logarithme népérien et limites http://afimath.jimdo.com/ 4

(1)

Logarithme népérien et limites Page 1

Exercice

1. Soit

cos( ² ) 1

3 2

( ) 1

x

f x x

  

  ; calculer

lim ( )1

x f x

 .

2. 3

( ) ln 5 f x ex

x

  

    ; calculer lim ( )

x f x

 .

3. ² 3

( ) ln x _x

f x e

  

  

  ; calculer lim ( )

x f x

 .

4. 2ln 1

lim 2

x

x x



 .

5. lim ln 1 1

x x

x



  

 

 ^.

Correction

1. 1 1

cos( ² 3) 12 ( ) (1)

lim lim '(1)

1 1

x x

x f x f

x x f

 

 

    

  avec

( ) cos( ² ) 3

2 1

(1) cos( ) cos( )

3 3 2

f x x

f

 



  



     



.

On calcule donc '( ) 2 sin( ² )

f x   x x 3 d'où 2 2 3

'(1) 2 sin( ) 2 sin 3

3 3 2

f              .

2. lim 3 lim ln 3 ln 1

5 5

x x

ex e ex e

x x

 

      

    ^.

3. ² 3 3 3

lim ln lim ln( ² 3) ln lim ln( ² 1 ) lim ln ² ln 1

² ²

x

x x x x x

x x e x x x x

x x

e

   

    

              

           

         ^,

or lim ln 1 3 ln 1 0

²

x^ x

   

 

  ^et

lim (ln ² ) lim (2ln ) lim 2ln 1

x x x

x x x x x x

x

  

 

       ^car

lim ln 0

x

x x

  .

4. 2ln 1 ln 1

lim lim lim 0

2 2

x x x

x x

x x x

  

    car ln

lim 0

x

x x

  et 1

lim 0

2

x^ x

5. 0

ln 1 1

1 ln(1 )

lim ln 1 lim 1 lim 1

x x X

x X

x x X

x

   

  

  

     

 

  .

Mathématiques

Site Web : 4

^ème

logarithme népérien et limites

http://afimath.jimdo.com/