2
2
sin ² ²
4 tan sin ² ² tan sin
cos 4
Or on a également:
tan sin
tan sin tan sin
sin 1 cos
sin sin cos sin sin
cos cos cos cos
1) sin 0 cos 0
cos 2
n
x m n
x x m n x x
x
x x m
x x mn
x x n
x x
x x x x x
mn mn
x x x x
x x
x
→ = − → = = −
+ =
→ − =
− =
− −
→ = = = → =
→ → −
2
2 2
2 Avec la CE :
2 2
Dans ce cas, l'égalité : ² ² 4 est toujours vérifiée
sin 3
2) 0 cos 0
cos 2 2
Dans ce cas, l'égalité est impossible car on a alors
Conclusion et
2 2
x
x
m n mn
x x x
x
m n mn
x x k
−
− =
→
− = −
− =
Résolu le 18 février 2002. Modifié le 29 juin 2004
EXTRI013 – Liège, juillet 2000.
Résoudre le système suivant :
2sin cos
sin ² sin ² cos 0.75 0
x y
x y y
=
+ + + =
et représenter sur le cercle trigonométrique.
2 2
2 2
2 sin cos
sin ² sin ² cos 0.75 0
sin ² 1 cos ² 2 sin 0.75 0 car sin 1 cos et cos 2 sin sin ² 4 sin ² 2 sin 1.75 0 car cos 4 sin
3sin ² 2 sin 1.75 0 qui est une équation du second dégré en si
x y
x y y
x y x y y y x
x x x y y
x x
=
+ + + =
→ + − + + = = − =
− + + = =
− + + =
( )
1
2
n
1 1 3 1.75 1 6 2
sin 3 2 7
6 2
2 1 cos cos 1 2 1 .
2
Nous laissons le lecteur représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
x
x k
x
x k
y y y k
= − +
− +
= − = − → = +
→ − = → = − → = +
Modifié 22 août 2005. Modifié 4 avril 2008 (Hadri14)
EXTRI014 – FACSA, ULiège, Liège, septembre 2000.
Résoudre l’équation suivante et représen ter sur le cercle trigonométrique.
et représenter sur le cercle trigonométrique.
2sin ² x + 3sin 2 x = 3
( )
( ) ( ) ( )
2 sin ² 3 sin 2 3
2 sin ² 1 cos 2 cos 2 3 sin 2 2 Méthode 1 : (Voir note)
cos sin cos avec tan
cos
tan 3 60
1 cos 2 60 2 cos 2 60 1
cos 60
2 60 180 2 180 60 180
Méthode 2 : (Voir note) cos
x x
x x x x
a b
a x b x x
a b
a
x x
x k x k
a x
+ =
= − − = −
+ = − =
= = − = −
+ = − + = −
−
+ = + = +
+ ( )
( )
2 2
2 2
sin sin avec cos
3 3
cos 150
3 1 2
2 sin 2 150 2
2 150 90 2 180 60 180
le lecteur représentera les solutions sur le cercle trigonométrique.
b x a b x b
a b
x
x k x k
= + + =
+
= − = − = +
+ = −
+ = − + = +
Note - Résolution de l'équation : cos sin Méthode 1
On réarrange : cos sin cos sin
On pose tan , et donc arctan . On alors :
cos tan sin cos sin sin cos cos sin sin
cos
a x b x c
b c
a x b x c x x
a a
b b
a
c c
x x x x x x
a a
+ =
+ = + =
= =
+ = + = + =
( )
( )
2 2 2 2
cos Ou encore : cos cos qui est une équation qui se résoud facilement.
Une variante consiste à poser tan , ce qui conduit à sin cos . Méthode 2.
On pose : sin et cos .
On vé
c a x c
a
a c
b x b
a b
a b a b
− =
= + =
= =
+ +
( )
( )
2 2
2 2
2 2
rifie facilement que sin cos 1
L'équation devient : sin cos cos sin sin qui est aussi facile de résoudre.
a b x c
x c
a b
+ =
+ + =
+ =
+
Modifié le 5 septembre 2018
EXTRI015 – FSA, ULG, Liège, juillet 1999.
FACSA, ULB, Bruxelles, juillet 2009
Résoudre
1 sin + x + sin 2 x + sin 3 x = cos x − cos 2 x + cos 3 x
Rappel : les formules de Simpson
sin sin 2 sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2 sin .sin
2 2
+ −
+ =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
− = −
( )
Simpson Simpson
22cos
Méthode 1
sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3 1 sin sin 3 sin 2 cos cos 3 cos 2 1
2
x
x x x x x x
x x x x x x
+ + = − + −
+ + = + − +
sin 2 cos x x + 2 sin cos x x = 2 cos 2 cos x x − 2 2
Simpson Simpson
cos
1) cos 0 2
2 Il reste :
sin 2 sin cos 2 cos 2
x
x x k
x x x x
= → = +
+ = −
sin 3 cos 2
2 2
x x = − 3
sin sin
2 2
3 4
2 2 3
2) sin 3 0
2 3 2 4
2 2 3 3
Il reste :
cos sin cos cos
2 2 2 2 2
2 Impossible
2 2 2
3)
2 2 Solution déjà identifiée en 1)
2 2 2 2
x x
x k x k
x
x k x k
x x x x
x x
k
x x
k x k
= → =
= →
= + → = +
= − → = +
= + + →
= − − + → = − +
( ) ( )
( )( ) ( )
Méthode 2
1 sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3 1 sin sin 2 sin cos 2 cos sin 2
cos cos 2 cos cos 2 sin sin 2 0 1 sin cos 1 sin cos cos 2 1 cos sin sin 2 0
1 sin cos 1 cos 2 1 cos sin sin 2 0 2 1 sin
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x
+ + + = − +
+ + + +
− + − + =
+ − + + − + + + =
+ − + + + + =
( + ) ( )
( ) ( )
cos cos ² 2 sin cos 1 cos sin 0
1) cos 0 2
2 Il reste:
1 sin cos cos sin 1 cos sin 0
cos sin cos cos ² sin sin cos sin ² 0 cos sin 2 sin cos 2 0
3 3
2 sin cos 2 sin sin 0
2 2 2 2
2) sin 3 2
x x x x x x
x x k
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
− + + + =
→ = → = +
+ − + + + =
+ − + + + =
+ + − =
− − =
→
4 0 3
2 4
3 3
Il reste cos sin 0 cos sin 0
2 2 2 2
sin cos cos cos cos
2 2 2 2 2
3) ) 2 Impossible.
2 2
b) 2
2 2
3 2 Déjà trouvé en 1)
x k x k
x x x x
x x x x x
x x
a k
x x
k
x k
=
= → = +
− − = → + =
→ = − = − → − = −
→ − = − +
− = − + +
= +
EXTRI016 – FACSA, ULG, Liège, septembre 1999.
Résoudre l'équation
Expliciter les conditions d'existence. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
tan x + tan 2 x + tan 3 x = 0
Nous reprenons la s olution proposée par l’université :
http://www.ingveh.ulg.ac.be/fr/Examen_Admission/TrigoSolSept2009.pdf
( )( )
Solution 1
Les conditions d'existence sont liées à l'existence de tan , tan 2 et tan 3 . Celles-ci étant remplies, on peut écrire
tan tan 2 1 tan tan 2 1 tan tan 2
tan tan 2 0 0
1 tan tan 2 1 tan tan 2
tan
x x x
x x x x
x x
x x
x x x x
+ − +
+ + + = → =
− −
•
2 2 2 2
2
tan 2 0
tan 2 tan 2 3
3 tan tan 2 2
2 tan 1
tan 2 2 tan 2 2 tan 4 tan 2 tan
1 tan 2
1 1
tan arctan 0.6155 rad
2 2
35, 2644 180 35 15'52 '' 180 La représentatio
x x
x x x x k x k x k
x x
x x x x x x
x
x x k k
k k
+ =
= − → = − + → = → =
• =
= → = − → = → =
−
→ = → = + = +
= + = +
n sur le cercle trigonométrique est laissée au soin du lecteur.
Solution 2
L'équation s'écrit :
sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3 0
sin cos 2 cos 3 sin 2 cos cos 3 sin 3 cos cos 2 cos cos 2 cos 3 0
Etant donné que cos , cos 2 et cos 3 ne peuvent être nuls à cause des condit
x x x
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x
+ + =
+ +
→ =
+ +
( )
ions d'existence, on obtient :
sin cos 2 cos 3 sin 2 cos cos 3 sin 3 cos cos 2 0 sin cos 2 sin 2 cos cos 3 sin 3 cos cos 2 0 sin 3 cos 3 sin 3 cos cos 2 0
On obtient alors deux familles de solution : sin 3 0
sin
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x
+ + =
→ + + =
→ + =
• =
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2
3 2
3 2
3 2
3 0 180 60
cos 3 cos cos 2 0
cos 3 cos cos 2 0
cos 2 cos sin 2 sin cos cos 2 0
cos sin cos 2 sin cos cos cos sin 0
2 cos 4 sin cos 0
2 cos 2 1 cos cos 0
3cos 2 cos 0
cos 3cos 2
x x k x k
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x
= → = → =
• + =
+ =
→ − + =
→ − − + − =
→ − =
→ − − =
→ − =
→ −
2 2
