Sur les champs vectoriel et pseudovectoriel

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Submitted on 1 Jan 1954

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Sur les champs vectoriel et pseudovectoriel

K.H. Tzou

To cite this version:

K.H. Tzou. Sur les champs vectoriel et pseudovectoriel. J. Phys. Radium, 1954, 15 (7-9), pp.559-562.

�10.1051/jphysrad:01954001507-9055900�. �jpa-00234993�

SUR LES CHAMPS VECTORIEL ET PSEUDOVECTORIEL Par K. H. TZOU.

Sommaire.

On étudie les champs décrits par

vecteur

par

pseudovecteur, ^{dont les} quatre composantes, satisfaisant à l’équation ^du type Dalembertien,

sont soumises à

condition supplémentaire. ^{De tels} champs, vectoriel et pseudovectoriel, représentent

superposition ^de quatre ^{états de} spin : ^{trois de} spin ^{total I et}

^de spin

^La séparation explicite ^de

^{états de} spin

est effectuée

présence des interactions

champ spinoriel, ^{par les} couplages linéaires par rapport

variables du champ ^vectoriel

pseudovectoriel. On introduit ensuite, dans le forma- lisme multitemporel, ^la représentation d’interaction qui ^est simple à formuler grâce à l’absence de condition supplémentaire. On effectue la décomposition explicite des états de spin dans cette repré-

sentation et l’on déduit ainsi facilement la représentation d’interaction des champs vectoriel et pseudo-

vectoriel à divergence ^nulle

interaction

champ spinoriel.

JOURNAL PHYSIQUE 15, JUILLET-AOUT-SEPTEMBRE 1954,

Introduction.

La description ^d’un champ mésique ^de spin ^n, entier, peut s’effectuer ^au moyen d’un tenseur de rang n, soumis à :

Iodes équations fondamentales du type ^Dalem- bertien ( [j - k2) tfij

^{o ;}

20 des conditions supplémentaires, qui ^sont

d’ailleurs de deux sortes, les ^unes renfermant les dérivées premières des fonctions d’ondes, ^{les autres} étant constituées par des relations algébriques (traces).

Ainsi, ^un champ mésique ^vectoriel §, ^{est décrit}

par

Une fonction d’onde constituée par ^toutes les

composantes ^{d’un tenseur de} rang ^{n, ne} représente

pas ^un champ ^de spin ^{n mais un} mélange. ^{Le rôle}

des conditions supplémentaires ^est justement ^d’isoler

dans ce mélange ^le champ ^de spin ^{n et, ce} faisant, de réduire l’énergie ^{totale à une} quantité ^essentiel-

lement positive. L’équation ^{obtenue en} appliquant l’opérateur fondamental (E - k2) ^{à toutes les} composantes ^{d’un tenseur,} définit ainsi des champs qu’il ^semble intéressant d’étudier, ^{en raison même} de la simplicité ^{de leur} définition. Dans ce qui ^suit,

nous nous bornerons aux champs ^décrits par ^un vecteur

par ^un pseudovecteur ^A, satisfaisant à (D 2013 À2) ^{A === o,} mais dont la divergence ^n’est

pas nécessairement nulle, c’est-à-dire qui ^{ne rem-} plissent pas la condition supplémentaire.

Ces champs ^{ont chacun} quatre composantes,

donc une de trop pour la description irréductible d’un champ ^de spin ^unité.

On peut ^{aisément montrer} que la composante

éliminée par la condition supplémentaire ^corres- pond ^aux quanta ^de spin

^et d’énergie négative.

Le champ ^{v. ou} p. ^v. (1) ^{sans condition} supplé-

(1) Champ

(vectoriel) ^{et p.}

(pseudovectoriel).

mentaire représente ^donc une superposition ^de quatre ^{états de} spin : ^{trois de} spin ^total

^et

de spin

^La séparation explicite ^{de ces états est}

effectuée en présence ^des interactions avec

champ spinoriel par trois couplages, ^linéaires par

rapport ^aux variables du champ ^{v. ou} p. ^{v. ou} à leurs dérivées. Cette décomposition ^est complète : ^il n’y ^a pas d’interaction ^entre les états de spin i ^{et o,}

et ceux-ci interagissent séparément ^{avec le} champ spinoriel par les couplages ^habituels respectifs.

Nous adopterons le formalisme multitemporel [1].

C’est, ^en fait, grâce ^{à ce} formalisme covariant que l’on peut ^{effectuer une étude} complète ^du problème.

Nous introduirons ensuite la représentation ^d’inter-

action et effectuerons la décomposition explicite

des états de spin ^{dans cette} représentation.

Nous pourrons ainsi ^en déduire facilement la

représentation d’interaction des champs ^{v. et} p. ^v.

à divergence ^{nulle en} interaction avec le champ spinoriel, ^ce problème ^étant beaucoup plus compliqué

à formuler à cause de la condition supplémen-

taire [2]. L’élimination du couplage ^{v. de l’inter-}

action scalaire-spinorielle ^et l’équivalence ^{des cou-} plages p. ^{s. et} p. ^v. de l’interaction pseudoscalaire- spinorielle ^seront étudiées de façon parallèle ^{à l’aide}

de transformations unitaires toutes semblables.

Séparation explicite ^{des états de} spin.

Soit au le vecteur ^ou le pseudovecteur ^du champ

considéré et cp, q+ (spineurs) ^{les variables du} champ spinoriel. La fonction lagrangienne ^{des deux} champs

en interaction est

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01954001507-9055900

560 où

a, au, auv ^sont égaux respectivement ^{à i,} iyu,

OE>v ( ^{+ à} (l’» IV ]) ^{dans le cas vectoriel et égaux}

’à iY3( == iYJ Y2 Y:j ")’4), i’YiJ Y, iY.OE>,> ^si ér> ^{est p. v.}

L’ introduit les trois couplages ^{s., v., t.} (ou p. s., p. v., p. t.). ^Le

self-couplage » (w :S2) ^du champ spinoriel ^est introduit pour permettre ^une décompo-

sition exacte des spins ^du champ cx, ^{en ce} qui

concerne les interactions avec q?- Les équations ^des champs ^sont respectivement

et

où

L’énergie ^et l’impulsion ^du champ éi, ^sont

données par :

et le spin [3],

fj

est une surface à trois dimensions du genre espace dans l’esp,ace-temps.

Examinons maintenant de quelle façon ^{les états}

de spin ^du champ a,, peuvent ^être séparés ^de façon explicite. ^En l’absence d’interaction

Lorsque Ko ^{o, êtv sera} complètement ^déterminé si smv et x ^{sont connus. Ainsi, si} a,, ^est décomposé

en deux champs composants, ^{l’un à} divergence

nulle et l’autre à rotation nulle, ^le premier ^déter-

mine S7,t, ^{et le} second z ^de façon séparée. ^Écrivons

donc él,

(13J. ⁺ Cu, ^où

La rotation nulle de Cli le réduit à un champ ^s.

ou

p. ^s. (s), d’après

Donc él, ^se décompose ^{enfin en} Bu ^{et F, selon le}

schéma

et l’on a

s

détermine ainsi la divergence ^de el, ^et Bu, ^indé- pendamment, la rotation. Bu, ^{a trois} composantes indépendantes (Ko # o). ^Le schéma de décompo-

sition est donc un changement ^de variables des ati

en J3, ^et

En présence ^d’une interaction, ^le schéma doit être modifié pour le rendre compatible ^{avec les} équations ^des champs. D’après

l’équation (2) ^du champ (,’t ^{doit se} décomposer

en deux équations respectivement indépendantes

de &o, ^{et E,} qui permettent ^{encore à} Bu ^{de satis-}

faire à une certaine condition supplémentaire ^de divergence. ^{Ces deux} équations ^{sont en fait}

et

d’où l’on tire

Le schéma (3) ^{est ainsi} complété par (3 a). ^Avec (3 a), l’équation ^du champ â3(J. ^{se met sous la forme}

habituelle :

Si ét, et Ju ^{sont des} vecteurs, b

^{et donc} t’ = u X [.1-

même en présence des interactions avec cp. Avec la

décomposition (3), (3 a)

Le champ tlIJ. ^se décompose ^ainsi complètement

en ô3IJ. ^{et e sans aucune} interaction entre ceux-ci.

La fonction lagrangienne ^{et les} grandeurs phy- siques ^se décomposant ^{aussi de} façon explicite ^et

exacte en deux parties correspondant respecti-

vement à u3, ^{et E, en} interaction séparément ^avec y.

A l’aide de (3), (3 a), ^{on tire, à une} 4-divergence

près,

où

Dans la décomposition ^de s(’l) d’après (3), (3 a), l’énergie-impulsion ^du champ â3IJ. ^est

et celle du champ

Dans la décomposition ^{du moment} cinétique ^total

du champ ^{élu., le} spin ^du champ J3, ^est

tandis que le spin ^du champ E ^{est (R(E)}

repré-

sente ainsi l’état du spin

d’énergie négative. ^Les

états du spin i (champ Bu) ^{sont trois états d’énergie} positive.

En théorie neutre, ^le couplage ^{v. de l’inter-}

action e - Cf peut ^être complètement ^{éliminé à}

l’aide de la transformation unitaire

et l’équivalence ^des couplages p. ^s. et p. ^v. de l’inter- action e - sP peut ^être effectuée par ^{une trans-} formation unitaire semblable [4] :

Représentation d’interaction.

La repré- sentation d’interaction se caractérise _{par la} sépa-

ration des interactions des champs ^{avec les} champs

eux-mêmes ^dans la description de l’évolution du

système. Ainsi, ^{dans cette} représentation, l’équation

d’onde est caractérisée uniquement par ^un opérateur

hamiltonien d’interaction, tandis que les champs

eux-mêmes se comportent ^{comme des} champs libres, c’est-à-dire _{que les} variables des champs ^obéissent

aux équations correspondantes ^{comme s’il} n’y ^avait

pas d’interactions. ^En général, ^la représentation

d’interaction est déduite de la représentation

d’Heisenberg à l’aide d’une transformation unitaire.

Il s’agit d’abord de trouver l’opérateur hamiltonien d’interaction qui, dans le formalisme multitemporel,

est nécessairement ^un scalaire et satisfait à la condition d’intégrabilité ^de l’équation ^d’onde. En

cas d’interaction du champ ^{v. à} divergence ^nulle

avec le champ spinoriel, ^{il est difficile et} compliqué

de trouver cet opérateur d’interaction, ^même quand

on considère seulement le couplage ^v. qui ^ne dépend pas des dérivées des variables des champs [2].

La raison en est justement la condition supplé-

mentaire de divergence ^{nulle du} champ ^v. qui exige les relations de commutation dépendant ^des

dérivées de la fonction ô. Si l’on abandonne cette condition supplémentaire, ^{il est facile de formuler}

la représentation d’interaction même quand ^on prend également ^en considération les couplages ^s.

et t. qui dépendent des dérivées des variables du

champ ^{v. Puis,} à l’aide de la décomposition expli-

cite du champ ^v. par rapport ^{aux états de} spin

comme celle dans la représentation d’Heisenberg,

nous déduirons facilement la représentation ^d’inter-

action du champ ^{v. à} divergence ^{nulle en inter-}

action avec le champ spinoriel. ^{La situation est}

essentiellement pareille pour le champ p. ^v.

Soit U (a) la transformation unitaire pour le passage ^{de la} représentation d’Heisenberg ^{à celle}

d’interaction. Les nouvelles variables des champs

sont alors

et les relations de commutation et d’anticommu- tation

Do ^{et à sont les fonctions} singulières définies respec- tivement avec Ko ^{et K.} L’équation ^{d’onde dans la} représentation d’interaction s’écrit

H’ est l’opérateur d’interaction, ^un scalaire qui

satisfait à la condition d’intégrabilité ^{de cette} équation d’onde,

Pour le système ^des champs él, ^{et cp,}

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pondantes ^de X’ [J.’J’ ^S, ;!tL’ OTtv., respectivement,

mais définies avec les nouvelles variables Av., y;, Ç.

Ces nouvelles variables satisfont toutes aux équa-

tions des champs ^libres correspondants.

La décomposition explicite ^{des états de} spin ^du champ ^{Au. est ici très} simple ^{du fait} qu’il ^se comporte

comme champ ^{libre. Le schéma est évidemment}

Il s’applique ^au champ p.

^{comme au} champ ^v.

Bu et 1 satisfont aussi ^aux équations ^des champs ^{libres et alors X}

Kol ^et F uV

Guv

’

Guv

^dB, -- dB,, _{Ainsi, de (4) et (6), on déduit}

(Guv == B"

dxv ^{Ainsi, de (4) et (6), on déduit}

Avec (6), l’opérateur d’interaction (5) ^devient

ou

H’(z) et H’(B) satisfont tous deux et séparément ^à

la condition d’intégrabilité ^de l’équation d’onde, ^si

Ici H’(z) et H’(B) sont respectivement l’opérateur

d’interaction du système l: - ^et celui du sys- tème B, - Ç. ^Le champ Au ^se décompose ^ainsi

en Bu ^{et 1 sans aucune} interaction entre ceux-ci.

Pour justifier que 1 ^et Bu ^sont respectivement ^la

variable du champ ^{s. ou} p. ^{s. et} celles du champ ^v.

.

ou p. ^v. à divergence nulle dans la représentation d’interaction, il faut retourner encore à la repré-

sentation d’Heisenberg après ^la décomposition (6).

En fait, ^on démontre facilement que les relations de transformation des variables de ces champs

entre les deux représentations ^sont respectivement

Ainsi sont déduites les représentations ^d’inter-

action des champs 1 ^et B, ^en interaction séparément

avec le champ spinoriel.

Le second terme de H’(-) représente ^le couplage ^v.

ou p. ^v. de l’interaction 1: - Ç. ^Il peut ^{être éliminé}

à l’aide de la transformation unitaire suivante :

Dans le ^cas du couplage ^v., cette élimination est

complète et exacte. Le couplage p. v., après ^la

transformation R, disparaît ^{en faveur d’un} couplage

p. ^{s. et} des ’termes du 2e ordre et d’ordre supérieur.

Conclusion.

Le champ

^ou p., ^{v. sans condi-} tion supplémentaire représente quatre ^{états de} spin, qui peuvent ^être séparés ^de façon explicite

même en présence ^des interactions avec le champ spinoriel. ^{Dans les} problèmes physiques ^{où inter-}

viennent simultanément les quanta ^de spin

^et

ceux de spin

^en interaction avec les particules spinorielles, ^{il est} beaucoup plus simple ^de prendre

directement tel champ

^ou p. ^v. pour ^ces quanta

de spin

^et

que d’employer ^{les deux} champs

pour les deux espèces ^de quanta séparément. ^{Dans le}

cas d’une masse propre nulle (Ko

o), ^la décompo-

sition explicite ^des spins n’est pas possible. ^Le

schéma (3), (3 a) (sans le facteur Ko1) ^{devient la}

transformation de jauge, ^si ét, ^{ést un} champ ^{v. de}

masse propre nulle et obéit lui-même à la condition de divergence da 1, - S. a est alors invariant de

dxu

jauge, c’est-à-dire _que ét, ^est équivalent ^à ô3tl dti-3t

dx, ::= 0). ^La composante ^{E, dans ce cas} limite,

dxu

n’est pas

champ ^{au sens de la} quantification.

Cela indique que la condition de Lorentz en électro-

dynamique ^est superflue ^{dans les} problèmes ^des

processus de quanta ^virtuels.

La présente ^méthode peut ^être généralisée ^aux champs tensoriels de rang quelconque ^{sans condition} supplémentaire ^{en ce} qui ^{concerne la} décomposition explicite des états de spin, ^en introduisant cepen- dant un second procédé ^de décomposition ^{à l’aide}

de la condition de trace nulle. Chaque composante

non nulle d’un champ ^{tensoriel sans condition} supplémentaire représente ^{un état de} spin ^bien défini, ^{et les deux} conditions supplémentaires (divergences ^{et trace} nulle) ^sont suffisantes pour la séparation explicite ^{de tous} les états de spin.

Manuscrit reçu le 26 octobre 1953.

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