de Mathématiques Probabilités M54 Année 2014–2015 Corrigé de l’nterrogation du 3 octobre 2014 Ex 1

Université Lille 1

U.F.R. de Mathématiques

Probabilités M54 Année 2014–2015

Corrigé de l’nterrogation du 3 octobre 2014 Ex 1. Vrai faux ? (7 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez si elle est vraie ou fausse en ar- gumentant votre réponse. Si vous répondez « vrai », proposez une démonstration ou une référence à un résultat du cours. Si vous répondez « faux », il suffit de proposer un contre-exemple. Seules les réponses argumentées seront prises en compte par les correcteurs.

1) S’il existe une surjection d’un ensemble E dans N alors E est dénombrable.

2) S’il existe une injection de N dans un ensemble E alors E est au plus dénom- brable.

3) Une réunion quelconque d’ensembles au plus dénombrables est au plus dénom- brable.

4) Si(A_n)n∈N est une suite décroissante d’événements qui converge vers A (c’est- à-dire, ∀n ∈ N, A_n+1 ⊂ A_n et A = ∩n∈NA_n) alors il existe N ∈ N tel que pour tout n≥N, A=An.

5) SiP est la probabilité uniforme sur [0,1] alors P(Q) = 0.

Correction .Ce n’est pas une correction que je donne ici car j’estime que vous pouvez trouver vous-même des contre-exemples aux 4 premières affirmations et la preuve de la dernière.

1) Faux 2) Faux 3) Faux 4) Faux 5) Vrai

Ex 2. On lance toujours des dés (8 points)

On dispose d’un dé bleu et d’un dé rouge équilibrés et on effectue une suite infinie de lancers de cette paire de dés. Pour un lancer nous pouvons modéliser cette expérience par l’ensemble G := {1,2,3,4,5,6}² des couples à composantes dans {1, . . . ,6}, la première composante représentant le nombre indiqué par le dé bleu et la deuxième celui indiqué par le dé rouge. Pour représenter la suite infinie de lancers, nous utiliserons l’ensemble

Ω :=G^N∗ =

(ω_n)n≥1; ∀n ∈N^∗, ω_n= (ω_n,1, ω_n,2)∈E

des suites infinies de couples d’éléments de G. Dans cet exercice, on n’essaiera pas d’expliciter la tribuFet la mesure de probabilitéPtelles que le triplet(Ω,F,P)soit une modélisation « correcte » de la suite infinie des lancers. On admettra l’existence d’un tel

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triplet et on se contentera de s’appuyer sur des hypothèses naturelles d’indépendance des lancers pour effectuer les calculs.

On définit D, l’événement « on obtient un double à chaque lancer ».

1) Etudier la dénombrabilité de cet événement.

2) Décrire son complémentaire et étudier sa dénombrabilité.

On note Dn, l’événement « on obtient un double à chaque lancer jusqu’au n-ième lancer » pour n∈N^∗.

3) La suite(D_n)n∈N^∗ est-elle croissante ? décroissante ? 4) Pourn ∈N^∗, calculer P(D_n).

5) En déduire la probabilité P(D).

On considère maintenant l’événement E « on obtient au moins un double ». Et on note pour n∈N^∗,

– E_n l’événement « on obtient un double au n-ième lancer » ,

– F_n l’événement « le premier double est obtenu aun-ième lancer » . 6) Comparer E et D.

7) ExprimerEen fonction de la suite d’événements(En)n∈N^∗ puis en fonction de la suite d’événements (F_n)n∈N^∗ (en justifiant soigneusement l’égalité des deux expressions obtenues).

8) En déduire la valeur de P(E).

Correction .

1) On note Gd le sous-ensemble de G constitué des doubles, c’est à dire Gd = {(i, j)∈G , i=j}. Ainsi,D est l’ensemble des suites à valeurs dansG_d, soit D=G^N_d^∗ et comme Card(G_d) = 6≥2, on en déduit que D est infini non dénombrable.

2) Le complémentaireD^c est l’événement « au moins un des lancers ne donne pas un double ». Si on considère l’événement D₁ = « on obtient(1,2)au premier lancer ».

Ainsi, D₁ est inclus dans D^c et comme D₁ est en bijection avec G^N∗ qui est infini non dénombrable, il est lui-même infini non dénombrable. Par conséquentD^c est infini non dénombrable.

3) La suite (D_n)n∈N^∗ est décroissante. En effet, si D_n+1 est réalisé, alors on a obtenu des doubles à chaque lancer jusqu’au (n+ 1)-ième lancer, donc en particulier jusqu’au n-ième lancer et D_n est réalisé. Ce qui montre l’inclusion D_n+1 ⊂D_n.

4) Pour n ∈ N^∗, P(D_n) = P(∩ⁿ_i=1E_i) = 6⁻ⁿ car les événements (E_i)i∈N^∗ sont indépendants et de probabilité P(E_i) = ^Card(G_Card(D)^d) = ¹₆.

5) L’événement D peut s’écrire comme intersection décroissante des événements D_n:D=∩^+∞_n=1D_n. Et par la propriété de continuité séquentielle monotone, on en déduit que P(D) = limn→+∞P(D_n), soit P(D) = 0. Remarquez que l’on a ici un événement infini non dénombrable de probabilité nulle.

6) Clairement, si on n’obtient que des doubles alors on a obtenu au moins un double ce qui se traduit par D⊂E.

7) On a les égalités suivantes :

E =∪^+∞_n=1E_n=∪^+∞_n=1F_n.

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Montrons que ces deux unions sont égales. Tout d’abord, il est clair queF_n⊂E_n pour tout n ∈ N^∗, ce qui montre l’inclusion ∪^+∞_n=1F_n ⊂ ∪^+∞_n=1E_n. Montrons alors l’inclusion

∪^+∞_n=1E_n ⊂ ∪^+∞_n=1F_n. Soit ω ∈ ∪^+∞_n=1E_n, définissons n_ω = min{n ∈ N^∗ , ω ∈ E_n} (ce minimum existe bien car l’ensemble{n ∈N^∗ , ω∈E_n}est un sous-ensemble deNnon vide par hypothèse), et il est clair par construction queω ∈F_nω et doncω ∈ ∪^+∞_n=1F_n.

8) L’avantage de l’écriture E = ∪^+∞_n=1Fn est d’avoir une réunion d’événements disjoints. Ainsi, comme pourn ∈N^∗,

P(F_n) =

n−1

Y

k=1

P(E_k^c)P(E_n) = 1 6

5 6

n−1

,

on calcule

P(E) =

+∞

X

n=1

P(F_n) =

+∞

X

n=1

1 6

5 6

n−1

= 1.

Ex 3. Une série double (5 points)

On se fixe un réelp∈]−1,1[. On considère alors la famille de réels (a_i,j)(i,j)∈N² définis par

a_i,j = pⁱ

j! pour (i, j)∈N². 1) La série double P

(i,j)∈N²a_i,j est-elle convergente ? Si oui, calculer sa somme.

2) On note A={(i, j)∈N² , i≥j}.

— Représenter l’ensemble A.

— Montrer que la série doubleP

(i,j)∈Aa_i,j est convergente, puis calculer sa somme.

Correction .

1) Etudions la famille à termes positifs (|a_i,j|)(i,j)∈N²

X

(i,j)∈N²

|a_(i,j)| =

+∞

X

i=0 +∞

X

j=0

|p|ⁱ j! ,

=

+∞

X

i=0

|p|ⁱ

! _+∞

X

j=0

1 j!

! ,

= e

1− |p|,

la deuxième égalité étant due à l’intervertion des signes de sommation valable pour des familles à termes positifs, et la troisième justifiée par |p| < 1. Donc la famille (a_i,j)(i,j)∈N² est absolument convergente donc convergente. Et le calcul suivant est ainsi justifié :

X

(i,j)∈N²

a(i,j) =

+∞

X

i=0 +∞

X

j=0

pⁱ j!,

=

+∞

X

i=0

pⁱ

! _+∞

X

j=0

1 j!

! ,

= e

1−p.

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2) Si on considère la série double définie par b_i,j =a_i,j1_A(i, j) alors |b_i,j| ≤ |a_i,j| pour tout (i, j)∈N² ainsi la série doubleP

(i,j)∈N²b_(i,j) est absolument convergente et donc convergente. Par ailleurs, l’absolue convergence permet d’intervertir les signes de sommation pour calculer la somme de la manière suivante :

X

(i,j)∈A

a_(i,j) =

+∞

X

i=0 i

X

j=0

pⁱ j! =

+∞

X

j=0

1 j!

+∞

X

i=j

pⁱ,

=

+∞

X

j=0

1 j!

p^j

1−p = e^p 1−p.

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