Solution: Sin−7 divisen+ 3, alors il existe un entierktel quek(n−7) =n+ 3

TS9 DS 1 8 octobre 2019 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Division d’entiers relatifs (10 minutes) (3 points) D´eterminer tous les entiers relatifsn tel quen−7 divise n+ 3.

Solution: Sin−7 divisen+ 3, alors il existe un entierktel quek(n−7) =n+ 3. Comme 3 =−7 + 10 on obtient :

k(n−7) =n+ 3⇔k(n−7)−(n−7) = 10⇔(k−1)(n−7) = 10

Donc (n−7) divise 10. Les diviseurs relatifs de 10 sont : D₁₀={−10;−5;−2;−1; 1; 2; 5; 10}.

Les valeurs possibles de nsont donc :{−3; 2; 5; 6; 8; 9; 13; 17}.

On v´erifie que n−7 divise bienn−5 pour toutes ces valeurs.

L’ensemble de solution est bien{−3; 2; 5; 6; 8; 9; 13; 17}.

Exercice 2 : Division euclidienne (5 minutes) (2 points)

Trouver tous les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne par 4, donnent un quotient ´egal `a au reste.

Solution:

Soit aun entier qui v´erifie la condition de l’´enonc´e.

On divisea par 4, on a alors :a= 4q+r avec 06r <4.

Commeq =r, on aa= 5r avec 06r <4.

On a alors l’ensemble solution S={0; 5; 10; 15}.

Exercice 3 : ´Equation (10 minutes) (4 points)

Soit l’´equation (E) : xy+ 2x−3y= 27.

1. D´evelopper (x−3)(y+ 2)

2. D´eterminer les couples d’enters naturels (x;y) qui v´erifient (E).

Solution:

1. (x−3)(y+ 2) =xy+ 2x−3y−6 ;

2. (E)⇔xy+ 2x−3y−6 = 21⇔(x−3)(y+ 2) = 21.

x et y sont des entiers naturel donc x −3 > −3 et y+ 2 > 2. On obtient les d´ecompositions suivantes :

(x−3 = 1

y+ 2 = 21 ou

(x−3 = 3 y+ 2 = 7 ou

(x−3 = 7 y+ 2 = 3 ⇔

(x= 4

y= 19 ou

(x= 6 y= 5 ou

(x= 10 y = 1 . Les couples solutions sont donc (4; 19), (6; 5) et (10; 1)

Exercice 4 : Divisibilit´e (15 minutes) (5 points)

1. Soitk un entier naturel. On posea= 2k+ 3 etb= 5k+ 7.

(a) D´emontrer que, siddiviseaetbalors ddivise 1 ; (b) Que peut-on en d´eduire sur aetb?

2. La fraction 5n+ 7

2n+ 3,n∈N, peut-elle ˆetre ´egale `a un entier ?

TS9 DS 1 Page 2 sur 2 Solution:

1. Siddiviseaetbalors ddivise 5a−5b= 15−14 = 1.

2. On en d´eduit queaetb sont premiers entre eux.

3. La fraction 5n+ 7

2n+ 3,n∈Zest un entier si 2n+ 3 est ´egal `a 1 ou−1 (car les 5n+ 7 et 2n+ 3 sont premiers entre eux).

2n+ 3 = 1⇔n=−1 et 2n+ 3 =−1⇔n=−2. La fraction peut ˆetre ´egale `a un entier sin=−1 et sin=−2 (elle vaut 3). Ornest un entier. La fraction est donc irr´eductible.

Exercice 5 : R´ecurrence et divisibilit´e par 7 (15 minutes) (6 points) 1. (a) Soitn∈N, d´emontrer par r´ecurrence que 8 divise 3²ⁿ−1.

(b) En d´eduire que 3²ⁿ⁺¹−3 est un multiple de 8.

On admet dans la suite que pour tout entier naturel n, 8 divise 5⁴ⁿ⁺¹−5

2. D´emontrer que pout tout entier naturel n, 3²ⁿ⁺¹+ 5⁴ⁿ⁺¹ est divisible par 8.

Solution:

1. (a) Pour tout entiern, on d´efinit P(n) : 3²ⁿ−1 est un multiple de 8. Initialisation : Pour n= 0, 3⁰−1 = 0 donc 3ⁿ−1 est un multiple de 8.

H´er´edit´e : Soitn un entier tel queP(n) est vraie.

Il existe donc un entier k k tel que 3²ⁿ−1 = 8k.

Donc 3²⁽ⁿ⁺¹⁾−9 = 3×8k.

Donc 3²⁽ⁿ⁺¹⁾−1 = 8×3k+ 8 = 8×(3k+ 8).

Donc P(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Pour tout entier n,P(n) est vraie.

(b) Soitnun entier, il existe donc ktel que 3²ⁿ−1 = 8kdonc 3²ⁿ⁺¹−3 = 3×8kdonc 3²ⁿ⁺¹−3 est un multiple de 8.

2. Soit n ∈N, en utilisant les propri´et´es ci-dessus, il existe un entier k tel que 3²ⁿ−3 = 8k et un entier k⁰ tel que 5⁴ⁿ⁺¹−5 = 8k⁰;

donc 3²ⁿ⁺¹+ 5⁴ⁿ⁺¹ = 8k+ 8k⁰+ 8 = 8(k+k⁰+ 1), ce qui d´emontre la propri´et´e.