Terminale S
calculatrice autorisée
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Datation des vins par radioactivité (20 points)
1. Production du césium 137 (10 points)
1.1. On dit des noyaux qu’ils sont isotopes lorsqu’ils possèdent même nombre de proton mais des nombres de neutrons différents (0,5).
1.2. Une réaction nucléaire de fission est une réaction au cours de laquelle un noyau lourd (contenant beaucoup de nucléons) est scindé en des noyaux plus légers (contenant peu de nucléons) (0,5).
1.3. 23592U + 10n → 13753I + Y + x n 97Z 10
1.3.1. Utilisons les lois de Soddy, au cours d’une transformation nucléaire, il y a conservation :
- du nombre de nucléons (0,5) : 235 + 1 = 137 + 97 + 1.x donc x = 235 + 1 – 137 – 97 = 2 (0,5) ; - du nombre de charges (0,5) : 92 + 0 = 53 + Z + x×0 donc Z = 92 – 53 = 39 (0,5).
1.3.2. Cette réaction de fission peut donner une réaction en chaine car les neutrons produits peuvent à leur tour engendrer la fission de nouveaux noyaux d’uranium 235, ce qui produira de nouveaux neutrons et ainsi de suite (0,5).
1.3.3. L’expression de la variation de masse ∆m du système au cours de cette réaction est : ∆m = map – mav
∆m = map – mav = m(13753I) + m(97ZY) + 2.m(10n) – m(23592U) – m(10n) = m(13753I) + m(97ZY) + m(10n) – m(23592U) (0,5) A.N. : ∆m = 136,917877 + 96,918129 + 1,00866 – 235,043930 = – 0,19926 u (5 décimales) (0,5).
∆m = – 0,19926×1,66054×10–27 = – 3,3089.10–28 kg (5 C.S.) (0,5).
Le signe négatif montre que le système perd de la masse : la perte de masse est donc Pm = – ∆m soit 0,19926 u ou 3,3089.10–28 kg (rappel : il faut privilégier la notation ∆m (variation) pour map – mav). Énoncé ambiguë.
1.3.4. D’après la relation d’Einstein E = m.c2 (0,5), la variation d’énergie au cours de la fission d’un noyau d’uranium 235 est ∆E = ∆m.c2. Ainsi afin de donner une valeur la plus précise possible nous utiliserons la valeur de ∆m en u : ∆E = – 0,19926×931,5 = – 185,6 MeV (0,5) et donc ∆E = – 2,97.10–11 J (0,5).
L’énergie libérée au cours de la fission d’un noyau d’uranium 235 est de 185,6 MeV ou 2,97.10–11 J.
Rem. : en utilisant la relation d’Einstein et la valeur de c proposé on obtient :
∆E = – 3,3089.10–28×(3,00.108)2 = – 2,98.10–11 J et donc – 186 MeV.
1.4. La particule émise lors d’une désintégration β– est l’électron (0,5) de symbole −10e (0,5). Le nombre de désintégration β– correspond au nombre d’électrons produits pour passer de l’iode 137 au césium 137 :
13753I → Cs + x e soit, d’après la conservation du nombre de charge : 53 = 55 + x×(–1) = 55 – x donc x = 55 – 53 = 2 : deux désintégration β– sont donc nécessaire (1 avec justification).
13755 0
−1
1.5. Au niveau des particules : un neutron se transforme en proton en émettant un électron 10n→ p + e (0,5). 11 −10 1.6. La radioactivité β+ concerne les noyaux ayant trop de protons : un proton se transforme spontanément en
neutron avec émission d’un position 01e : 11p→ n + e (0,5). 10 10
La radioactivité α concerne les noyaux ayant à la fois trop de protons et de neutrons (trop lourds) qui émettent alors un noyau d’hélium 4 ou particule α en se transformant en un noyau différent (0,5)
2. Vérifier un millésime grâce au césium 137 (10 points) 2.1.1. Il s’agit d’un rayonnement γ (0,5).
2.2. La loi de décroissance radioactive N(t) = N0.e–λ.t (0,5) où N0 représente le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant initial (pour t = 0), N(t), le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant t, λ, la constante radioactive en s–1 et t la durée t en s (0,5).
2.3. Le « temps de demi-vie » t1/2 est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs initialement présents est divisé par 2 (0,5).
2.4. D’après la définition précédente : N(t1/2) = N0
2 = N0.e–λ.t1/2 soit e–λ.t1/2 = 1
2 ⇔ ln e–λ.t1/2 = ln 1
2 soit λ.t1/2 = ln2 et finalement λ = ln 2
t1/2
(1,5)
2.5. L’activité représente l’opposé de la variation temporelle du nombre de noyau : A(t) = – dN(t) dt (0,5).
2.6. A(t) = – dN(t) dt = – d
dt(N0.e–λ.t) = – N0.d
dt(e–λ.t) = – N0×(–λ)×e–λ.t = λ×N0×e–λ.t = λ×N(t) (2).
Terminale S Page 2 sur 2 2.7. A(2010) = ln 2
t1/2
×N(2010) donc N(2010) = A(2010)×t1/2
ln 2. A.N. : N(2010) = 30×365,25×24×3600
ln 2 ×278.10–3 et donc N(2010) = 3,8.108 noyaux par litre de vin (3,80.108 noyaux) (1)
2.8. En appliquant la loi de décroissance radioactive à l’activité : A(2010) = A0(2000).e–λ.t = A0(2000).𝑒−𝑙𝑛2.𝑡1/2𝑡 donc pour t = 10 ans (2010 – 2000) et t1/2 = 30 ans, il vient : A(2010) = A0(2000).𝑒−𝑙𝑛2.1030 = A0(2000).𝑒−𝑙𝑛2.13 donc A0(2000) = 𝐴(2010)
𝑒−�𝑙𝑛23 � (1) 2.9. A0(2000) = 278
𝑒−�𝑙𝑛23 �
= 278
0,7937 = 350 mBq (0,5)
2.10. D’après la courbe du document 1, les millésimes possibles de ce vin sont, soit 1955, 1960-1961 ou 1962 aux erreurs expérimentales près ou bien encore 1964 (0,5).
Rem. : sur le document 1, on peut remarquer un pic en 1986, date de l’explosion de la centrale de Tchernobyl.
L’acheteur peut donc être rassuré sur l’authenticité de son vin puisque 1955 est une année possible et qu’un fraudeur aurait choisi un vin récent (peu cher) s’il avait voulu arnaquer l’acheteur (0,5).
2.11. On ne peut pas utiliser cette technique pour authentifier un vin trop jeune ou trop vieux car l’activité due au césium 137 est trop faible et donc non représentative (0,5). En effet avant 1945, il n’y avait pas d’essais nucléaires atmosphériques (donc pas de césium 137) et après 1990 les essais nucléaires atmosphériques ayant été arrêtés, la quantité de césium 137 dans l’atmosphère s’est fortement atténuée : les raisins servant à la vinification n’ont donc quasiment plus de césium 137.
Document 1 :
Évolution du de l’activité en césium 137 pour les vins de la région de Bordeaux de l’âge compris entre 1950 et nos jours (mesures faites en 2000). Les mesures de l’activité s’expriment en mBq par litre de vin.
Par exemple, l’activité mesurée en 2000, d’un litre de vin de 1960 et de 375 mBq. 350
