Partie II

Les calculatrices sont autoris´ees.

Notations :

Pour ce probl`eme, on d´esigne par : – nun entier naturel non nul ;

– Mn(R)l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordren`a coefficients r´eels.

Pour toute matriceA∈ Mn(R),on note : – ^tAla matrice transpos´ee deA; – det (A)le d´eterminant deA;

– sp (A)l’ensemble des valeurs propres deA.

On noteSn(R) ={A∈ Mn(R)| ^tA=A}le sous-espace vectoriel deMn(R)form´e des matrices sym´etriques.

– Un vecteur deRⁿest not´e :

x= (xk)_1≤k≤n=













 x₁ x₂ ... xn













 .

– Une matriceAdeMn(R)est not´ee :

A= ((aj,k))_1≤j,k≤n o`uaj,kest le coefficient deAsitu´e en lignejet colonnek.

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

– L’espace vectorielRⁿest muni du produit scalaire canonique d´efini par :

∀(x, y)∈Rⁿ×Rⁿ, x|y= ^tx·y=

n

k=1

xkyk

etx→ x= x|xest la norme euclidienne associ´ee.

– La sph`ere unit´e deRⁿest :

Ωn={x∈Rⁿ| x= 1}.

A toute matriceA∈ Mn(R),on associe la fonctionqA:Rⁿ→Rd´efinie par :

∀x∈Rⁿ, qA(x) =Ax|x.

Objectifs :

Dans lapartie I,on ´etudieqApourA∈ Mn(R),puis pourA∈ Sn(R)et l’on d´efinit une norme sur Sn(R).La suite du probl`eme est consacr´ee `a une ´etude des matrices de Hilbert d´efinies par :

Hn= ((aj,k))_1≤j,k≤n,o`uaj,k= 1 j+k−1.

On ´etudie en particulier quelques propri´et´es du d´eterminant, des valeurs propres et de l’intervalle [min sp (H_n),max sp (H_n)]lorsquentend vers+∞.

Partie I

Une norme surSn(R)

I.1 SoitA∈ Mn(R).

I.1.1 Enoncer les propri´et´es de la sph`ere unit´eΩn ainsi que celles de la fonctionqA qui permettent d’affirmer queqAest born´ee surΩnet qu’elle atteint ses bornes.

On notem_A= min (q_A(Ωn))etM_A= max (q_A(Ωn)).

I.1.2 D´emontrer queR∩sp (A)⊂[mA, MA].

I.1.3 Explicitersp (A), mAetMAlorsqueA=

2 −1 0 2

. On pourra remarquer queΩ2={(cos (θ),sin (θ))|θ∈R}.

I.2 SoitA∈ Mn(R).On suppose queqA(x) = 0pour toutx∈Ωn.

I.2.1 Montrer queqA(y) = 0pour touty∈Rⁿ.

I.2.2 Si(y, z) ∈ Rⁿ×Rⁿ,exprimerqA(y+z)(qui est nul d’apr`esI.2.1.) en fonction de Ay|zetAz|y.

I.2.3 Montrer que la matriceAest anti-sym´etrique (c’est-`a-dire que ^tA=−A) (entre autre m´ethode, on pourra par exemple consid´erer les vecteursyetzdans la base canonique deRⁿ).

I.3 SoitA∈ Sn(R).Montrer que :

(∀x∈Ωn, qA(x) = 0)⇔(A= (0) (matrice nulle))

I.4 Montrer que l’applicationN:Sn(R)→R⁺d´efinie par :

∀A∈ Sn(R), N(A) = sup

x∈Ωn

|qA(x)|

est une norme.

I.5 Bornes deqAsurΩⁿ

On rappelle le th´eor`eme spectral : ´etant donn´ee une matriceA ∈ Sn(R), si on d´esigne par ul’endomorphisme deR<sup>n</sup> dont la matrice dans la base canonique deR<sup>n</sup> estA,alorsu ´etant sym´etrique r´eel, il se diagonalise dans une base orthonorm´ee, c’est-`a-dire : il existennombres r´eelsλ1≤λ2≤ · · · ≤λk≤ · · · ≤λnet une base orthonorm´ee(ek)_1≤k≤ndeRⁿtels que :

u(ek) =Aek=λkekpour toutk∈ {1,2,· · ·, n}.

On consid`ereA∈ Sn(R)et on conserve les notations de ce th´eor`eme dans les questionsI.5. I.5.1 Pr´eciserqA(ek)pour toutk∈ {1,2,· · ·, n}.

I.5.2 Soitx = n k=1

x^′kek ∈ Ωn.Justifier les ´egalit´esx² = n k=1

(x^′k)² = 1,puis exprimer qA(x)en fonction des valeurs propresλkdeAet des composantesx^′kdex.

I.5.3 Retrouver le r´esultat obtenu enI.1.1: la fonctionqAposs`ede un minimummAet un maximumMAsur la sph`ere unit´eΩn.

ExplicitermAetMAen fonction des valeurs propres deA.

I.5.4 Montrer queN(A) = sup

x∈Ωn

|qA(x)|= max

λ∈sp(A)|λ|.Etablir une in´egalit´e entre|det (A)|

et(N(A))ⁿ.

I.5.5 Exemple :

SiA=



 1 ¹₂

1 2

1 3



,calculerdet (A)etN(A).

Dans toute la suite du probl`eme, pour tout entiern≥2,on d´esigne parHnla matrice de Hilbert d’ordrend´efinie par :

Hn=

1 j+k−1

1≤j,k≤n

=























1 1

2 · · · 1 n 1

2 1

3 · · · 1 n+ 1 ... . .. ... ... 1

n 1

n+ 1 · · · 1 2n−1























ou encoreH_n= ((aj,k))_1≤j,k≤naveca_j,k= 1 j+k−1. Pour simplifier, on noteraq_nla fonctionq_Hn :Rⁿ→R:

∀x∈Rⁿ, q_n(x) =q_Hn(x) =Hnx|x

Partie II

Sur les valeurs propres deHn.

II.1 Une expression deq_n(x)

Soit :x=







 x1

... xn









∈Rⁿ.

II.1.1 Montrer que :

qn(x) =Hnx|x=

n

j=1

_n

k=1

x_k j+k−1

xj=

1≤j,k≤n

x_kx_j j+k−1.

II.1.2 D´evelopper :

_n

k=1

xkt^k−1

n

j=1

xjt^j−1

o`utest une variable r´eelle.

II.1.3 Montrer que :

qn(x) = ₁

0

_n

k=1

xkt^k−1 2

dt.

II.1.4 Montrer que :

∀x∈Rⁿ, qn(x)≥0

et queqn(x) = 0´equivaut `ax= 0.

Que peut-on en d´eduire concernant les valeurs propres deHn?

II.2 Une majoration deq_n(x)

II.2.1 SoitP(t) =

m

k=0

akt^kun polynˆome `a coefficients complexes. Montrer que :

1

−1

P(t)dt=−i

π

0

P e^iθ

e^iθdθ

(on pourra expliciter 1

−1

t^kdtet−i

^π

0

e^ikθe^iθdθ).

II.2.2 En gardant les notations introduites enII.1et en notant : Q(t) =

n

k=1

xkt^k−1

montrer que, pour toutx∈Rⁿ,on a :

0≤qn(x) =

1

0

Q²(t)dt≤

π

0

n

k=1

xke^i(k−1)θ

2

dθ

l’in´egalit´e ´etant stricte pourx= 0(on pourra utiliser les r´esultats obtenus enII.1etII.2.1).

II.2.3 Montrer que :

∀x∈Rⁿ, 0≤qn(x)≤πx² l’in´egalit´e ´etant stricte pourx= 0.

II.3 Application `asp (Hn) Pour tout entiern≥2,on note :

µn= min (sp (Hn)) etρn= max (sp (Hn)).

II.3.1 Expliciterµ₂etρ₂.Montrer que pour toutn≥2,on a : 0< µn< ρn< π.

II.3.2 Montrer queqn(Ωn) = [µn, ρn].

On pourra consid´erer des vecteurs propres orthogonauxe₁ et en tels queHne₁ = µne₁, Hnen=ρnen,e₁=en= 1et le vecteurx=√

1−t·e₁+√

t·eno`ut∈[0,1]. II.3.3 CalculerHnεn|εno`uεnd´esigne le vecteur de base canonique :

εn=













 0

... 0 1













 .

En d´eduire la limite deµnlorsquen→+∞.

Partie III

Limite de(N(Hn))n≥2grˆace `a une int´egrale double

Dans cette partie, on utilise la relation :

∀t >0, arctan (t) + arctan 1

t

=π 2 et on supposen≥2.

III.1 Deux int´egrales doubles Pour tout entiern≥2,on note :

Dn= [1, n]×[1, n], Γn= 1,√

n

× 1,√

n

In=

Dn

√xy(xdxdy+y−1) etJn=

Γⁿ

dudv u²+v².

III.1.1 En utilisant le changement de variable(x, y) = (u², v²), montrer que : In≥4Jn.

III.1.2 On note : Kn=

^√n 1

arctan (x)

x dxetLn= ^√n

1

1 xarctan

x

√n

dx.

Montrer queJn=Kn−Ln.

III.2 Un ´equivalent deJ_n

III.2.1 En majorantarctan (t),montrer que : 0< Ln≤1.

III.2.2 Justifier la convergence de l’int´egrale +∞

1

1 xarctan

1 x

dx.

Montrer queKn ∼

n→+∞

π 4ln (n).

III.2.3 En d´eduire queJn ∼

n→+∞

π 4ln (n).

III.3 Limite deN(Hn).On utilise les notations et les r´esultats de lapartie II.

On noteal’´el´ement deRⁿ:

a=













 1

√1

..2

.

√1n













 .

III.3.1 Montrer quea²≤1 + ln (n). III.3.2 Montrer que4Jn≤qn(a).

III.3.3 En d´eduire la limite deN(Hn)lorsquen→+∞.

Partie IV

Sur le d´eterminant deH_n Hnd´esigne toujours la matrice de Hilbert d’ordren,pourn≥2.

IV.1 Une fraction rationnelle

On consid`ere la fraction rationnelleRn(x) =

n

k=1

(x−k)

n

k=0

(x+k) .

On admettra qu’il existe des r´eelsλ0,n, λ1,n,· · ·, λn,ntels que :

∀x∈R\ {0,−1,· · ·,−n}, Rn(x) =

n

k=0

λk,n

(x+k)

cette d´ecomposition (en ´el´ements simples) deRn´etant unique.

Exprimer le coefficientλ de 1

`a l’aide de(2n)!et den!

IV.2 MatriceAn

Pourn≥2,on consid`ere la matriceAnd´efinie parAn= ((aj,k))_1≤j,k≤navec :

ajk=





 1

j+k−1pour1≤k≤n−1, 1≤j≤n Rn−1(j) pourk=n, 1≤j≤n

o`uRn−1(x) =

n−1

k=1

(x−k)

n−1

k=0

(x+k) .

IV.2.1 Montrer que, pour touticompris entre1etn,on a : Rn−1(i) =

n

j=1

λj−1,n−1hi,j,

puis en d´eduire quedet (An) =

2 (n−1) n−1

det (Hn).

IV.2.2 Montrer quedet (An) = det (Hn−1) (2n−1)

2 (n−1) n−1

.

En d´eduire l’expression dedet (Hn)en fonction dedet (Hn−1).

IV.2.3 Montrer, pour toutn≥2,quedet (Hn)= 0,puis que 1

det (Hn)∈N^∗. IV.3 Calcul dedet (Hn)

En notant, pour toutn∈N^∗,Φn=

n

k=1

k!montrer que :

∀n≥2, det (Hn) = Φ⁴_n−1 Φ2n−1

Fin de l’´enonc´e