A.P.M.E.P.
[ CAPLP externe mathématiques-sciences 2007 \
EXERCICE1
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou si elle est fausse puis :
• si elle est vraie, la démontrer
• si elle est fausse, donner un contre-exemple.
1. Toute suite réelle, convergente est monotone à partir d’un certain rang.
2. Soientf etgdeux fonctions. déflnies deRdansR.
Dans le plan muni d’un repère orthoxormé direct³ O,−→
ı ,→−
´
on considère M(t) le point de coordonnées (f(t),g(t)) et on noteΓla courbe décrite par le pointM(t) lorsquetdécritR.
AinsiΓest la courbe paramétrée par
½ x = f(t)
y = g(t) ,tvariant dansR.
L’affirmation est la suivante : si les fonctionsf etg sont paires, la courbeΓ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.y′Oy.
3. La fonctionh :7−→xp
|x|est dérivable surR.
4. Pour une fonction f continue sur l’intervalle [0 ; 1], si Z1
0 f(t) dt=0, alorsf est la fonction nulle sur l’intervalle [0 ; 1].
EXERCICE2
1. Étude de la fonctionf telle quef(x)= x ln(x)
a. Déterminer l’ensemble D de tous les nombres réelsxpour lesquelsf(x) est défini.
b. On pose désormaisf(0)=0. La fonctionf est-elle alors continue à droite en 0 ?
c. La fonctionf est-elle alors dérivable à droite en 0 ?
d. Étudier les variations de la fonctionf et dresser son tableau de variations sur D∪{0}.
On y fera apparaître les différentes limites et la valeur def(e), où e est le nombre réel positif tel que ln(e)=1.
2. Étude de la suitevtelle quev0=3 et∀n∈N,vn+1=f(vn) oùf est la fonc- tion étudiée à la question 1
a. Montrer, par récurrence surn, que
∀n∈N,vn>e.
b. Justifier que la suitevconverge et déterminer sa limite c. Montrer que :
∀x>e, 06f′(x)61 4. d. Énoncer l’inégalité des accroissements finis.
e. En déduire que :
∀n∈N,|vn−e|6 1 4n.
CAPLP externe
f. Déterminer un entier natureln1à partir duquelvn est une valeur appro- chée du nombre réel e à au moins 10−12.
3. Solutions d’une équation différentielle Soit K l’intervalle ]1 ;+∞[.
On note E1l’équation diflërentieile suivante :
−x2z′(x)+xz(x)=z2(x).
On recherche les fonctionszsolutions de E1sur l’intervalle K et qui ne s’an- nulent pas sur K.
a. On posey=1
z. Vérifier queyest solution sur K d’une équation différen- tielle linéaire du premier ordre que l’on notera E2.
b. Résoudre l’équation différentielle E2sur l’intervalle K.
On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la formega : x7−→ln(ax) oùaest un nombre réel strictement positif. x
Vérifier que, pour tout nombre réelasupérieur ou égal à 1,gane s’annule pas sur K.
On a donc ainsi, pour toutxappartenant à l’intervalle K,z(x)= x ln(ax). c. Pour tout nombre réelastrictement positif, on noteCala courbe repre-
sentative de la fonctionfa : x7−→ln(ax)
x dans le plan muni d’un repère orthonormé d’origine O.
Montrer que la courbeCaest l’image de la courbeC1par une homothétie de centre O dont on précisera le rapport.
EXERCICE3
1. Calcul des puissances successives d’une matrice On noteBc=³−→
e1,−→
e2,−→
e3
´la base canonique de l’espace vectorielR3. On a donc :
−→e1 =(1 ; 0 ; 0), −→
e2=(0 ; 1 ; 0), −→
e3 =(0 ; 0 ; 1).
On considère les matrices suivantes :
A=
0 1 0 4 2 4 0 1 0
, Q=
1 1 1
−2 4 0 1 1 −1
, etI3=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On considère l’endomorphisme f deR3dont la matrice dans la baseBc, est A.
a. On considère les vecteurs suivants deR3:−→
u1 =(1 ;−2 ; 1),−→
u2 =(1 ; 4 ; 1),
−→u3 =(1 ; 0 ;−1).
Vérifier que la familleBn=
³−→
u1,−→
u2,−→
u3
´est une base de l’espace vecto- rielR3.Qest ainsi la matrice de passage de la baseBcà la baseBn. b. CalculerQ2etQ3et vérifier queQ3est combinaison linéaire deI3et de
Q2.
c. En déduire que la matriceQ est inversible, puis déterminer son inverse Q−1.
d. Vérifier que les vecteurs−→
u1,−→
u2 et−→
u3 sont des vecteurs propres de l’en- domorphisme f.
En déduire la matriceA′de l’endomorphismef dans la baseBn.
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e. Rappeler le lien entre les matricesA′,AetQ.
f. En déduire, pour tout nombre entier naturelnnon nul, l’expression de la matriceAnen fonction deA′,Qetn.
Pour la suite de l’exercice, on admettra que, pour tout nombre entier naturel nnon nul :
An=2n 6 =
2n+2(−1)n 2n−(−1)n 2n+2(−1)n 2n+2−4(−1)n 2n+2+2(−1)n 2n+2−4(−1)n
2n+2(−1)n 2n−(−1)n 2n+2(−1)n
2. Étude de la loi d’une variable aléatoire
Dans un jeu, un pion se déplace aléatoirement sur les sommets d’un triangle, notés S1, S2, S3, selon la règle suivante :
• À l’instant 0, le pion se situe au sommet S1.
• Si à l’instantnle pion est au sommet S1, alors à l’instantn+1 il sera au sommet S2.
• Si à l’instantnle pion est au sommet S2, alors à l’instantn+1 il sera au sommet S1avec la probabilité1
4, au sommet S2avec la probabilité 1 2, au sommet S3avec la probabilité1
4.
• Si à l’instantnle pion est au sommet S3, alors à l’instantn+1 il sera au sommet S2.
On appelleXn la variable aléatoire égale ài si le pion se trouve à l’instantn sur le sommet Si, et on noteanbn,cnles probabilités :
an=P({Xn=1}),bn=P({Xn=2}),cn=P({Xn=3}).
a. On noteTnla matrice à une colonne :Tn=
an
bn
cn
. Préciser les matricesT0etT1.
b. Écrire la matriceM, carrée d’ordre 3, dont le terme situé à l’intersection de lai-ième ligne et de laj-ième colonne est égal à la probabilité condi- tionnelleP{Xn=j}({Xn+1=i}), notée aussiP¡
{Xn+1=i}/{Xn=j}¢ .
c. Justifier que les conditions d’application de la formule des probabilités totales sont réunies, puis l’utiliser pour montrer que, pour tout nombre entier natureln:
Tn+1=MTn.
d. En déduire l’expression de la matriceTnen fonction den,T0etA, oùA est la matrice étudiée à la question 1.
e. En déduire les probabilités an ,bn, cn en fonction den, ainsi que leur limite quandntend vers+∞.
f. Vérifier que, pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1, l’es- pérance deXnest indépendante den.
EXERCICE4
Dans tout cet exercice, on se place dans l’espace affine euclidien réelE rapporté à un repère orthonormé directR=
³O,−→ ı ,−→
,−→ k´
.
Soient les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0) et C(0 ; 0 ; 1). Pour tout pointMde l’espace E de coordonnées (x ; y ; z) dans le repèreR, on note indifféremmentϕ(M) ou ϕ(x;y;z) la quantité :
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ϕ(M)=ϕ(x;y;z)=OM+AM+BM+CM
On admettra ici que la quantitéϕ(M) admet un minimum global, notém, lorsque le pointMdécrit l’espaceEet on souhaite obtenir la valeur de ce minimum ainsi que le(s) point(s) en le(s)quel(s) ce minimum est réalisé.
1. Calculer et comparer lesquantitésϕ(O),ϕ(A),ϕ(B) etϕ(C).
2. Justifier que 06m63 et que siϕréalise son minimummen un point P alors OP63.
3. Soitrl’application affine de l’espaceEtransformant le pointM(x;y;z) en le pointM′=r(M) de coordonnées (y;z;x).
a. Déterminer les images par l’applicationrdes points O, A, B et C.
b. Vérifier que l’applicationrest une isométrie, c’est-à-dire que, pour tout couple de points (M,N) deE2, les distancesr(M)r(N) etM Nsont égales, c’est-à-direM′N′=M N.
c. Pour tout pointMde l’espaceE, montrer queϕ(M)=ϕ(M′).
4. Soit∆la droite passant par le point O et de vecteur directeur−→ a =→−
ı +→−
+−→ k . SoitPun point qui n’est pas sur la droite∆.
SoientP′=r(P) etP′′=r(P′) et soitQl’isobarycentre des pointsP,P′etP′′. a. Montrer que pour tout pointMde l’espaceE, on a :
MQ61 3
¡MP+MP′+MP′′¢ .
b. En déduire queϕ(Q)−OQ6ϕ(P)−OP. c. Vérifier que−−→OQ ·−−→
QP =0, puis en déduire queϕ(Q)<ϕ(P).
d. Si l’applicationϕréalise son minimummen un pointP, que sait-on dé- sormais sur ce pointP?
5. On considère la fonctionΦdéfinie en tout nombre réelxparΦ(x)=ϕ(x,x,x).
a. Montrer que, pour tout nombre réelxnégatif ou nul,Φ(x)>Φ(0).
b. Étudier le sens de variation de la fonctionΦsurR+∗.
c. En déduire l’existence d’un pointP0en lequel l’applicationϕatteint son minimum.
Déterminer le pointP0et le minimum de l’applicationϕ.
6. Vérifier queP0est le barycentre du système de points pondérés {(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
On noteθune mesure de l’angle non orientéAP0B, choisie dans l’intervalle [0 ;π].
Déterminer la valeur exacte de cos(θ) et une valeur approchée à un degré près par défaut deθ.
Remarque : On pourrait vérifier (mais ceci est admis ici) qu’en fait les me- sures des anglesOP0A,OP0B,OP0C,AP0B,BP0C etCP0A choisies dans l’in- tervalle [0 ;π] sont toutes égales àθ.
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