Dans ce problème, on se donne un ouvert

1 Master Mathématiques et Applications 1

année Aix-Marseille Université Année 2014-2015

Analyse fonctionnelle. Devoir à la maison no 2

A rendre au plus tard le : 10 Décembre 2014

Dans ce problème, on se donne un ouvert

de

, d ≥ 1 et un 1 ≤ p < +∞. On notera p

= p/(p −1) l’exposant conjugué de p.

On s’intéresse à un théorème de représentation des éléments du dual de l’espace L

(Ω) analogue à ce que nous avons vu en cours pour les espaces l

et qui s’énonce comme suit :

Pour toute forme linéaire continue Φ ∈ (L

(Ω))

, il existe une unique fonction g ∈ L

(Ω) telle que Φ(v) =

Z

Ω

gv dx, ∀v ∈ L

(Ω), et de plus on a kΦk

= kgk

. (P

) Ce résultat est vrai en toute généralité mais nous ne le montrerons que dans le cas où 1 ≤ p ≤ 2 et sur un ouvert borné.

Préliminaire

Pour un p ∈ [1, 2] et un Φ donné, démontrer l’unicité de g dans la propriété P

. Le point délicat est donc de montrer l’existence et l’égalité des normes.

I Dual de L

(Ω)

On commence par le cas p = 2. On se donne donc une forme linéaire Φ continue sur L

(Ω).

Pour toute fonction v ∈ L

(Ω), on pose J(v) = 1

2 kvk

− Φ(v) ∈

. 1. Démontrer que

J(v) ≥ − 1

2 kΦk

, ∀v ∈ L

(Ω).

2. En déduire que

I

= inf

L²(Ω)

J est un nombre fini négatif.

3. Démontrer l’existence d’une suite (u

)

d’éléments de L

(Ω) telle que J(u

) −−−→

n→∞

I. (1)

4. En utilisant l’identité du parallélogramme avec u

et u

et (??), démontrer que la suite (u

)

est de Cauchy dans L

(Ω).

5. En déduire que (u

)

converge vers une limite notée g ∈ L

(Ω) et que l’on a J (g) = I = inf

L²(Ω)

J.

6. Soit v ∈ L

(Ω) quelconque. En calculant J (g + tv) pour t ∈

Ω

gv dx = Φ(v).

En déduire que kΦk

≤ kgk

.

7. Montrer enfin que I = −

kgk

et en déduire que kgk

≤ kΦk

et donc que la propriété (P

) est vraie.

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II Le cas 1 < p < 2

On suppose maintenant 1 < p < 2.

1. Démontrer qu’on a l’inclusion L

(Ω) ⊂ L

(Ω) et l’inégalité kvk

|Ω|

2−p

2p

kvk

, ∀v ∈ L

(Ω).

2. Soit v : Ω →

une fonction mesurable quelconque. Pour tout n ≥ 1, on définit une fonction T

v par T

v(x) = max(−n, min(n, v(x))), ∀x ∈ Ω.

(a) Montrer les propriétés suivantes (un dessin peut sûrement aider) : i. T

v ∈ L

(Ω) ⊂ L

(Ω), pour tout n ≥ 1.

ii. T

v(x) et v(x) sont de même signe, pour tout x ∈ Ω et tout n ≥ 1.

iii. |T

v(x)|

|v(x)| pour tout x ∈ Ω et tout n ≥ 1.

iv. lim

T

v(x) = v(x) pour tout x ∈ Ω.

(b) Montrer que si v ∈ L

(Ω), avec p < 2 alors (T

v)

converge vers v dans L

(Ω). En déduire que L

(Ω) est dense dans L

(Ω).

3. On se donne maintenant une forme linéaire continue Φ sur L

(Ω).

(a) Montrer que la restriction de Φ à l’espace L

(Ω) est une forme linéaire continue sur L

(Ω). En déduire qu’il existe g ∈ L

(Ω) telle que

Φ(v) =

Ω

gv dx, ∀v ∈ L

(Ω). (2)

(b) On pose maintenant v

= T

|g|

g

. En utilisant le fait que (p − 1)(p

− 1) = 1, montrer que

Ω

|v

|

dx

Ω

gv

dx.

(c) En déduire que pour tout n ≥ 1, on a kv

k

kΦk

.

(d) En utilisant le lemme de Fatou, montrer que g ∈ L

(Ω) et kgk

kΦk

. (e) En déduire que l’égalité (??) est encore valable pour tout v ∈ L

(Ω).

(f) Montrer qu’on a en fait l’égalité des normes kgk

= kΦk

et donc que la propriété (P

) est bien vérifiée.

III Le cas p = 1 - Facultatif

Soit Φ une forme linéaire continue sur L

(Ω).

1. Démontrer que, pour tout 1 < p < 2, la restriction de Φ à L

(Ω) est une forme linéaire continue sur L

(Ω) et vérifie

kΦk

≤ |Ω|

kΦk

. 2. En déduire que pour de tels p, il existe g

∈ L

(Ω) telle que

Φ(v) =

Ω

g

v dx, ∀v ∈ L

(Ω), et kΦk

= kg

k

. 3. Démontrer que si p

, p

∈]1, 2[, alors g

= g

.

On notera dorénavant g la valeur commune de toutes ces fonctions.

Par construction on a g ∈

1<p<2

L

(Ω) =

2<q<+∞

L

(Ω).

4. Démontrer que

lim sup

q→∞

kgk

≤ kΦk

.

5. En considérant, pour ε > 0, l’ensemble A

= {x ∈ Ω, |g(x)| ≥ kΦk

+ ε}, montrer finalement que g ∈ L

(Ω) et que kgk

≤ kΦk

.

6. Conclure que la propriété (P

) est vérifiée.

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