Table des matières
Chapitre 5. Utilisation du produit scalaire et du produit vectoriel 1
§ 1. Produit scalaire, norme, distance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
§ 2. Forme métrique de l’équation d’une droite : : : : : : : : : : : : : : 10
§ 3. Forme métrique de l’équation d’un plan. Projection orthogonale: : : 13
§ 4. Orthogonalité. Plans perpendiculaires : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 Exercices : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17
i
Chapitre 5
Utilisation du produit scalaire
§ 1. Produit scalaire, norme, distance
1. Théorème de Pythagore (vecteurs). Pour que deux vecteursxEetyEde! Esoient orthogonaux, il faut et il suffit qu’on ait
(1) kExC Eyk2D kExk2C k Eyk2: Démonstration. On a
kExC Eyk2D.xEC Ey/ : .ExC Ey/
D Ex :xEC Ex :yEC Ey :xEC Ey :yE D kExk2C k Eyk2C2x :E y:E
On a donc (1) si et seulement six :E yE D0, ce qui (par définition) signifie quexE etyEsont orthogonaux.
A
C
x B x + y y y
Fig. 1.
Le véritable théorème de Pythagore traite de segments, de longueurs (et non de distances de points), et ce que nous notons AB2n’était pas considéré comme le carré d’un nombre, mais comme une aire. En voici une version approchée.
2. Théorème de Pythagore (points). SoientA,B,Ctrois points. On a AB!?AC!
”AB2CAC2DBC2 On applique le théorème précédent en prenantxEDBA,!
E yDAC.!
1
3. Définition. Repère orthonormé. On dit qu’une baseBD .E{;| ;E Ek/de!E est orthonormée si on a
kE{k D k E|k D kEkk D1 E
{:|ED E| :kED Ek:E{D0
On dit qu’un repèreBD.O;E{;| ;E k/E de E est orthonormé si la base.E{;| ;E k/E est orthonormée.
4. Théorème. Il existe dans!Edes bases orthonormées.
Démonstration. * Dans!E , il y a une base.u;E v;E w/E , non orthonormée a priori.
On va construire a partir de cette base une base orthonormée. La stratégie est la suivante :
1) En ajoutant àvEun multiple deuE, on obtient un vecteurvE0orthogonal àuE. 2) En ajoutant àwEune combinaison linéaire deuEetvE, on obtient un vecteur E
w0orthogonal àuEet àvE.
3) On vérifie queuE,vE0,wE0forment bien une base.
4) Par construction les vecteursuE,vE0,wE0sont deux à deux orthogonaux. En divisant chacun d’eux par sa norme, on obtient la base orthonormée annoncée.
u v + λ u
v' v
Fig. 2. Choix devE0 1) On pose
E
v0D EvC˛u;E
en choisissant˛de façon à ce quevE0etuEsoient orthogonaux. Puisque E
u:.vEC˛u/E D Eu:vEC˛kEuk2
et quekEuk ¤0(puisqueuE¤0), c’est possible : il suffit de prendre
˛D u:EEv kEuk2
2) Au lieu de chercherwE0 sous la formewE0 D EwCCL.u;E v/E , cherchons-le sous la formewE0 D EwCCL.u;E vE0/. Cela revient au même, puisquevE0 est une
combinaison linéaire deuEet devEet quevEest une combinaison linéaire deuEet devE0, et les calculs seront plus faciles.
On cherche donc un vecteurwE0de la forme E
w0D EwCˇuECvE0: tel que
E
u:wE0D Eu:wECˇkEuk2Cu:EvE0D0 E
v0:wE0D Ev0:wECˇvE0:uECkEv0k2D0 il suffit, puisqueu:EvE0 D Ev0:uED0, de prendre
ˇD u:EwE
kEuk2; D vE0:wE kEv0k2: 3) Les vecteursuE,vE0,wE0forment bien une base, puisque
E
w0D EwCˇuECvE0D EwCˇuEC.EvC˛u/E D.ˇC˛ /uECvEC Ew et que leur déterminant dans la base.u;E v;E w/E est donc
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
1 ˛ ˇC˛
0 1
0 0 1
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
D1:
4) Les vecteurs de norme1(on dit aussi unitaires, ou normés) associés aux vecteursuE,vE0,wE0, soit
E {D uE
kEuk; vE0D vE0
kEv0k; kED wE0 k Ew0k
(rappelons quek˛vk D j˛j kEE vk; par suite kEvvEk est de norme1sivEest non nul) sont orthogonaux et forment une base, commeuE,vE0,wE0. ils forment donc une base orthonormée.
5. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée. Les coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée sont les produits scalaires de ce vec- teur avec les vecteurs de la base : en effet, si xE D xE{ C y|EC zkE on a E
x:E{ D xE{:E{ Cy| :EE{ C Ek:E{ D x1Cy0Cz0 D x. De même pour les autres coordonnées. On retient que
xD Ex:E{; yD Ex:| ;E zD Ex:k:E
Exercice. Soient dans!E trois vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux. Montrer qu’ils forment une base de!E .
6. Calcul du produit scalaire en coordonnées. Soit.E{;| ;E k/E une base quelconque de!E , non supposée orthonormée. Considérons les vecteurs
E
uDuE{Cv|ECwkE E
u0Du0E{Cv0|ECw0kE Le produit scalaire de ces vecteurs est
E
u:uE0 Duu0kE{k2Cuv0E{:|ECuw0E{:kE Cvu0| :EE{Cvv0k E|k2Cvw0| :EEk Cwu0k:EE{Cwv0Ek:|ECww0kEkk2; soit
E
u:uE0Duu0kE{k2Cvv0k E|k2Cww0kEkk2
C.uv0Cvu0/E{:|EC.vw0Cwv0/| :EkEC.uw0Cwu0/E{:kE Si la base.E{;| ;E k/E est orthonormée, on akE{k D k E|k D kEkk D 1etE{:|E D E
| :EkD E{:kE D0. On a donc dans ce cas
(2) u:EEu0Duu0Cvv0Cww0
quels que soient les vecteursuEDuE{Cv|ECwkEetuE0 Du0E{Cv0|ECw0kE. De (2) on tire la formule
(3) kEuk2Du2Cv2Cw2;
valable dans une base.E{;| ;E k/E orthonormée.
7. Distance dans un repère orthonormé. Considérons maintenant un repère orthonorméR D .O;E{;| ;E k/E . Par définition, la distance de deux points A et A0estd.A;A0/ D k !
AA0k. Si le point A a pour coordonnéesx,y,zet si A0 a pour coordonnéesx0,y0,z0, autrement dit si on a
ADOCxE{Cy|ECzEk;
A0DOCx0E{Cy0|ECz0k;E on a
AA!0DA0 AD ! OA0 OA!
D.x0 x/E{C.y0 y/|EC.z0 z/k:E La distance est donc donnée par la formule
(4) d.A;A0/Dp
.x0 x/2C.y0 y/2C.z0 z/2.
8. Théorème(Théorème de la projection orthogonale). SoituEun vecteur non nul. Tout vecteurvEde!Es’écrit d’une façon et d’une seule
E
vD Ev0C Ev00 oùzEest orthogonal àuE.
Autrement dit, tout vecteur de!
E se décompose en somme d’un vecteur colinéaire àuEet d’un vecteur orthogonal àuE.
Démonstration. Analyse. Supposons qu’une décomposition de la forme indi- quée existe :xE D uEC Ez. Multiplions scalairement par uE. Par hypothèse, on au :E EzD0. On a doncu :E xEDkEuk2et
D u :E xE kEuk2:
puisqueuE¤0. Il n’y a donc qu’une seule valeur possible de, et par suite une seule valeur possible deEz, soitEzD Ex uE.
Synthèse.Vérifions qu’avec les valeurs trouvées pouret Ezles conditions sont remplies. Il suffit de vérifier quezEest orthogonal àuE:
E
u :zED Eu : .xE u/E D Eu :xE kEuk2 D Eu :xE u :E xE
kEuk2kEuk2 D0:
9. Exemples. Tout vecteur est somme d’un vecteur vertical et d’un vecteur hori- zontal.Cet énoncé a deux significations : d’abord dans l’espace physique, où la verticale désigne la direction de la pesanteur en un point donné (et au voisi- nage de ce point) et l’horizontale la direction de plan perpendiculaire, ensuite dans une espace muni d’un repère orthonormé et de coordonnéesx; y; z, où on considère la direction de Ozcomme la verticale.
x
y
z
v'
v'' u
v
Fig. 3.
Plus généralement, considérons un plan P et un vecteurnEnormal à P (voir plus loin, no19, si vous ne savez pas ce que c’est). Tout vecteurvEse décompose en une composantevE0colinéaire ànE, qu’on dit normale ou orthogonale au plan P, et d’une composantevE00parallèle au plan.
v' v''
u v
Fig. 4.
Considérons une sphère de centre O et de rayon R, et soit M un point de cette sphère. Tout vecteur (pensez à des vecteurs localisés en M) est somme d’un vecteur colinéaire au « rayon vecteur »OM et d’un vecteur orthogonal à! OM. Le premier est appelé vecteur radial, ou vecteur normal à la surface de la! sphère, le second est tangent à la surface de la sphère.
u v'
v''
v
Fig. 5.
Malgré son apparence élémentaire, le théorème 7 est la base d’une longue série d’énoncés mathématiques ou de procédés techniques de décomposition : parallèle + orthogonal, signal + bruit, son fondamental + harmoniques, tendance générale + variations saisonnières, etc.
10. Définition et propriétés de la projection orthogonale sur un vecteur. On dit que le vecteurvE0 D uEdans l’énoncé du théorème précédent est la projection orthogonale devEsuruE. On note ce vecteur projuE.v/E .
Le vecteur projuE.x/E est inchangé si in remplaceuEpar un vecteur colinéaire (non nul). On peut donc pour simplifier supposer le vecteuruEunitaire.
Enfin, on a projuE.x/E D 0 si et seulement si xE est orthogonal à uE, que projuE.x/E D Exsi et seulement sixEest colinéaire àuE. Montrer que projuE.xEC Ey/D projuE.x/E CprojuE.y/E , que projuE.˛x/E D˛projuE.Ex/.
Exercice. Démontrer ce qui précède.
11. Lemme1. Le produit scalaire de deux vecteurs colinéairesuE etvEest égal à
˙kEukkEvk. Plus précisément, il est égal àkEukkEvk si uE et vE sont colinéaires et
1. Un lemme est un résultat auxiliaire, utile dans la démonstration d’un résultat plus important.
de même sens, il est égal à kEukkEvksi ces vecteurs sont colinéaires et de sens contraires.
SupposonsuEetvEdifférents de zéro (si l’un des vecteurs est nul, le résultat est clair). On a alorsvE DkuE. C’est sik > 0qu’on dit que les vecteursuEetvE sont colinéaires et de même sens et sik < 0qu’on dit qu’ils sont colinéaires et de sens contraires.
Dans le premier cas, on a d’une partkEuk D kkEuket d’autre partu:EvE D ku:EuEDkkEuk2, d’oùu:EvED kEukkEuk.
Dans le second cas, on akEuk D jkjkEuk D kkEuketu:EvE D kkEuk2comme ci-dessus, d’oùu:EvED kEukkEuk.
12. Théorème(Inégalité de Cauchy-Schwarz.). SoientuEetvEdeux vecteurs de! E. On a
(5) kEukkEvk6u :E vE6kEukkEvk:
(inégalité de Schwarz).
On a l’égalitéu :E vE D kEukkEvkquanduEetvEsont colinéaires et de même sens (ce qui signifie par définitionuE D ˛vEouvE D ˛uE avec˛ > 0) ; on a l’égalité
E
u :vED kEukkEvkquandxEetyEsont colinéaires et de sens contraire.
Démonstration. SiuE D0, les deux inégalités de (5) sont vérifiées. On suppose donc dans la suiteuE¤0.
Écrivons
E
vD Ev0C Ev00 avec˛uEetvE00orthogonal àuE.
Supposons d’abordvEnon colinéaire àuE, ce qui imposevE00¤0(on utilise ici l’unicité dans le théorème 7). On a d’une part
kEv0k2<kEv0k2C kEv00k2D kEvk2
(l’inégalité provient de ce quekEv00k ¤0, et l’égalité du théorème de Pythagore), d’où
kEv0k<kEvk; et d’autre part
E
u:vED Eu:.vE0C Ev00/D Eu:vE0 On a donc
jEu:vEj D jEu:vE0j D kEuk:kEv0k<kEuk:kEvk
(la seconde égalité provient de ce quevE0est colinéaire àuE, voir no11, l’inégalité provient de ce qui précède), d’où (5) avec des inégalités strictes.
Pour les cas d’égalité, il suffit d’utiliser de nouveau la remarque 11.
v' u v
Fig. 6. Vision géométrique de l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans le plan. Le vecteuruEest fixe.
Le vecteurvEest variable, mais sa longueurkEvkest fixée. Le produit scalaireu:EEvest égal au produit scalaireu:EvE0, oùEv0est la projection orthogonale deEvsuru. On voit queE Eu:vEest maximum quandvE est colinéaire àuEet de même sens, et minimum quandEvest colinéaire àuEet de sens contraire.
13. Remarque. Au lieu de déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz du théorème de la projection orthogonale comme on l’a fait, on peut aussi démontrer (5) en utilsant une base orthonormée et en obcservant qu’en coordonnées les inéga- lités (5) se traduisent par l’inégalité de Cauchy déjà démontrée au no??. On peut tout aussi bien utiliser directement l’idée de la démonstration de l’inégalité de Cauchy en considérant le polynôme du second degré
P./D kEx ykE 2D kExk2 2Ex :yEC2k Eyk2:
14. Inégalité du triangle (vecteurs). On a toujours (6) kEuC Evk6kEuk C kEvk:
On a l’égalité si et seulement siuEetvEsont colinéaires et de même sens.
C’est facile : on a kEuC Evk2D.uEC Ev/2
D Eu2C2u:EvEC Ev2 D kEuk2C2u:EvEC kEvk2
6kEuk2C2kEuk:kEvk C kEvk2 (inégalité de Schwarz) D.kEuk C kEvk/2:
D’où (6) en passant aux racines carrées. On a égalité dans (6) lorsqueu:EvE D kEuk:kEvk, autrement dit, d’après le no11, lorsqueuEet vEsont colinéaires et de même sens.
A C
u B v u + v
Fig. 7.
15. Inégalité du triangle (points).
(7) d.A;C/6d.A;B/Cd.B;C/:
On a égalité quandBest un point du segmentAC.
Puisque !
AC D !
ABC !
BC, on ak !
ACk 6 k !
ABk C k!
BCk, ce qui, de par la définition de la distance, revient à (7).
D’après le no14 on a égalité si les vecteursAB et! BC sont colinéaires et de! même sens, ce qui équivaut à dire que B est un point du segmentŒAC. (Démons- tration en supposantBC!
¤0:AB!
D˛BC avec!
˛>0entraîneAC!
D.1C˛/BC! etAB!
D1C˛˛AC!
DkAC avec!
06k < 1.)
§ 2. Forme métrique de l’équation d’une droite On se place dans un repère orthonormé fixé du plan.
16. Le vecteur normal à une droite. Soit la droite D, d’équation axCbyCcD0:
Le vecteurnED.a; b/est orthogonal à tous les vecteurs portés par la droite : en effet, si.x0; y0/et.x1; y1/sont deux points de D, on aax0Cby0Cc D0et ax1Cby1CcD0, d’oùa.x1 x0/Cb.y1 y0/D0en soustrayant membre à membre ces deux relations :
ax1Cby1CcD0 ax0Cby0CcD0 a.x1 x0/Cb.y1 y0/D0
Un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs portés par D est ditnormal à D, etnEest donc un vecteur normal à D. Tous les vecteurs non nuls colinéaires à un vecteur normal à D sont aussi normaux à D, et réciproquement : tout vecteur normal à D est colinéaire ànE.
Exercice. Démontrer cette réciproque.
(a, b) (– b, a)
(b, – a)
x y
D
Fig. 8. Vecteur normal à la droite D d’équationaxCbyCcD0:.a; b/. Vecteurs directeurs de D : les solutions deaXCbYD0, notamment.b; a/et. b; a/.
Bien qu’il y ait une infinité de vecteurs normaux à D, on dit souventlevec- teur normal à D, au singulier, en sous-entendant qu’il est défini « à un multiple scalaire près ». Il existe aussi deux vecteurs normaux à D et unitaires, qui sont
E n
kEnket kEnnEk.
En remplaçantcpar k, on peut écrire l’équation de D sous la forme E
n :OM! Dk
En faisant varierk, on obtient toutes les droites parallèles à D.
Si le point M0appartient à la droiten :E OM!
Dl, on al D En :OM!
0, ce qui fait que la droite passant par M0et orthogonale ànE(ou parallèle à D) a pour équation
E n :OM!
D En :OM!
0; ou n :E M!
0MD0:
Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogo- naux, parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
17. Distance de l’origine à une droite. On conserve les notations précédentes.
La droite issue de O et de vecteur directeurnEcoupe D en un point H. Le point H est de tous les points de D celui qui est le plus proche de O. En effet, pour tout point M de D, on aHM!
?OH, donc OM! 2DOH2CHM2(théorème de Pythagore) et OM2>OH2simest distincte de H.
La distance de l’origine à D est donc celle de l’origine à H. Pour la calculer, on observe queOH!
DnEpour un certain. En écrivant que H vérifie l’équation de D, on obtient donc
En :nEDk;
d’où D kEnkk2 etOH!
D kEnkk2nE. Finalement, dist.O;D/ D OH D kOH! k D
jkj
kEnk2kEnk DkEjknkj. En revenant à l’équation cartésienne, on obtient dist.O;D/D jcj
pa2Cb2:
x y
O D H
n
Fig. 9.
Refaisons le même calcul en coordonnées, pour comparer. PuisqueOH est! colinéaire ànE D.a; b/, les coordonnées de H sont de la formexHDa,yH D b. En écrivant que H est un point de D, c’est à dire en écrivant queaxHC byHCcD0, on obtient.a2Cb2/D c, d’oùD a2Ccb2 et
xHD ca
a2Cb2; yHD cb a2Cb2 et dist.O;D/DOHD
q
xH2CyH2Dpajcj2Cb2, comme attendu.
18. Distance d’un point à une droite. Soit M un point quelconque du plan. Pour déterminer la distance de M à la droite D ci-dessus, on peut :
a) refaire le raisonnement précédent en remplaçant la droite issue de O et de vecteur directeurnEpar la droite issue de M et de même vecteur drecteur ;
b) faire un changement de coordonnées en transportant l’origine en M.
On adopte la seconde solution. Les formules de changement de coordonnées s’écrivent XDx xM, YDy yM(X et Y sont les nouvelles coordonnées,x etyles anciennes). L’équation de D, qui estaxCbyCcD0dans les anciennes
coordonnées, devienta.X xM/Cb.y yM/CcD0dans les nouvelles coor- données, ou encore
aXCbYC.axMCbyMCc/D0:
Puisque M est maintenant l’origine (XDYD0), on peut appliquer le résultat du no précédent. On obtient
dist.M;D/D jaxMCbyMCcj pa2Cb2 :
§ 3. Forme métrique de l’équation d’un plan. Projection orthogonale On se place dans un repère orthonormé fixé.
19. Définition. Vecteurs orthogonaux à un plan. On dit qu’un vecteur estortho- gonal(ounormal) à un plan P s’il est orthogonal à tout vecteur porté par P.
Si le plan P a comme équation
axCbyCczCdD0;
alors le vecteur de coordonnées.a; b; c/est orthogonal à P. En effet, pour tout vecteur porté par P, de coordonnées.X;Y;Z/, on aaXCbYCcZD0.
Tout vecteur colinéaire à.a; b; c/est orthogonal à P (c’est évident), et inver- sement, tout vecteur orthogonal à P est colinéaire à.a; b; c/. En effet, dire que le vecteur.a0; b0; c0/est orthogonal à P, c’est dire que tout vecteur orthogonal à P vérifie l’équationa0XCb0YCc0ZD0, autrement dit queaXCbYCcZD0 entraînea0XCb0YCc0ZD 0, ou encore que le plana0XCb0YCc0Z D0 est contenu dans le planaXCbYCcZD0. Dans ce cas, ces deux plans sont confondus, et on a
a a0 D b
b0 D c c0:
Autrement dit, deux vecteur normaux à P sont colinéaires. On dit d’une façon plus frappante que le vecteur normal est unique à (multiplication par) un sca- laire près.
On observe immédiatement que deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
20. Forme métrique de l’équation d’un plan Le plan P d’équation axCbyCczCdD0
admetnED.a; b; c/comme vecteur normal. Son équation s’écrit donc E
n:OM! Dk
x y
M
M0 n
z
Fig. 10.
(en posantk D d). On peut l’écrire plus joliment. Si M0est un point quel- conque du plan, on a aussin:E !
OM0Dk. Pour que M appartienne à P, il est donc nécessaire et suffisant qu’on aitn:E !
OMD En: !
OM0, soitn:.E !
OM D !
OM0/ D0, soit encore
E n:M!
0MD0:
21. Projection orthogonale d’un point sur un plan. Théorème. Soit P un plan.
Étant donné un point M de l’espace, il existe un point M! 0de P et un seul tel que MM0soit orthogonal à P.
Ce point est appelé le projeté orthogonal de M sur P. Il réalise le minimum de la distance de M à P.
Soit nE un vecteur orthogonal à P, et soit A un point de P. D’après le no précédent, un pointmappartient à P si et seulement si on an:E !
Am D 0. Soit M0un point. On at
MM!0?P ” !
MM0colinéaire ànE (no19)
” 9t2R; ! MM0 DtnE
” 9t2R;M0 DMCtnE Les points M0 tels que !
MM0 soit orthogonal à P forment donc une droite.
D’après le no précédent, un point de cette droite, de la forme M0 D MCtnE est dans P si et seulement si on a
E n: !
AM0D0;
c’est-à-dire si on a
E n:.AM!
Ctn/E D En:AM!
CtkEnk2D0;
ou finalement
t D n:E ! AM kEnk2:
Ce qui montre à la fois l’existence et l’unicité du point M0répondant aux condi- tions de l’énoncé.
Si N est un autre point du plan, on a kMN!
k2 D k !
MM0k2C k !
M0Nk2 puisque !
M0N2!P et donc ! MM0 ? !
M0N
> k !
MM0k2 si N¤M0
On posed.M;P/ D k !
MM0k. C’est la plus petite distance de M à un point du plan. On dit aussi que c’est la distance de M au plan.
22. Calcul de la distance d’un point à un plan. Conservons les mêmes notations.
On a
d.M;P/D k !
MM0k D ktnEk D jtj kEnk D jEn: ! AMj kEnk2 kEnk; soit
d.M;P/D jEn:AM! j kEnk :
En coordonnées, dans un repère orthonormé, si le plan P a pour équationaxC byCczCdD0, on peut prendrenED.a; b; c/. Si le point A a pour coordonnées .˛; ˇ; /, on aa˛CbˇCcCd D0et
E n: !
AM D a.x ˛/Cb.y ˇ/Cc.z / D axCbyCcz .a˛CbˇCc / D axCbyCczCd:
D’où
(8) d.M;P/D jaxCbyCczCdj pa2Cb2Cc2 .
23. Équations de la projection orthogonale sur P. Toujours avec les mêmes notations, la projection orthogonale est l’application qui à M associe son pro- jeté M0.
On a M0DMCtnE, avec la valeur detcalculée plus haut, soit M0DM n:E !
AM kEnk2 n:E En coordonnées, on obtient
0
@ x0 y0 z0
1 AD
0
@ x y z 1 A
axCbyCczCd a2Cb2Cc2
0
@ a b c 1 A:
§ 4. Orthogonalité. Plans perpendiculaires
Les résultats de ce § sont admis sans démonstration. Le lecteur pourra les démontrer lui-même à titre d’exercice.
24. Droites orthogonales. On dit que deux droites D et D0 sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Ou, ce qui revient au même, si tout vecteur porté par l’une des droites est orthogonal à tout vecteur porté par l’autre.
Dans l’espace, deux droites orthogonales ne se rencontrent pas nécessaire- ment. (Penser à une droite orthogonale à un plan, qui est orthogonale à toutes les droites de ce plan, voir no suivant.)
25. Droites orthogonales à un plan. On dit qu’une droite D est orthogonale à un plan P, ou que D et P sont orthogonaux si tout vecteur porté par D est ortho- gonal à tout vecteur porté par P.
Pour cela, il faut et il suffit qu’un vecteur directeur de D soit orthogonal à deux vecteurs portés par P et indépendants. Voici quelques autres résultats :
– Une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites du plan, et réciproquement. Pour la réciproque il suffit en fait que la droite en question soit orthogonale à deux droites du plan non parallèles.
– Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.
– Une droite et un plan orthogonaux se rencontrent.
– Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
– Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles
Remarque.On peut parler de droite ou de plan orthogonal à une direction de droite ou de plan, puisque l’orthogonalité ne dépend que des vecteurs portés par D ou P.
26. Plans perpendiculaires. Il n’existe pas de plans P et Q orthogonaux, car on réserve ce terme au cas où tout vecteur porté par P est orthogonal à tout vecteur porté par Q, ce qui est impossible.
On dit que deux plans sontperpendiculairess’il existe un vecteur porté par P et un vecteur porté par Q qui sont orthogonaux.
– Deux plans sont perpendiculaires si le vecteur normal de P (qu’on peut noternEP) est parallèle à Q, ou sinEQ est parallèle à P, ou si les vecteurs normauxnEPetnEQsont orthogonaux.
– Deux plans perpendiculaires se rencontrent suivant une droite, et la situa- tion est celle de la figure 11.
Fig. 11. Plans perpendiculaires et leurs vecteurs normaux
Exercices
Exercice 1.Donnez un repère orthonormé de l’espace dont le premier vecteur est orthogonal à .1; 1; 1/.
Exercice 2.Montrer que les vecteurs.1; 1; 1/,.1; 1; 0/,.1; 1; 2/forment une base orthogonale deR3. En tirer une base orthonormée. Quelles sont les coordonnées dans cette base de.1; 0; 0/? Exercice 3.Trouver une base orthogonale ayant comme premier vecteur le vecteur.1; 2; 3/.
Exercice 4.Donnez un repère orthonormé du plan d’équation2xCyCzD1.
Exercice 5.Dans le plan. Montrer que siuEetuE0sont orthogonaux à un même vecteurvEnon nul, il sont colinéaires.
Exercice 6.Montrer que si un vecteur de!E est orthogonal à tout vecteur de!E , il est nul.
Exercice 7.SoientuEetvEdeux vecteurs de!E . Montrer que si l’ensemble des vecteurs orthogonaux àvEcoïncide avec l’ensemble des vecteurs orthogonaux àu, alorsE uEetvEsont colinéaires.
Exercice 8.Distance d’un point à une droite et projection d’un point sur une droite, en coordonnées Soit D la droite définie par la représentation paramétrique
8 ˆ<
ˆ:
xDaCt u yDbCt v zDcCt w
On suppose pour simplifier les calculs que le vecteur directeur.u; v; w/est unitaire :u2Cv2Cw2D 1. Soit M0D.x0; y0; z0/.
a) Montrer que l’équation du plan orthogonal à D qui passe par M0est uxCvyCwzDux0Cvy0Cwz0:
b) Montrer que ce plan coupe la droite D en un unique point M1et que M1est le point de D le plus proche de M0.
c) Calculer les coordonnéesx1; y1; z1de M1en fonction de celles de M0. d) Calculer la distance de M0à la droite D.
Exercice 9.(Géométrie plane.)Donner l’équation de la droite./, parallèle à.D/W2x 3yC5D0 et passant par le point M0dans chacun des cas suivants :
– M0a pour coordonnées.9=2; 1=6/
– M0a pour coordonnées.1; 1/
– M0a pour coordonnées.0; 0/
Exercice 10.(Géométrie plane.)Donner l’équation de la droite./, perpendiculaire à.D/W xC 2yC5D0et passant par le point M0de coordonnées.6; 4/.
Exercice 11. (Géométrie plane.)Déterminer pour quelles valeurs dem2Rles droites.Dm/WmxC 3y 1D0et.m/WxC.mC2/y mD0sont concourantes, parallèles ou confondues.
Exercice 12.(Géométrie plane.)Déterminer quelles sont les coordonnées du (ou des) point(s) d’in- tersection de la droite d’équationaxCbyCcD0avec les axes de coordonnées.
Exercice 13.(Géométrie plane.)On considère deux droites.D/WaxCbyCcD0et.D0/Wa0xC b0yCc0D0, que l’on suppose concourantes. Montrer que l’équation générale d’une droite passant par ce point d’intersection est
.axCbyCc/C.a0xCb0yCc0/D0pour.; /¤.0; 0/
Pour quelles valeurs deetcette droite est-elle perpendiculaire à D ?
Exercice 14.Donner un système de deux équations définissant la droite passant par AD.1; 5; 7/et BD.2; 1; 3/.
Exercice 15.Donner un système de deux équations définissant la droite passant par AD.1; 5; 7/et de vecteur directeur!V
D.2; 1; 3/.
Exercice 16. Déterminez l’intersection des plans P1Wx 2yCzC3D0, P2W2xCy z 2D0 et P3W4xCy zC4D0.
Exercice 17.Donnez l’équation du plan passant par A D .1; 5; 7/et perpendiculaire à!V D .2; 1; 3/.
Exercice 18. Donnez l’équation du plan passant par AD.1; 1; 1/et parallèle àV!
1 D.2; 1; 3/et V!2D.1; 4; 5/.
Exercice 19.Donnez l’équation du plan passant par AD.1; 1; 1/, BD.1; 1; 0/et CD.1; 0; 1/.
Exercice 20.Donnez l’équation du plan passant par AD.1; 2; 1/, BD.2; 1; 1/et perpendiculaire au planxCyCzC1D0.
Exercice 21.Donnez l’équation du plan passant par AD.1; 2; 1/et perpendiculaire aux plansxC 2yCzC3D0et2xCy zC1D0.
Exercice 22.Donnez un système d’équations cartésiennes et une représentation paramétrique de la droite passant par AD.1; 1; 1/et par BD.1; 0; 2/.
Exercice 23.Intersection de la droite d’équation
3xCyC2zC1D0; xC3yC5zC2D0
avec chacun des plans de coordonnées.
Exercice 24.Soient la droite d’équation
3xCyC2z 1D0; xC2y zC2D0 et le plan défini parx y zC1D0; montrez qu’ils sont perpendiculaires.
Exercice 25.Donnez un point et un vecteur directeur de la droite d’équations
(xCyC2zC1D0
2x y z 1D0 .
Exercice 26.Montrez que les droites définies par
(xCy 3zD0 x y zC2D0 et
(x yCzD0 2xCy 3z 1D0 ont un point commun. En déduire qu’elles sont contenues dans un même plan ; en déduire une équa- tion de ce plan.
Exercice 27.Donnez une paramétrisation de la droite./(du plan) d’équation4x 3yC1D0.
Exercice 28.Donnez une paramétrisation du plan P d’équation3xCyC2zC1D0.
Exercice 29.(Géométrie plane.)Vérifiez analytiquement que l’ensemble des points à égale distance de AD.xA; yA/et BD.xB; yB/est bien la médiatrice du segmentŒAB, c’est-à-dire la perpendicu- laire au segmentŒABen son milieu.
Exercice 30.(Géométrie plane.)Donnez les équations cartésiennes des deux bissectrices associées aux deux droites concourantes suivantes :.1/W3xC4yC3D0et.2/W12x 5yC4D0.
Exercice 31. Donnez une équation cartésienne du plan P perpendiculaire au plan P0d’équation2x 3yC4z 1D0et contenant la droite./d’intersection de P0avec le plan d’équationyD0.
Exercice 32.Donnez l’équation générale des plans contenant la droite d’équation
(x y zD0 2xCyCzC1D0 Parmi ces plans, y a-t-il un plan vertical ? un plan parallèle à Ox? un plan parallèle à Oy? un plan parallèle àxOy? un plan orthogonal au vecteur.1; 1; 1/? un plan parallèle au vecteur.1; 1; 1/? un plan passant par l’origine ?
Exercice 33.SoituEun vecteur non nul. Montrer que l’ensemble des vecteurs orthogonaux àuEest un plan vectoriel.
Exercice 34.(Géométrie plane.)Montrez que si un quadrilatère possède quatre côtés de même lon- gueur, alors ses diagonales sont perpendiculaires. Que pensez-vous de la réciproque ?
Exercice 35.Soit ABCD un rectangle non plat, H et K les projetés orthogonaux respectifs de B et D sur la diagonale AC. Calculez la distance HK en fonction des longueurs respectivesaetbdes cotés AB et BC. (Indication.On calculeraHK:!AC).!
Exercice 36.Soit ABCD un parallélogramme non plat du plan tel queAB!
D DC. On considère! encore un point P tel que la parallèle à.AB/menée par P coupe.AD/en E et.BC/en F ; tel que la parallèle à.AD/menée par P coupe.AB/en G et.CD/en H. Montrez que les trois droites.EH/, .FG/et.AC/sont concourantes ou parallèles.
(Indication.On se placera dans le repère cartésien.AIAB;!AD/! ; on notera.; /les coor- données de P dans ce repère et l’on calculera les équations des droites considérées.)
Exercice 37.Dans un triangle ABC rectangle en A, on note A0le milieu deŒBC, H le projeté ortho- gonal de A sur.BC/, I et J les projetés orthogonaux de H sur.AB/et.AC/. Montrez que.IJ/est orthogonal à.AA0/.
Exercice 38.Montrer de plusieurs façons que les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Exercice 39.Montrer de plusieurs façons que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Exercice 40.Untétraèdre trirectangleest un tétraèdre dont trois arêtes issues d’un même sommet sont deux à deux perpendiculaires.
SoitR D.O;E{;| ;Ek/E un repère orthonormé, et soient A un point de l’axe Ox, B un point de l’axe Oy, C un point de l’axe Oz, les points A;B;C étant distincts de O. Alors, OABC est un trièdre trirectangle. Il est clair que tous les tétraèdres trirectangles peuvent s’obtenir de cette façon.
a) Dans la situation ci-dessus, on suppose que les points A;B;C sont d’abscisse> 0sur les axes Ox;Oy;Ozrespectivement. Faire une figure.
b) Soit H le projeté orthogonal de O sur le plan ABC. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC.
c) On suppose que OADa, OBDb, OCDc. Quelle est l’équation du plan ABC ? Quelles sont les coordonnées de H ?
Exercice 41.Tétraèdres orthocentriques. Seulement pour les amateurs.Soit ABCD un tétraèdre. On note A0le projeté orthogonal du sommet A sur le plan BCD, et on dit que la droite AA0est dans le tétraèdre ABCD lahauteur issue deA.On définit de même les hauteurs BB0, CC0et DD0.
Il n’est pas vrai en général que dans un tétraèdre les quatre hauteurs soient concourantes. Voir un contre-exemple dans l’exercice 12 de la feuille 3. Un tétraèdre où les quatre hauteurs sont concou- rantes est ditorthocentrique,et le point de concours de hauteurs est alors appelé l’orthocentre.Un tétraèdre régulier, un tétraèdre trirectangle (voir exercice 40) sont des exemples de tétraèdres ortho- centriques.
a) Montrer que si les hauteurs issues de A et de B sont concourantes, alors les droites AB et CD sont orthogonales.
b) Montrer que si le tétraèdre ABCD est orthocentrique, alors les arêtes opposées du tétraèdre sont orthogonales (AB et CD sont orthogonales, AC et BD sont orthogonales, AD et BC sont ortho- gonales).
c) On suppose que les droites AB et CD sont orthogonales. Montrer que le point E, pied de la hauteur issue de A dans le triangle ACD est aussi le pied de la hauteur issue de B dans le triangle BCD. En déduire que les hauteurs AA0et BB0du tétraèdre sont deux des hauteurs du triangle ABE, et qu’elles sont donc concourantes.
d) Déduire de ce qui précède que le tétraèdre ABCD est orthocentrique si et seulement si les trois paires d’arêtes opposées du tétraèdre sont formées d’arêtes orthogonales.
e) Montrer que dans un tétraèdre quelconque on a DA:!BC!
CDB:!CA!
CDC:!AB! D0:
En déduire que si deux paires d’arêtes opposées du tétraèdre sont formées d’arêtes orthogonales, c’est aussi le cas pour la troisième paire.
f) Montrer que si le tétraèdre ABCD est orthocentrique, les pieds A0, B0, C0, D0des quatre hauteurs sont respectivement les orthocentres des faces BCD, ACD, ABD, ABC. Montrer que si A0 est l’orthocentre de la face ABC, le tétraèdre est orthocentrique.
