Modélisation de l'irradiation solaire globale à l'aide de processus Arma : application à la prediction à faible pas de temps (horaire), en vue de l'établissement de commandes optimales dans I'habitat

HAL Id: jpa-00245401

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Submitted on 1 Jan 1985

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Modélisation de l’irradiation solaire globale à l’aide de processus Arma : application à la prediction à faible pas

de temps (horaire), en vue de l’établissement de commandes optimales dans I’habitat

C. Bénard, E. Boileau, B. Guerrier

To cite this version:

C. Bénard, E. Boileau, B. Guerrier. Modélisation de l’irradiation solaire globale à l’aide de processus

Arma : application à la prediction à faible pas de temps (horaire), en vue de l’établissement de

commandes optimales dans I’habitat. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique /

EDP, 1985, 20 (12), pp.845-855. �10.1051/rphysap:019850020012084500�. �jpa-00245401�

Modélisation de l’irradiation solaire globale ^{à l’aide} de processus Arma :

application ^{à la} prediction ^{à faible} pas de temps (horaire),

en vue de l’établissement de commandes optimales ^{dans I’habitat}

C. Bénard, E. Boileau et B. Guerrier

U.A. 871, ^Bât. 502, Campus Universitaire, ⁹¹⁴⁰⁵ Orsay Cedex, ^France (Reçu ^{le 20} septembre 1984, révisé le 3 juillet ^1985, accepté le 26 août 1985)

Résumé.

Nous étudions la modélisation de la variable irradiation solaire globale ^{au pas de} temps de l’heure, ^en particulier dans le but de disposer d’un outil adapté ^aux problèmes d’optimisation ^de systèmes énergétiques (notam-

ment habitat). ^Les modèles utilisés sont de type Arma. La variable est tout d’abord centrée et normalisée et nous testons ici les conséquences ^{sur la} qualité de la modélisation d’une transformation supplémentaire qui ^{rende la}

variable réduite gaussienne.

Abstract

Models of the hourly global solar radiation are presented, ^{with a view to create the} appropriate ^{tool for} optimizing energy systems (particularly buildings). ^{We use} Arma process. The variable is first transformed into ^a reduced variable and we analyse ⁱⁿ this paper the consequences ^on the models reliability ^{of a} preliminary ^trans-

formation that makes the reduced variable Gaussian.

Classification

Physics ^Abstracts

92.60

1. Introduction.

1.1 SITUATION DU PROBLÈME : IMPORTANCE DES VARIA- BLES MÉTÉOROLOGIQUES ^POUR L’OPTIMISATION DE BÂTI-

Mentez L’optimisation ^d’un système énergétique

met en jeu plusieurs ^{niveaux :} choix, conception ^et

dimensionnement du système ^d’une part, ^commande optimale ^{de ce} système ^d’autre part. Lorsque ^les

variables météorologiques ^sont des entrées d’un

système, elles interviennent à ces deux niveaux. Il est alors nécessaire de disposer ^d’une représentation ^des

variables météorologiques adaptée ^au système ^éner- gétique ^{et au} problème ^étudié.

Dans le cas de l’établissement d’une commande

optimale, ^{on est} amené à résoudre une équation ^{de la}

forme :

f(x, u, w) ^{où x est le vecteur d’état carac-}

térisant le système énergétique, ^{u est le vecteur des}

variables de commande et w représente ^les perturba-

tions extérieures et donc en particulier ^{les variables} météorologiques. Cette résolution se fait compte ^tenu d’un critère ^« de coût » _que l’on cherche à minimiser

sur un horizon de temps ^{D. Il est} donc nécessaire de

disposer ^d’une représentation de l’évolution tempo- relle des perturbations météorologiques intervenant dans le terme w(t).

Le choix des variables météorologiques, ^du type ^de modèle et du _pas de temps à considérer dépend ^du système envisagé : ^{le modèle} météorologique que

nous allons présenter ^{ici est étudié en} particulier ^en

vue d’optimiser ^la gestion ^de systèmes intégrés ^à

l’habitat (mur ^trombe ventilé, gain ^direct contrôlé, isolation dynamique...). ^Ce type ^de systèmes ^{est très}

sensible aux entrées météorologiques ^et les commandes que l’on calculera seront donc fortement dépendantes

des prédictions que l’on aura pu établir _pour carac-

tériser w(t) : c’est donc à l’étude de ces entrées _que

nous nous intéressons dans cet article.

Pour la mise en oeuvre de commandes sur ce type de systèmes, ^on peut envisager, ^au niveau météorolo-

gique, ^diverses possibilités :

-

la mesure de données météorologiques ^locales

à l’aide de quelques capteurs ^{de mesure et} l’utilisation d’un modèle de prédiction ^{utilisant ces données} locales ;

-

la connexion à un réseau météorologique régio-

nal qui délivrerait des prédictions établies à l’aide d’un ensemble important d’informations.

Ces deux démarches peuvent d’ailleurs être utilisées de manière complémentaire : utilisation de données locales _pour les faibles _pas de temps (1 ^{heure à} quelques heures), utilisation de données synoptiques pour les pas de temps plus importants (passage ^d’un jour ^à l’autre...). ^L’étude présentée ^{ici se} situe dans la première démarche, ^{soit le} traitement et la modélisation de données météorologiques locales, ^{à faible} pas de

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:019850020012084500

temps. ^{Il est certain} que la restriction de l’information

aux seules données locales limite la qualité ^des pré-

dictions _que l’on peut ^{obtenir. Cette solution} présente cependant l’avantage d’une relative simplicité ^{de mise}

en oeuvre (utilisation ^de quelques capteurs ^{de mesure}

sur le site même, traitement très léger ^{une fois} que le modèle a été mis au point). ^Elle permet également d’adapter précisément ^{le modèle au} problème étudié,

en particulier ^{au niveau} pas de temps : ^en effet, ^les services météorologiques ^ne délivrent pas à l’heure actuelle de prédiction pour des _pas de temps ^de l’ordre de une à quelques ^heures.

Le choix d’une méthode plus ^{ou moins} sophistiquée

pour l’évaluation de w(t) dépendra ensuite des divers

cas pratiques étudiés : c’est une comparaison ^des gains ^{obtenus en} utilisant, pour calculer la commande

optimale, ^ces différentes évaluations qui permettra ^de guider ^ce choix, ^en déterminant l’incidence de la

qualité ^{de la} prédiction ^{sur les} gains.

Les modèles météorologiques peuvent également

être utilisés dans l’étape ^de conception ^{et dimension-}

nement des systèmes : ^il s’agit ^{alors de} disposer ^d’un

outil résumant les caractéristiques statistiques ^inté-

ressantes du _processus météorologique (et ^en parti-

culier les effets de corrélation temporelle) ^et permet-

tant la simulation de données météorologiques ^uti-

lisables ensuite comme entrée du système pour ^en tester le fonctionnement.

1.2 CHOIX DE LA VARIABLE.

Pour les systèmes intégrés ^à l’habitat, les variables météorologiques qui

interviennent principalement ^{sont le} rayonnement solaire, ^la température ^{et le vent} (apport énergétique

et pertes). ^{Nous nous} intéressons ici à l’irradiation solaire globale, ^{étudiée au} pas de temps ^de l’heure,

c pas de temps ^étant adapté ^aux systèmes envisagés.

(La ^variable température, beaucoup plus stable, ^ne

pose pas grand problème ^aux pas de temps envisagés.

La variable vent est plus problématique ^{et fera} l’objet

d’une étude ultérieure). L’objectif ^{final est de} disposer

d’un modèle complet ^{de ces trois} grandeurs.

Dans une étude préalable [1], ^{il a} été montré _que l’introduction des variables humidité, température

et pression dans les modèles de prédiction ^{de l’irra-}

diation solaire globale horaire à l’intérieur d’une même journée n’en améliorait _pas de façon ^très significative ^à qualité : ^{nous nous} limiterons donc ici à la seule variable irradiation, pour le modèle au

pas de temps ^horaire interne à la journée. ^Nous

noterons dans la suite G cette variable (unité : J/m2

et heure).

1. 3 MODÈLE.

Les modèles utilisés sont de type Arma [2]. ^{La variable G est tout} d’abord stationnarisée

partiellement par centrage ^et réduction afin d’éliminer les fluctuations lentes saisonnières.

Dans une première ^étude [3], les modèles avaient été construits à partir ^{de la variable} centrée réduite. Une étude des distributions _pour les différentes heures et

différents mois de l’année montre qu’il n’est, ^{dans la} plupart ^{des cas,} pas possible de considérer la distri- bution de la variable réduite comme gaussienne.

Nous avons par conséquent ^{effectué une} transforma- tion sur la variable réduite, afin de la rendre _gaus- sienne, ^{et donc mieux} adaptée ^{aux modèles} employés (voir 2. 4). ^{Le but de cette étude est de tester la néces-}

sité d’une telle transformation, selon l’utilisation recherchée (simulation ^ou prédiction). ^En effet, ^cette opération ^{a le} désavantage d’alourdir les modèles

simples ^utilisés jusqu’ici, ^{et ne} permet pas de _conserver,

au niveau de l’entrée météorologique irradiation, ^le

caractère linéaire des modèles. Or, si le système énergétique ^lui-même peut être modélisé à l’aide d’un filtre linéaire, l’utilisation d’un modèle stochastique

linéaire à l’entrée permet de déduire analytiquement

certaines propriétés statistiques de la sortie. Notam- ment la variable caractérisant la sortie peut ^s’écrire

également, après réduction, ^comme filtrée linéaire d’une variable gaussienne.

2. Construction de la variable réduite.

2.1 DONNÉES UTILISÉES.

Les données utilisées au cours de cette étude sont les données de rayonnement solaire global ^fournies par la Météorologie ^Nationale

pour le site de Trappes, de l’année 1965 à l’année 1976, ^{soit 12 ans de données.}

Les données horaires sont constituées _par l’inté-

grale de l’éclairement sur une surface horizontale

sur une période d’une heure.

Nous noterons Ga,j,h ^{ces données avec}

a

indice de l’année 1 a ¹²

j

^{indice du} jour ¹ j ³⁶⁵ (les 29 février ont été éliminés)

h

indice de l’heure 1 h ¹⁶

avec

Ga,j,1

intégration ^{de 4 H à 5 H} (TSV)

Ga,j,2 = intégration ^{de 5 H à 6 H} (TSV)

Ga,j,1 6

intégration ^{de 19 H à 20 H} (TSV)

unité : j/M2 ^{et heure.}

Z . 2 VARIABLE RÉDUITE.

2.2. 1 Pour satisfaire les contraintes imposées par

l’emploi ^de modèles Arma nous avons cherché à

stationnariser la variable G a,j,h ^{en tenant compte du} phénomène journalier (variation de la hauteur du

soleil) ^{et du} phénomène saisonnier (variation ^{de la}

hauteur maximale).

On construit donc une nouvelle variable

où :

Gj,h caractérise le niveau moyen de _{G pour} l’heure h

’

du jour j

03C3j,h caractérise l’amplitude des fluctuations autour de

ce niveau moyen pour l’heure h du jour j.

D’autre part, ^un travail antérieur [3] ^{nous a conduit}

à séparer l’échantillon de départ ^{en deux} sous-ensem-

bles définis à l’échelle de la journée : jour ^{de beau}

temps ^et jour ^{de mauvais} temps.

Nous avons été amenés à cette division en deux sous-ensembles _par l’étude des coefficients de corré- lation : en effet, nous avons calculé à partir ^{de tout}

l’échantillon de départ les coefficients de corrélation pi, 1 _ ⁱ _ ^{5 où} Pi caractérise la corrélation entre fheure k et k - i. (On ^constate que ^ces coefficients sont en première approximation indépendants ^de

l’heure k) [3]. Pi décroît en fonction de, 1, ^{mais cette}

décroissance est faible et le coefficient _p5 reste élevé.

Une telle corrélation indique ^{une tendance} générale

à la stabilité au cours d’une journée. ^En effet, pour

un jour ^{de beau} (mauvais) temps stable, ^l’ensemble

des Ga,j,h ^est supérieur (inférieur) ^{au niveau} moyen

Gj,h ^{ce qui conduit aux valeurs} importantes ^des

pi pour les ordres élevés. La détermination d’un nom-

bre important ^de paramètres dans les modèles Arma pose ^un problème ^de précision : ^{il nous a semblé} pré-

férable de prendre ^en compte ^ce phénomène ^{de sta-}

bilité en considérant plusieurs types ^de jours. ^Les histogrammes de la variable réduite selon les diffé- rentes époques de l’année présentent ^{un creux autour}

de zéro [3]. ^La séparation ^en deux classes est donc apparue appropriée : ^les jours de beau temps (mauvais temps) ^{sont définis} par G,,@j >, Gj ^{(G.@j Gj) où Gay}

représente le rayonnement ^solaire global pour ^tout le jour j, ^et Gj ^{son niveau} moyen pour le jour j ^soit

On considérera donc dans la suite deux types ^de variable réduite :

cas beau temps

où

GB @ correspond ^{à un} jour ^beau temps

G Bh caractérise le niveau _moyen dans le cas beau temps

,h caractérise l’amplitude des fluctuations autour de ce niveau moyen.

On a de même _pour le cas mauvais temps :

Les coefficients de corrélation _Pi calculés _pour les

deux types ^de temps après coupure, décroissent effec- tivement beaucoup plus rapidement ^avec i (p 5 0,2).

2.2.2 Estimation de la moyenne ^et de l’écart _qua-

dratique.

^Pour estimer la _moyenne et l’écart _qua-

dratique nous avons adopté ^{dans cette étude une}

méthode de lissage ^de l’estimation empirique par

une approximation ^en série de Fourier.

Soit

où NB représente ^le nombre d’années _pour lesquelles

GBa,j,h ^existe (c’est-à-dire ^le nombre total d’années moins les années _pour lesquelles j ^est jour ^{de mauvais} temps

ou pour lesquelles j correspond ^{à une donnée man-}

quante ^sur le fichier météorologique original).

Si l’on observe l’évolution de ( GBj,h> ^{au cours de}

l’année (1 j 365) ^on remarque :

-

une évolution saisonnière lente

-

des variations rapides ^d’un jour ^{à l’autre} que

ne peut expliquer ^un phénomène climatique ^et qui

sont dues à la taille réduite de l’échantillon (voir Fig. 1).

Pour ne conserver que l’évolution saisonnière,

nous avons donc lissé la courbe ( GBh ^{z, pour chaque}

heure h, à l’aide d’une approximation ^{en série de}

Fourier.

Cette méthode de lissage présente l’avantage ^de

condenser l’information sur la _moyenne et l’écart

quadratique du processus ^à l’aide de quelques para- mètres. Elle évite également ^la réduction des écarts

Fig. ^1. 2013 GMj,4 > ^et MMj,4 ^{pour les mois de mai et juin.}

[ GMj,4 > ^and MMj,4 ^{for May and} June.]

extrêmes de l’année qu’entraîne l’emploi ^{d’une méthode}

de _moyenne glissante ^{calculée sur un nombre de} jours

assez élevés _pour avoir un lissage ^correct.

Elle présente l’inconvénient de suivre difficilement certains phénomènes caractéristiques ^{d’une courte} période de l’année et pose problème pour les cas des début et fin de journées où le niveau de G est très faible : comme nous le verrons par la suite, ^nous

avons été amenés à éliminer ces heures extrêmes. Ceci n’est _pas problématique ^car l’apport énergétique ^est

alors très faible et la précision ^{des mesures météorolo-} giques ^{assez mauvaise.}

Cette méthode a été employée de la même manière pour lisser l’estimation de l’écart quadratique

ainsi _que dans le cas mauvais temps. ^{La démarche} étant identique pour les deux types ^de temps, ^{nous ne}

développerons ^les expressions que pour le cas beau temps.

-

Nh représente ^la période ^à considérer _pour l’heure h : elle varie du fait de l’évolution de la durée

du jour ^{au cours de} l’année ; ^{Nh est} défini par le nombre de jours de l’année _pour lesquels ^le jour ^{est levé} (ou

non couché) à l’heure h : Nh

365 _pour les heures d’indice 4 à 13 et varie entre 122 et 365 pour h ^{4 ou} h ^13.

Tableau I.

Lissage de ^la moyenne : coefficients de MBj,h ^{(cas beau temps).}

[Estimation ^{of the mean :} coefficients of MBj,h ^{(for good weather.)]}

-

Le choix de n(n’) ^doit permettre d’approximer ^la

moyenne ^et l’écart quadratique ^{le mieux} possible, ^tout

en ne faisant intervenir _que les principales ^harmo- niques : ^la comparaison ^des Mfh ^pour différentes valeurs de n nous a conduit à prendre n

3 ; ^de même pour Ijh ^{et dans le cas mauvais temps, 3 coeffi-}

cients sont conservés. Dans le tableau I, ^nous donnons les coefficients de MBj,h ^{pour 1 h 16.} 03BE1 ^et Ç2 représentent respectivement pour ai et bi ^le rapport

entre le coefficient d’ordre 4 et le maximum des coeffi- cients d’ordre 2 et 3 (on remarque que les quelques ^cas

où ces valeurs sont importantes correspondent ^{à des}

valeurs de a1(b1) ~ a2(b2)).

Comme nous l’avons indiqué plus haut, ^cette méthode de lissage s’adapte ^{mal aux} faibles valeurs de la _moyenne et de la variance _que l’on n’arrive _pas à

approximer ^de manière satisfaisante :

-

les heures extrêmes (indice ^{1 et} 16) ^{seront donc} supprimées ^{et G considéré comme nul} pour ^ces deux

heures ;

-

les heures indicées ^{de 5 à 12 sont} conservées _pour tous les ^mois

-

les heures indicées 2 et 15 (3 ^et 14), [4 ^et 13] ^sont conservées respectivement pour les mois 5 à 7, (4 ^à 8), [3 ^à 10].

2.3 MODÈLES UTILISÉS.

Les modèles utilisés sont de type Arma, ^et s’écrivent de façon générale [2] :

Xi ^s’écrit comme somme d’un bruit blanc ai ^{et de}

termes dépendant des valeurs prises par la variable

aux temps antérieurs. L’ordre ^et le type ^{du modèle}

sont choisis d’après l’allure des fonctions d’auto- corrélation et d’autocorrélation partielle. Les para- mètres seront différents suivant le cas beau temps ^ou mauvais temps. La stationnarisation effectuée n’étant que partielle, ^ils pourront éventuellement varier sui- vant l’époque de l’année ou le déroulement de la

journée (comme ^{nous le verrons} par la suite, ^{la varia-} tion à l’intérieur d’une journée ^est faible).

2.4 ETUDE DES DISTRIBUTIONS.

Nous étudions les distributions des variables réduites dans le cas beau

temps ^{et mauvais} temps, pour les différents mois :

nous donnons _par exemple ^{dans les} figures 2, ^{3 et 4}

pour les mois de février, ^{août et novembre et} pour l’heure 8 les histogrammes de la variable XMa,j,8.

Pour chaque ^mois nous avons comparé la distribu- tion des variables à une distribution gaussienne, ^avec

un test du Chi deux.

Le tableau II donne les résultats de ^ce test, ^{au niveau} de signification ¹⁰ % : l’hypothèse gaussienne ^est rejetée pour presque ^tous les mois, ^comme le laissait supposer l’allure des histogrammes.

Fig. ^2.

Histogramme de la variable réduite XMa,j,8 ^pour

le mois de février.

[Histogram of the reduced variable XMa,j,8 (February).]

Fig. ^3.

Idem que la figure 2 pour le mois d’août.

[Same ^as figure ² (August).]

Fig. ^4.

Idem que la figure 2 pour le mois de novembre.

[Same ^as figure ² (November).]

Tableau Il.

Test du Chi deux sur XMa,j,8 ^{mois par}

mois.

[X2 ^{test on} XMa,j,8 ^monthly.]

La figure ^{5 donne} l’histogramme ^{du mois de mars}

dans le cas beau temps ^et pour ^toutes les heures rassemblées.

Dans les études précédentes, ^nous avions modélisé la variable réduite sans transformation supplémen-

taire. Dans le cas d’utilisation de ^ces modèles _pour la

simulation, ^{ceci ne} permet pas de restituer une dis- tribution identique à celle de la variable originale :

en effet la simulation se fait en utilisant les _program-

mes de génération d’un bruit blanc gaussien.

De plus, ^une des méthodes _que l’on peut employer

pour estimer les paramètres des modèles utilise

l’hypothèse gaussienne pour passer d’une méthode de maximum de vraisemblance à une méthode _qua-

dratique.

Dans le cas de la prédiction, ^{et s’il n’a} pas été fait

une étude systématique pour les différentes heures et différentes époques de l’année de la valeur la plus probable ^{du bruit} blanc, ^{on utilise une} valeur nulle pour ai, soit prédiction ^de Xi,

Nous testons ici une transformation sur la variable réduite afin de la rendre gaussienne. ^{L’allure des}

Fig. ^5.

Histogramme de la variable réduite XBa,j,h ^pour

toutes les heures, pour le mois de ^mars.

[Histogram of the reduced variable XBa,j,h ^{for all hours,}

for March.]

histogrammes ^montre que ^cette transformation devra être différente selon les différentes époques ^{de l’année,}

et les différentes heures.

3. Transformation de la variable réduite.

Soit X, variable aléatoire de densité fX ^{et Y, variable}

aléatoire gaussienne, de densité

soit _g, strictement croissante, ^telle que Y

g(X).

On a alors [4] fY(g(x)) ^dg(x)

fX(x) ^dx.

Dans la pratique, X ^ne prend ^{ses valeurs} que dans

un intervalle fini [xmin, 1m..]. ^Pour éviter les problèmes

dus à l’annulation de fx ^{en dehors de cet} intervalle,

on supposera provisoirement pour le calcul de la

transformation _{que X} peut prendre ^{ses valeurs sur}

tout R. (Notons que pour ^les différents cas que ^nous

avons étudiés, ^la probabilité d’être ^{en dehors de} l’intervalle [g(xmin), g(xmax)] ^est inférieure à 0,5 %.)

On a

La première intégrale ^sera estimée à l’aide des données _pour différentes valeurs de xo. g(xo) ^{est alors}

déduit de l’égalité ^{ci-dessus en utilisant un} programme d’inversion de la fonction de densité gaussienne.

Cette transformation a été testée _pour les données beau temps des mois de _mars, avril et mai : ces trois mois ont en effet des histogrammes d’allure similaire et l’on dispose ainsi de 537 données beau temps par

heure, ^ce qui permet ^de garder ^une précision ^suffisante

pour les calculs. Cet échantillon sera noté 03B2MAM.

Calcul de la transformation : soit Xj l’ensemble des données à partir desquelles ^{on veut} calculer la trans- formation :

1 j 537 si l’on ne considère qu’une ^heure

1 j ^{2 x 537} (n ^{^} 337) ^{si l’on considère} 2 (n) ^heures

simultanément .

L’échantillon est tout d’abord divisé en classes

équiprobables. ^{Si le} nombre total de Xj ^{n’est pas un} multiple ^du nombre d’éléments _par classe, les éléments restants constituent deux classes de plus petite ^dimen-

sion au début et à la fin de l’intervalle.

On _{posera :}

dl

valeur minimale de x

di 1 i N

^bornes supérieures des classes à l’exclusion de la dernière

dN

valeur immédiatement inférieure à la valeur maximale de x

Pour chacune des valeurs di, ^{1 i N, on calcule}

la valeur g(di) à l’aide de l’égalité (3. 1), ^en posant pour estimer le premier ^{membre de} l’égalité :

Pour un Xj quelconque, ^on calcule ensuite la valeur

9(xi) ^par approximation ^{linéaire soit :}

avec :

et g(xmax) ^{est obtenu par} prolongation linéaire de

g(dN-1), g(dN).

Les figures ^{6 et 7} donnent deux exemples ^{de trans-}

formation obtenue _pour des classes de 3 éléments :

figure ⁶ heures d’indices 7, ^{8 et 9} groupées, figure 7 ^{heure 9 seule.}

Fig. ^6.

Transformation Y

g(X) pour les heures d’in- dice 7, 8 ^et 9 groupées.

[Transformation ^Y

^g(X) for the hours h

7, 8 and 9 put together.]

Fig. ^7.

Transformation Y

g(X) pour l’heure d’indice 9.

[Transformation ^Y

g(X) for hour h

9.]

Nous avons ensuite testé la distribution de la variable réduite après transformation :

La transformation réalisée permet (voir ^Tableaux III,

IV et V) ^{d’obtenir une variable Y} de distribution

gaussienne. Cependant, ^{on voit} d’après ^{les résultats}

des tests, qu’il ^n’est pas possible ^de regrouper ^toutes les heures _pour le calcul de la transformation : si l’on

redécompose l’échantillon total en échantillons horai- res, ^ces derniers ne peuvent ^être considérés comme

gaussiens.

(Les ^{deuxième et} troisième colonnes des tableaux III,

IV et V donnent la statistique ^{u et le niveau a tels} que

p {~2 > u} = 03B1.)

4. Construction des modèles.

Afin de déterminer l’ordre et le type de modèle les mieux adaptés ^aux processus considérés, ^{nous avons}

étudié les fonctions d’autocorrélation et d’autocorré-

lation partielle.

Tableau III.

Test du Chi deux

cas d’une trans-

formation ^{calculée avec les heures d’indice 7, 8 et 9.}

[X2 ^test

^{the hours h}

^{7, 8 and 9 were put together}

for the calculation of the transformation.]

Tableau IV.

Test du Chi deux

cas d’une trans-

formation ^{calculée avec} l’heure d’indice 9 seule.

[X2 ^test

transformation calculated with hour h

9

only. ]

Tableau V.

Test du Chi deux

cas d’une trans-

formation ^{calculée avec les heures d’indice 4 à 13.}

[X2 ^{test. The hours h}

^{4 to 13 were} put together ^for

the calculation of the transformation.] J

Fig. ^8.

Coefficients de corrélation p, (1 ^{1 5} 3) pour les différentes heures (échantillon 03B2MAM).

[Correlation coefficients Pi (1 i 3) for the different hours (03B2MAM sample).]

La figure ⁸ donne l’estimation des coefficients de corrélation _{pi pour} les différentes heures de la journée

et pour 1 ⁱ 3. Cette estimation est faite sur

l’échantillon 03B2MAM ^décrit ci-dessus, après ^transfor-

mation de la variable. On observe des valeurs légè-

rement supérieures pour p i en début de journée.

Cependant, ^ces variations restent dans les domaines de

précision ^{du calcul et le} processus peut ^{donc être} raisonnablement considéré comme stationnaire au cours de la journée. (Une comparaison ^{faite au niveau}

des tests de prédiction ^en considérant des paramètres dépendants ^{ou non} de l’heure de la journée ^confir-

mera la validité de cette approximation : ^voir para-

graphe 5.)

Les figures ^{9 et 10} donnent l’estimation des fonctions d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle ^en

considérant l’échantillon PMAM en ^{son entier : on}

observe une décroissance lente de la fonction d’auto-

Fig. ^9.

Estimation de la fonction d’autocorrelation sur tout 03B2MAM.

[Estimation of the autocorrelation function ^on all 03B2MAM.]

Fig. ^10.

Estimation de la fonction d’autocorrélation par- tielle sur tout 03B2MAM.

[Estimation ^{of the} partial autocorrelation function on all

03B2MAM.]

corrélation, proche ^d’une exponentielle, ^{et une fonction} d’autocorrélation partielle ~ii négligeable ^{au-delà de}

l’ordre 2 et très faible pour i

^{2. Ceci nous a amené}

à tester un modèle de type auto-régressif, ^{d’ordre 1}

ou 2.

Soit

où yi

^variable après transformation, ^P’

_para-

mètre du modèle de la variable réduite transformée.

La même étude a été menée sur le même échantillon avant transformation et conduit à des résultats simi-

laires ; ^{on aura donc} pour la variable réduite non

transformée xi :

Estimation des paramètres :

Les paramètres ^ont été estimés en utilisant les

équations ^de Yule-Walker.

Soit _pour un AR2

(une ^{étude annexe a montré} qu’une variation des _para- mètres autour de ces estimations avait une influence

négligeable ^sur les résultats des tests de prédiction).

5. Tests de prédiction.

La transformation décrite dans le paragraphe ^{3 a été}

testée _pour la prédiction ^et les résultats comparés ^à

ceux obtenus sans transformation. Pour ces tests,

nous avons supposé ^{connu le} type ^de jour (beau temps dans l’exemple traité).

En notant de façon générale ^{z la} prédiction ^{de z, on}

aura (voir 2.4) :

avec z

ScU) ^{dans le cas} de la variable réduite sans

(avec) transformation.

On définit d’autre part ^{e, erreur de} prédiction pour

l’heure h, par :

-

Ni représente ^le nombre total de jours pour le

cas considéré.

Les tests ont été effectués _pour les jours ^{de beau}

temps des mois de _mars, avril et mai, ^{soit 537} jours (échantillon f3MAM).

-

la variable x représente la variable réduite sans

transformation supplémentaire : ^{c’est en effet à} partir

de _{x que} l’on remonte à la prédiction de l’irradiation elle-même :

Dans le cas où ^z

_y, variable ayant ^{subi la trans-} formation gaussienne, ^{on doit donc} effectuer la trans- formation inverse _pour calculer ^e. Ceci a été réalisé de la façon ^{suivante :}

soit g, ^la transformation effectuée sur la variable réduite _pour la rendre gaussienne,

g(xi) = Yi’ Xi élément de l’échantillon à partir duquel

est calculée la transformation,

J

prediction obtenue à l’aide du modèle de la variable réduite transformée.

Si :

2022 yi j ^{yi+1 :} g-1(j) ^est calculé par interpo-

lation linéaire entre g-1(yi) ^et g-1(yi+1) ; 2022 j ^{ymin = g(xmin)} : g-1(j) = ^xmin;

2022 j ^{ymax =} g(xmax) : g-1(j) ^{= xmax.}

De cette façon, ^on ramène les valeurs prédites pour l’irradiation dans les limites des valeurs réellement observées.

Les tests de prédiction ^{ont donné les résultats}

suivants :

a Modèles ARI et AR2 : les résultats sont équi-

valents _pour les deux types ^de modèle, ^le paramètre

d’ordre 2 du modèle AR2 est d’ailleurs très faible.

e Variation des paramètres ^avec h : il n’y ^a pas de différences significatives pour la qualité ^des prédictions

dans le cas d’un paramètre unique ^{et dans le cas de}

paramètres différents selon les heures de la journée.

e Variable réduite transformée : en comparant ^les résultats obtenus avec la variable uniquement ^réduite

et la variable réduite transformée (après transforma- tion inverse), ^{on constate} que ^cette transformation n’améliore _{pas la} qualité ^des prédictions.

Il ressort de cette étude qu’il ^est donc inutile d’alour- dir les modèles utilisés dans le cadre de la prédiction, ^et qu’un ^modèle autorégressif ^du premier ^{ordre sur la}

variable simplement ^réduite peut ^être utilisé. Pour

l’époque de l’année considérée ici, ^les prédictions ^sont légèrement meilleures _pour les heures de début de

journée : soit les heures d’indice 5 et 6 (modèle ARI),

ou d’indice 6 (modèle AR2). (L’échantillon 03B2MAM correspond ^{en effet aux} heures d’indice 4 à 13 : voir

2.2). ^{L’erreur est alors de l’ordre des} 2/3 ^{de celle}

obtenue en utilisant comme prédiction ^{la valeur}

moyenne : ^en effet, ^{dans ce} cas, l’expression ^{e de}

l’erreur est égale à l’écart quadratique (au ^facteur

Nj/Nj-1 ^près).

Nous donnons ci-dessous quelques exemples ^illus-

trant les points énoncés ci-dessus. (La transformation g ^a été calculée heure _par heure (voir paragraphe 3)).

-

Le tableau VI donne _pour les différentes heures l’erreur E divisée _par l’écart quadratique (e/ a) ^obtenue

avec un modèle ARI ou AR2, pour la variable trans- formée et après transformation inverse.

Tableau VI.

el 0’ - ^{variable Y -} comparaison

d’un modèle AR1 et AR2.

[el u

^{variable Y -} comparison of AR 1 and AR2

processes.]

-

Le tableau VII donne _pour les différentes heures

s/ J ^{dans le cas d’un} modèle ^{AR 1 à} paramètre ^variable

ou non, pour la variable uniquement ^réduite.

-

Le tableau VIII reprend le tableau VII dans le

cas de la variable transformée (après transformation

inverse).

5. Conclusion.

Nous avons présenté ^{ici une} modélisation de la variable irradiation solaire globale ^horaire pour le site de Trappes ^en effectuant une transformation prélimi-

Tableau VII.

03B5/03C3

^{variable X -} comparaison d’un paramètre unique ^{ou variable.}

[el ⁶ - variable X - comparison ^{of a constant or}

variable parameter.]

Tableau VIII.

03B5/03C3

^{variable Y -} Comparaison

d’un paramètre unique ^{ou variable.}

[e/ ^u - variable Y - comparison ^{of a constant or}

variable parameter.]

naire sur la variable réduite _pour la rendre gaussienne :

cette transformation est nécessaire dans l’utilisation des modèles _pour la simulation, ^afin d’obtenir ^un processus simulé ayant même fonction de distribution que le _processus d’origine.

Nous avons également ^{testé cette} transformation dans l’utilisation des modèles _pour de la prédiction.

L’analyse des résultats obtenus indique qu’il ^est

inutile d’effectuer cette transformation préliminaire

dans ce cas : on évite ainsi d’alourdir les modèles utilisés, ^{notamment en} évitant de stocker ^en mémoire les transformations _pour les différentes heures, ^ce qui peut poser problème pour des applications prati-

ques. Les résultats indiquent également qu’il ^suffit

de se limiter à un modèle d’ordre 1, ^avec paramètre indépendant de l’heure.

D’autre part, ^dans l’objectif d’améliorer les modèles de prédiction ^de l’irradiation solaire globale horaire,

en se limitant toujours ^à l’usage de données météoro-

logiques ^{mesurées sur le site} même, plusieurs ^études

sont à poursuivre, notamment : introduction de la variable vent (force ^et direction), amélioration de la division en types ^de jours utilisant des résultats obte-

nus par AFC ^{sur toutes} les variables météorologiques

[5]. Enfin, parallèlement ^{au modèle horaire, une}

méthode de prédiction ^{basée sur} les données météoro-

logiques de la nuit ou de la veille doit être mise au

point pour passer d’un jour ^{à l’autre.}

Bibliographie [1] ASTIER, R., DUHAMEL, Ch., BENARD, C., ^{Modèles de}

prévision ^et de simulation de l’irradiation solaire

au pas de temps ^de l’heure, ^Revue Phys. Appl. ¹⁸ (1983).

[2] Box, G. E. P., JENKINS, ^G. M., ^{Time series} Analysis : Forecasting and Control (Holden-Day).

[3] BocH, G., BOILEAU, E., BENARD, C., Modélisation de l’irradiation solaire au pas de temps ^de l’heure,

Revue Phys. Appl. 16 (1981).

[4] ^PAPOULIS, Probability, Random Variables and Stochastic Processes (International ^{Student Edition).}

[5] ^SACRE, C., Classification ^en journées météorologiques

types. Approche pour ^une analyse unidimensionnelle des variables météorologiques, (Colloque ^Météoro- logie ^et énergies renouvelables 1984).

BOULLIER, P., ^LE CHAPELIER, M., Types ^de temps. ^Une méthode de classification améliorée, (Colloque Météorologie ^et énergies renouvelables 1984).

Valbonne, ^{Mars 1984.}