Théorie mathématique de l'action moyenne de la radiation cosmique sur ses appareils détecteurs, protégés ou non

HAL Id: jpa-00233142

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233142

Submitted on 1 Jan 1933

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

radiation cosmique sur ses appareils détecteurs, protégés ou non

L. Tuwim

To cite this version:

L. Tuwim. Théorie mathématique de l’action moyenne de la radiation cosmique sur ses ap- pareils détecteurs, protégés ou non. J. Phys. Radium, 1933, 4 (3), pp.138-164. �10.1051/jphys- rad:0193300403013800�. �jpa-00233142�

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L’ACTION MOYENNE DE LA RADIATION COSMIQUE

SUR SES APPAREILS DÉTECTEURS, ^{PROTÉGÉS OU NON}

Par L. TUWIM.

Sommaire. 2014 I. Exposé de la théorie mathématique restreinte de coïncidences

cosmiques ^{dans deux} tubes-compteurs, ^{dont les axes sont} parallèles. Les lois de la théorie nombre total et domaines d’existence des différentes expressions analytiques ^de

la sensibilité, lois asymptotiques ^en général, loi des carrés inverses, ^lois d’absorption ^de

coïncidences cosmiques, ^lois d’une g - installation, effet tube-compteur ^{vertical avec}

coïncidences cosmiques, etc.), sont données à la fin.

Formules générales pour le nombre par unité de temps ^de coïncidences dans deux tubes-compteurs : 1. coaxiaux; ^2. égaux avec axes parallèles; ^3. rayons égaux, ^axes parallèles, ligne ^{des centres} perpendiculaire ^{aux axes.}

H. Expressions analytiques générales ^{de la} sensibilité d’un tube-compteur. ^{Loi de} disparition des rayons cosmiques ^non comptés. ^Formule générale pour la sensibilité et le nombre de coïncidences dans la théorie mathématique génerale ^de coïncidences cosmiques.

Loi des petites pressions pour les coïncidences.

III Expressions générales : ^1. de la sensibilité d’un système ^{de n ~ 1} tubes-compteurs, situés dans une armure de dimensions finies, plus épaisses que les ^zones de transition;

2. du nombre par unité de temps de chocs dans un tube-compteur, de coïncidences dans

un système ^de tubes-compteurs pour des ^mesures dans une pareille armure; 3. du nombre total par unité de temps ^de paires d’ions, produits par la radiation cosmique

dans une chambre d’ionisation cylindrique, située dans une armure. Quelques ^{traits de}

la théorie caractéristiques pour les ^armures.

1. Théorie mathématique restreinte de coïncidences cosmiques

dans deux tubes-compteurs, ^{dont les axes sont} parallèles.

1. Introduction. - Les coïncidences cosmiques furent observées pour la première

fois en 1928 par Kolhôrster. Bothe ^et Kolhôrster conclurent en 1929 que chaque rayon

cosmique, qui provoque ^un choc dans un tube-compteur, donne lieu à une coïncidence, si un second tube-compteur ^est placé ^{sur le} chemin de ce rayon. Cette conclusion fut obtenue à une époque où l’effet tube-compteur vertical de la radiation cosmique ^était

encore inconnu. Tuwim remarqua ^en 1931 que les bases ^sur lesquelles Bothe et Kolhôrster fondèrent leur conclusion, n’étaient pas directement expérimentales ^et que leurs calculs donnent seulement l’approximation ^d’orde zéro, négligeant ^l’effet tube-compteur ^vertical.

(Bothe et Kolhôrster supposèrent la radiation cosmique isotrope ^au niveau de la _mer, d’où u, H ^V U !). Ces remarques ^ont conduit Tuwim à introduire comme base de la théorie mathématique restreinte de coïncidences cosmiques ^{outre l’effet} tube-compteur

vertical une nouvelle constante 4’ ’ (0 L @ L 1), ^{la «} capacité spécifique ^de coïncidences,», ,

qui doit être une fonction continue et croissante de l’énergie des rayons cosmiques, ^et d’indiquer ^une installa,tion, la « g 2013 installation », particulièrement adaptée pour la détermination expérimentale ^{de cette} constante. (Les propriétés principales ^de la @ - ^ins-

tallation peuvent être discutées seulement au moyen de la théorie mathématique restreinte, de coïncidences cosmiques et seront pour ^cette raison indiquées seulement à la fin de cet

exposé.) Si les conclusions de Bothe et Kolhiirster sont exactes, alors ~, ^est égal ^{à 1 et la}

constante Iio de la théorie des coïncidences identique ^{avec la constante} de la théorie de l’effet tube-compteur vertical. Si au contraire il existe des rayons cosmiques qui provoquent ^des chocs, mais pas de coïncidences ^on a 9} ^{1 et} /(0

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193300403013800

2. Forme invariante des formules de coïncidences. - Soit S;,(P ^{la valeur de}

~’~,,~ pour ^{a -} 0. Un système rigide ^{en soi de} tubes-compteurs, peut avoir deux mouve- ments de rotation : le premier ^est caractérisé par l’angle ^{0152, le second (autour des} axes) par

l’angle ^{w. Si l’on se borne au cas de deux} tubes-compteurs ^{n° » et avec axes} parallèles

soit alors ^w l’angle ^entre le plan (incliné) qui contient les deux axes des tubes-compteurs

et n° p ^{et un} plan ^vertical parallèle ^{à ces deux axes. Le} diagramme sphérique ^{de sensi-}

bilité ne change évidemment pas pendant ^ces rotations ; ^la sphère qui ^le porte, ^tourne

autour de son centre. Ce qui change ^est seulement l’intensilé des faisceaux élémentairest correspondants ^{à des} points ^du diagramme. ^Deux points diarnétralem.e:1¿l aplmés7 ^au diagranl1ne sphérique ^de sensibilité sont pour ^{des à} grande pression

libres dans l’atnlosphère toujours ^{au mênce niveau, car l’aire commune des} projections

normales des tubes-compteurs ^ne change pas si l’on considère ^au lieu de la vraie direction du faisceau (de ^{haut en} bas) la direction opposée (de ^{bas en} haut). En tournant le système

de deux tube;-rompteurs ^{avec axes} parallèles ^autour de la droite ligne des centres à

on obtient le système inaltéré tandis qu’une droite arbitraire (direction ^d’un faisceau), rigidement ^{liée au} système change ^en général ^sa direction. Ainsi on obtient que la sensi-

système ^{de deu.z} tubes-compteurs avec axes parallèles ^{est la} pour deu.r points ^du diaqramrlie sphérique ^de sensibilité, ^{situés sur un} cercle de latitude

~6, ^{et dont les} langitudes ^{ont la} forme (P ^{et 2,-, - q). Si la} ligne ^des centres est perpendi-

culaire aux deux axes parallèles, alors la rotation à 180° autour de la droite perpendi-

culaire aux axes et à la ligne ^des centres et qui passe par le ^centre de la ligne des centres -est un second mouvement, qui ^n’altère pas le système, ^mais change ^en général ^la

direction des droites rigidement ^{liées à} celui-ci, ^{d’où la} sensibilité i, ^{d’un système de}

deu.z’ tubes-cornpteurs avec axes parallèLes, ^{dont les centres sont situés sur une droite} perpendiculaire ^{aux a.TCS est} la mêrne poun quatre ^du diagramme sphérique ^de

sensibilité situés sur urc et rnême cercle de latitude 0 ^et les longitudes ^{Ofjt la} forme ^(P,

7t - ~, TC + q), ^{2z - ~.} Ainsi l’on obtient la forme invar£ante des formules ^de coïncidences pour le ^cas où les axes des deux tubes-comptenrs ^{sont dans un même} plain.

{où ^{lio =} pour chaque composante hornogèjte ^{de la radiation} cosmique).

Il suffit d’obtenir 1 expression analytique du nombre de coïncidences pour ^{0153 =} 0 ; i’expres;ion pour ^{un a} quelconque ^s’obtient d’après (1) ^sans calculs par simple changement

de variables d’intégration (6, ~ ^en y, If).

3. Quelques relations pour le ^{cas : .}

Le sens positif ^de l’axe, ^d’un tube-compteur ^soit dirigé du centre au point ^le plus

élevé de l’axe, ^{le sens} positif de la droite ligne des centres, [longueur d,,,;, ^direction

(~.,,~, ~,~)] du centre du tube-compteur ^{n° v au centre du} tube-compteur n, p. Ainsi

La distance zénithale 0 soit variable de 0

à " 2 ^{(6 = U} pour rayons verticaux), l’azimut 4) des rayons cosmiques ^et de toutes les autres droites de ^{- oc} à + ^{x et} augmentant ^dans

le ^sens inverse au mouvement de l’aiguille de chronomètre. Le centre de coordonnées

rectangulaires Yl~>1) ^{dans un} plan perpendiculaire ^{à (0,} (1» ^{soit la} projection ^{du centre}

du tube compteur n° ,>, l’axe la projection de l’axe de ce tube compteur. ^{Alors l’axe} ayant ^{la direction}

~, 3 ~‘ -t- ~ ,

direction ( ~ 2013

1>).

centre du tube-compteur ^n° p ^a les coordonnées

où

La projection ^{normale d’un} tube-compteur ^{est bordée} par ^une courbe fermée, que ^nous

appellerons cou,"be-tuhe-compteur. ^Les équations ^{des deux} courbes-tubes-compteurs

n° v et n° p sont ^données par (5) ^et (6).

(v, e, f~,.,, g.,,;, g;,,, ^sont définis par (~) ^et (6) ^{et chacun} de ces 4 nombres est égal ^indé- pendamment des autres à 0 ou 1. Posons

On a toujours d’après (2) et (3)

pour

La relation (li) ^{donne avec la} première ^{et dernière} inégalité ^{de la} première ligne ^de (12) que toujours

Il 1 - Il , ,...,

Pour tous les tubes-compteurs réels, ^{tous les} points intérieurs à l’un sont extérieurs à l’autre, ^d’où la condition d’impénétrabilité.

Les points d’intersection (x~ ~, ^{des deux} courbes-tubes-compteurs ^{n° v et} n° p ^sont

donnés - quand ils existent ^- par les formules suivantes, qui ^ne tiennent pas compte

de la condition (14).

Pour

on a

pour

on a

on a

4. Détermination de toutes les expressions analytiques ^{de la} sensibilité i0,

d’un système ^{der deux} tubes-compteurs, ^{dont les axes sont} parallèles ^{et verti-}

cales. Domaines d’existence de ces expressions. Exemples numériques. - ^Nous

avons vu déjà ^{dans l’article} précédent l’importance fondamentale d’une fonction que ^nous

avions appelée sensibilité. La sensibilité i°, ^{d’un système de deux} tubes-compteurs, ^dont

les axes sont parallèles, peut ^être considérée comme fonction analytique ^d’un point ^de l’espace ^à sept ^dimensions

Poar obtenir les formules générales pour le nombre par unité de temps de coïncidences

cosmiques il est nécessaire de connaître l’expression analytique ^{de la} sensibilité ie

pour ^{tous les} points ^de l’espace

~

La solution du problème est obtenue par la ^{méthode suivante.}

,, On a d’après (13) ^à (23) ^la proposition :

’

claque ( f -F , g q, qo,2, t,o? t ‘,, t)J/+§)) correspond

c af{ue sys ^elne ’l,?’ 1 ,e ^" g; 9?,’" > >’ q?"" t.1,, tb’" correspond

un’

et seulement un point d’intersection des deux courbes-tubes-compteurs ^{n’ v et n°} o. (24)

Ensuite on observe que les courbes-tubes-compteurs ^sont fermées, d’où le nombre de

points d’intersection est pair (entrées -~- sorties) ^à l’exception ^{des cas} limites où au mois deux points d’intersection coïncident. Cela donne : ^{- .}

_

le nombre total de différents systèmes ( f,,~,...) simultanés est toujours pair _{{ {25)}

(zéro inclus).

_

l ^{~ ~}

D’après (5) ^et (6) les 9 nombres entiers fi,?,... sont déterminés par les ^six inégalités

simultanées (26).

’

- .

(15) ^à (23) ^dans (26) permettent ^de remplacer (26) par ^un des trois systèmes ^de

relations simultanées : 1 - (i~ j27>, (28); ^2. (18), (27), (29) ; ^3. (21), (30), ~31).

On aurait d’après (27)

6.5 ;

tanés,mais ^la comparaison ^des conditions d’existence et dé réalité (28), (29) ^donne

avec(12): ^{-. .}

°

’ °

Sont incompatibles ^{les deux} systèmes ¹⁾ ( 10 . 0 ... , . ) ^et (C10..0...); j ~~

D’après (32) :

on n’a jamais plus ^{de 4} systèmes f,, ; -~- rh ., =1 simultanés, (33~

le seul cas possible ^{de 4} systèmes fi. ^{0 +} 1?1 ^{’1 = 1} simultanés est le cas de )

à systèmes ^{= 0,} f ,., ^{= 1} simultanés. i ⁽³⁴⁾

D’après (32) on aurait 4 cas possibles ^{de 3} systèmes fi,? ^{o +} fpr,, ^{-- 1} simultanés, mais

dans deux de ces cas la nonexistence du quatrième système ^est incompatible ^avec l’existence des autres. Ainsi

Il y ^a seulement deux cas possibles ^{de 3} systèmes f,,p -f- /o,. ^{= f simultanée}

pour ^tous les 3 systèmes simultanés f,, ; ^{_ ~,} f?, ^{=1 et un des} systèmes ^{== 0,} (35~

= 1 ~ ~’~. ~~ - ~ n’existe _pas.

’ ’

, ~

~ °

On aurait d’après (32) ^{9 cas de 2} systèmes fl, ~ + f>. ^{_ 1} simultanés, ^mais d’après(129 dans deux de ces cas l’existence simultanée des deux systèmes ^entraîne l’existence d’un

troisième. Ainsi

Jamais les deux systèmes simultanés : 1) (010.. 0... ) ^et 2) (011.. f ...) ^{ou :}

}

J) (010 ..1... ) ^et 2) (01 i .. 0 ... ) n’existent sans l’existence d’au moins un autre (36)

= 0 , f,.v = 1. ^,

~

On aurait a 8.7 = 28 cas de deux système$ f,, + f 2, ^{= 0} simultanés, mais loi

.

,

a priori

t. 2 ^{’ ’}

comparaison des conditions d’existence est de réalité (30), (3i) ^{donne avec} (9), (10), (t2y

que 18 de ^{ces cas sont} impossibles. ^Ainsi

Les seuls dix cas possibles d’au moins deux systèmes .f:.,_e ⁺ te’.’1 ^{=== 0} simultanés J

ensuite (30) ^et (31-) ^{donnent avec} (t 2) ^’

’

°

1

i’existence de (0000.... t) entraîne celle de (00©0....0) ; l’existence ^de (0011 .... 0)

- celle de (0011 .... 1); l’existence de (0010....t) ^{a comme} conséquence ^celle de ^(38j

(0010....0); l’existenc-e de (OOOi ....U) ^{celle de} (0001....1) ;

Avec (37) ^et (38) ^on obtient immédiatement _{que :}

il n’y ^a jamais plus ^{de 4} systèmes /~ + ^{--. 0} simultanés; peuvent exister :

1 ^cas de 4 systèmes (~=~), 2 ^{cas de 3} systèmes g.,~ 9 = g~,., ; ^manque un ⁽ ₍₃₉₎

système g",e = g~,., ~ Il,-?l , 7 ^{cas de deux systèmes et 4 cas de 1 système.} )

On aurait 6.8 ⁼ 48 ^{cas a} priori d’existence simultanée d’un système -)- ip, ,, = 1 ^et

un système f,,e p + f?,., ^{= 0, mais la} comparaison ^{en tenant} compte ^de (1 ~) ^{des conditions}

d’existence des deux systèmes donne que 30 de ces 48 cas sont impossibles. ^Ainsi

les seuls 18 cas possibles ^de l’existence simultanée d’un système

et un système f,, o -~- fa, ⁼ 0 sont les suivants :

Enfin on a les propositions suivantes :

Si existe le système (010..0,..), ^{mais le} système (010..1...) ^n’existe pas ^en

temps, alors existent simultanément les deux systèmes (010..0...) ^et (0000....0). B ^{~ ’}

Si existe le système (0 11.. 0...), ^{maie le} système (Of1..1...) n’existe pas ^en

temps, ^{alors existent} simultanément les deux systèmes (011..0...) ^et (001t....1). ~ ^~

TABLEAU.

Ce tableau donne en notation symbolique ^{les 32} expressions analytiques ^{de la sensi-}

bilité d’un système général ^{de deux} tubes-compteurs avec axes parallèles pour oo, la structure des points d’intersection des deux courbes-tubes compteurs, ^les domaines d’existence de chacune des 32 expressions ^{et un} exemple numérique pour chacune.

TABLEAU (suite).

TABLEAU (suite).

TABLEAU

148

TABLEAU (suite).’

Remarquons qu’on ^obtient 5), 7), 9), i1), 13), 15), 17), 19), 21), 23), 25), 27) ^à partir

de 4), 6), 8), 10), 12), 14), 16), 18), 20), 22), ^24), 26) respectivement ^en y remplaçant

simultanément 0 et par 1 ^{- 0 et 1 -}

(25) ^et (32) ^à (42) donnent les premiers ^{30 cas} du tableau schématique.

Les deux derniers cas de ce tableau sont évidemment les seuls, où les deux courbes-

tubes-compteurs ^{ont 0} point d’intersection.

II. Nous avons démontré jusqu"à présent ^seulement qu’aucun ^cas, qui ^{ne serait} pas

identique ^{avec un des 32 cas} du tableau ne peut ^{exister sans que la condition} (2) ^cesse

d’être satisfaite.

La preuve que tous les 32 cas existent parfois ^{- si l’on ne} tient pas ^encore compte ^de

la condition d’impénétrabilité ^- est donnée dans les exemples numériques ^{du tableau} qui ^{donnent un} point ^intérieur pour chacun des 32 domaines (pas nécessairement d’un seul tenant) ^en lesquels ^{les 32} expressions analytiques ^de i;,9 ^{divisent l’espace à} sept

dimensions .... Considérons maintenant la condition d’impénétrabilité.

d2, p /

°

III. Chaque image du tableau est complètement définie par les valeurs de r,, rp, / le,

cos 8, x(2), yj/. ^{(4) donne :}

’

’ eo e ^..

,.., r.. B

Pour la réalité de (1> - >1,, ;) ^{dans (44) est} nécessaire et suffisant :

Pour la réalité de ~/,? ^{dans (43) :}

où (~D ^-- ~,, ) ^{est donné par} (44).

(44) ^dans (46) ^donne

(47) peut ^être remplacée par (45), qui ^est donc la seule condition à remplir pour que à

une image ^donnée corresponde ^un système ^{de deux} cylindres géométriques.

Pour

la condition d’impénétrabilité (t4) ^est toujours satisfaite. Il suffit donc _{de poser}

et calculer ensuite ~.,, ~ ^{et (b -} ~! ,,, ~ ^d’après (43) ^et (44) pour faire correspondre ^{à une} image quelconque ^{du tableau un} système ^{de deux} tubes-compteurs.

IV. Nous adjoindrons ^aux points d’intersection des deux courbes-tubes-compteurs ^les

coins (points extrêmes de leurs parties rectiligues) ^{de l’une et de} l’autre. Alors chaque ^coin

de la courbe n° v est complètement ^défini par les deux nombres g’I,? ^et q,,, j, chaque ^{coin de}

la courbe n° v par les deux nombres g;,., ^{et L’aire commune} ~5~~~~, ^{est égale à la somme de}

l’aire (positive) ^du polygone « ^{vide », formé} par les points d’intersection etles coins, ^{et des} aires (positives) ^des segments ^de courbes-tubes-compteurs, ^{basés sur} les côtés du polygone

vide et toujours inférieures à la moitié de l’aire de la courbe correspondante. ^,

En effet ^aucun de ces segments ^{ne contient à son intérieur un} coin, ^son aire est donc inférieure

à r2 ^cos 0. Ensuite on observe que la suite des sommets voisins du polygone

2

vide, reliés par ^un côté, est pour chacun des 32 ^cas du tableau complètement ^définie.

L’expression analytique ^est donc pour chacun des 32 ^cas du tableau complètement

définie. Ainsi

’

-

le nombre total exact de différentes expressions analytiques ^{de la} sensibilité d’un système ^{de deux} tubes-compteurs ^{n° v et} n° o, ^{où r,} ~ r,, ~.t~.,, ? ^{~ ~ ~}

est égal ^{à 32.}

V. Nous avons obtenues toutes les expressions analytiques ^{de la} sensibilité, ^mais

pour connaître l’expression analytique de 1§,+ ^{dans un} point quelconque ^de l’espace

( 2013-r... )

dl, ? )

Les domaines d’existence des 9 premiers ^{cas du tableau sont obtenus au} moyen de (28), (29), (30), (3i) ^en combinant les conditions d’existence de chacun des 4 points d’intersection et

en tenant compte ^de (~1) ^et (42). On obtient les domaines d’existence des 21 cas suivant s

[10 ^à 30] ^en combinant les conditions d’existence des deux points d’intersection avec la

150

nonexistence de tous les cas 1 à 9 où ces deux points participent. ^{Lets 2 derniers cas, 3i}

et 32, doivent être traités par ^une méthode différente car dans ces deux cas on n’a pas de

points d’intersection.

Cas 31. Il est nécessaire et suffisant que simultanément : 1. tous les perpendiculaires

à l’axe -X’1"), menés d’un point quelconque de la courbe n° p, traversent prolongés ^{la courbe} n° y; 2. tous les points de rencontre avec la courbe de chaque pareil perpendiculaire

soient moins éloignés ^{de l’axe} que les points ^{de rencontre avec} la courbe n° ~r. Les rencontres avec la courbe n° u sont

avec la courbe

La condition 1 exige la réalité des racines, la condition 2 donne

quel que soit On trouve le minimum de la partie ^droite.

Cas 32. Il est nécessaire et suffisant qu’une ^{des deux} possibilités ^{suivantes ait lieu :}

i. il n’existe _{pas de} perpendiculaire ^{à l’axe} X("), qui ^traverse simultanément les deux courbes n° v et n° p ; ^{~. des} pareils perpendiculaires existent, ^{mais les} points de rencontre de

ces perpendiculaires prolongés ^{avec la courbe n°} p sont plus éloignés ^{de l’axe} que leurs

points de rencontre avec la courbe n° v. La seconde possibilité ^donne

quel que soit x~~-~. On trouve le maximum de la partie droite dans (59).

La première possibilité donne évidemment

Ainsi l’expression analytique ^{est donnée} toujours par le tableau. Nous avons

posé dans le tableau pour abréger

Pour simplifier ^les images ^du tableau les parties elliptiques ^des courbes-tubes- compteurs ^sont remplacées par des lignes ^droites (parfois par ^une droite, parfois par deux).

Pour éviter des malentendus une flèche est portée ^{sur une des deux} parties vraiment recti-

lignes ^des courbes-tubes-compteurs, qui indique la direction positive ^{de l’axe} Y, ^{liée à ce} tube-compteur. Pour que la même flèche indique ^{aussi la direction} positive ^{de l’axe X,}

nous posons cette flèche seulement ^{sur une} des deux parties rectilignes ^{- sur} celle, ^{dont les} abcisses sont positives. Les coins des courbes-tubes-compteurs ^sont indiqués par des cercles noircis. Les parenthèses contiennent le domaine d’existence et un exemple numérique.

5. Notation symbolique ^{de la théorie} mathématique des coïncidences cos-

rniques. - Nous allons désigner dans les formules l’expression analytique ^de par ^son

r 1 1

image ^du tableau, ^donc .S;, et> ^{= image.}

Nous écrirons ensuite dans le cas d’axes parallèles :

Si on obtient b de a en changeant ^{dans a un} signe p par ^{-, ou} si l’on obtient d de c en changeant ^{dans c un} signe ⁺ par -, ^nous écrirons

’

Si ê." ^{- O. nous} supprimons ^les places pour tA) ^et ~.,, ; ^{dans Il!J. Ii et} Si E.,, ; _ ~, ^nous

supprimons ^la place pour dans F~" ^et K:J. 11.

La parenthèse ^de coïncidences est définie par

- l’aire du segment ^{de la courbe n° v, basée sur la} ligne ^droite qui ^{relie les deux} points

Le crochet de coïncidences est défini par

_-_ l’aire du polygone, formé par les n points ^{..., de telle} façon que la ligne ^droite qui relie les deux points ( f,,;,;~,.. ) ...) ^{est un}

côté du polygone quel que soit k ^---- 1, 2,..., n-1,

6. Formule générale pour le nombre par unité de temps ^de coïncidences cosmiques ^{dans deux} tubes-compteurs coaxiaux. - On ^a d’après (4)

La condition d’impénétrabilité (14) ^{donne alors}

Avec (71) ^{on obtient}

(71), (72), (73) ^donnent

Sont impossibles pour deux tubes-compteurs coaxiaux les 8 systèmes

Le Tableau donne alors avec (79 ), (73), (74) la formule générale pour le nombre par unité de temps ^de coïncidences cosmiques ^{dans deux} tubes-compteurs ^coaxiaux.

7. Formule générale pour le nombre par unité de temps de coïncidences

cosmiques ^{dans deux} tubes-compteurs, dont les rayons ^sont égaux, ^{les axes} parallèles, ^la ligne ^{des centres} perpendiculaire aux axes. - On peut supposer

il suffit de considérer la partie ^du diagramme de sensibilité

Avec (76), (77) ^et (14) ^{on obtient}

d’où

sont impossibles pour

Avec (ï6)) (77), (78) ^et (79) ^dans le tableau on obtient la formule

8. Formules générales pour le nombre par unité de temps ^de coïncidences cosmiques ^{dans deux} tubes-compteurs égaux, ^{dont les axes sont} parallèles. ^-

On a,

d’où

Avec (81) ^et (82) ^{on obtient :}

’

Sont impossibles pour r,, ⁼ rj, l., ⁼⁼ 1,, ^{a,, =} ap ^{- 0 les 4} systèmes (

.

La condition d’impénétrabilité (14) ^donne que peuvent ^{être seulement les trois cas}

suivants

. "

Avec (81 ), (82), (83) ^et (84) ^dans le Tableau on obtient les formules générales pour ^le nombre par unité de temps ^de coïncidences cosmiques ^{dans deux} tubes-compteurs égaux,

dont les axes sont parallèles

~. Lois générales ^{de la théorie} mathématique restreinte de coïncidences

cosmiques (1). - l. La relation entre le nombre par unité de temps de coïncidences cosmi- ques et les dimensions géométriques ^du système ^de tubes-compteurs n’est pas algébrique

et rationnelle comme dans le cas des chocs cosmiques ^{dans un} tube-compteur, ^{mais trans-}

cendante et même pas représentable ^en général par ^une seule fonction transcendante, ^mais

par ^un nombre fini de pareilles fonctions. Le passage s’effectue continûment à certaines valeurs géométriques. -

II. L’intégration ^{dans les} formules de coïncidences ne peut pas être effectuée d’une

façon générale ^au moyen de fonctions connues ; mais pour certaines valeurs limites des variables _r.,, r;, II, le, d, e’I,? les formules deviennent intégrables ^et donnent les lois asynlp-

fOlique s

Qnelques-unes ^{de ces lois sont} données dans la suite.

III. Loi des carrés inverses. ^- Si la distance d.,, ; entre les centres des tubes-compteurs

est beaucoup plus grande que toutes les dimensions r’l, r~, 1,,, 1, ^des tubes-compteurs, ^alors

le nombre par uni té de temps de coïncidences cosmiques est inversement proportionnel ^au

carré de la distance entre les tubes-compteurs. ^{Pour deux} tubes-compteurs égaux ^roaxiaux

on a d’après chapitre ⁶

. , ’"

(1) Une étude détaillée des propositions ^{de ce} chapitre ^sera donnée dans les articles à suivre.