Le processus ponctuel de Poisson

C ^{AHIERS DU} B ^URO

M ^AURICE G ^IRAULT

Le processus ponctuel de Poisson

Cahiers du Bureau universitaire de recherche opérationnelle.

Série Recherche, tome 5 (1964), p. 3-16

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© Institut Henri Poincaré — Institut de statistique de l’université de Paris, 1964, tous droits réservés.

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LE PROCESSUS PONCTUEL DE POISSON

par

Maurice GIRAULT

1/ Quelques généralités sur les Processus aléatoires.

Le C a l c u l d e s P r o b a b i l i t é s étudie d e s é l é m e n t s a l é a t o i r e s à un n o m b r e r e s t r e i n t de d i m e n s i o n s : u n e , deux . . . . C e s m o d è l e s , i s s u s du c a l c u l c l a s s i q u e d e s p r o b a b i l i t é s ne p e r m e t t e n t p a s d ' é t u d i e r c e r t a i n s p h é n o m è n e s c o u r a n t s t e l s que l ' é v o l u t i o n a l é a t o i r e d'un s y s t è m e au c o u r s du t e m p s .

Exemple 1 : M a g a s i n de v e n t e - é v o l u t i o n du n o m b r e de c l i e n t s p r é - s e n t s dans l e m a g a s i n au c o u r s d'une j o u r n é e .

Exemple 2 : D é b i t s d'un f l e u v e au c o u r s d'une a n n é e .

D a n s c h a c u n de c e s c a s , on e s t en p r é s e n c e d'un système qui é v o l u e dans l e t e m p s d'une m a n i è r e a l é a t o i r e ; c e qui veut d i r e que l e s y s t è m e est, à chaque instant dans un certain état et que l a s u i t e d e s états p r i s par l e s y s t è m e et r e p é r é s s u r une é c h e l l e d e s t e m p s ( c h r o n i q u e ) e s t d é c r i t e p a r une l o i de p r o b a b i l i t é . L e s m o d è l e s a s s o c i é s à d e t e l s p h é n o m è n e s sont d i t s processus aléatoires.

La d é f i n i t i o n en p r o b a b i l i t é et l ' é t u d e de c e s m o d è l e s s e heu rte nt à de n o m b r e u s e s et t r è s s é r i e u s e s d i f f i c u l t é s à l a f o i s t h é o r i q u e s et p r a t i q u e s .

R e p r e n o n s l ' e x e m p l e 2 . Soit X ( t ) l e d é b i t à l ' é p o q u e t ( â g e du p r o c e s s u s ) . P o u r c h a q u e v a l e u r de t : X ( t ) e s t une v a r i a b l e a l é a t o i r e o r d i n a i r e . M a i s p u i s q u ' o n s ' i n t é r e s s e e s s e n t i e l l e m e n t à V évolution du s y s t è m e , i l faut p o u r tout e n s e m b l e tx t2 . . . tn

d ' i n s t a n t s c o n n a i t r e la l o i de l ' e n s e m b l e a l é a t o i r e à n d i m e n s i o n s : X(tx) = x , , X ( t2) = x2 X ( tn) = xn

c ' e s t - à - d i r e s e d o n n e r l a f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n :

txt2. . . tn

et c e l a n o n s e u l e m e n t p o u r t o u t e s l e s v a l e u r s p o s s i b l e s d e

t^x. t² tⁿ

m a i s e n c o r e p o u r un n o m b r e n a r b i t r a i r e m e n t grand d e p a r a m è t r e s . On dit q u e l a f a m i l l e d e s f o n c t i o n s d e r é p a r t i t i o n

Ftlt2 " * * „

xlx2 " * xn

( p o u r toute v a l e u r d e n et d e tx t2 . . . tn définit l a l o i tempo- relle du p r o c e s s u s . L e s d o n n é e s sont n o m b r e u s e s et l e s e n s e m b l e s a l é a t o i r e s a i n s i d é f i n i s peuvent s e m b l e r t r è s r i c h e s . P o u r t a n t l a l o i t e m p o r e l l e ne définit p a s en p r o b a b i l i t é l a f o n c t i o n a l é a t o i r e X ( t )

(où t p r e n d s e s v a l e u r s s u r un continu). E n effet l e s i m p l e é v é n e - m e n t X ( t ) < h p o u r t E [ t0, t i ] ( i n t e r v a l l e continu) n ' e s t p a s , dans l ' o p t i q u e p r é c é d e n t e , p r o b a b i l i s a b l e . C e l a veut d i r e q u ' à p a r t i r d e s é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s c o n s i d é r é s :

X ( t i ) < x1 ; X ( t2) x2 ; e t c .

et e n appliquant l e s opérations permises du c a l c u l d e s p r o b a b i l i t é s , on ne peut p a s a t t e i n d r e ( o u e x p r i m e r ) l ' é v é n e m e n t X ( t ) < h i n - t e r s e c t i o n d'une infinité continue d ' é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s .

2/ Quelques définitions.

D e s d i s t i n c t i o n s peuvent ê t r e f a i t e s s e l o n l a n a t u r e d e l ' e n s e m - b l e E d e s états p o s s i b l e s et s e l o n l e s p o s s i b i l i t é s d e c h a n g e m e n t d ' é t a t .

a) L ' e n s e m b l e E peut ê t r e fini, infini d é n o m b r a b l e ou c o n t i n u . b) O n peut d ' a u t r e part c o n s i d é r e r l ' e n s e m b l e % d e s instants q u i , à p r i o r i , sont d e s instants p o s s i b l e s d e c h a n g e m e n t d ' é t a t .

b . 1 - Si % e s t d i s c r e t (fini ou d é n o m b r a b l e ) on dit que l e p r o c e s s u s e s t discret.

Exemple 3 : C a s d e m a r c h a n d i s e s r e ç u e s et e x p é d i é e s p a r c o n v o i s à d e s d a t e s f i x é e s d ' a v a n c e : l e s q u a n t i t é s t r a n s p o r t é e s sont a l é a - t o i r e s , l e s d a t e s ne l e sont p a s ,

b , 2 - Si <S e s t un s e g m e n t ou une d e m i - d r o i t e de l ' a x e d e s t e m p s , l e p r o c e s s u s e s t dit permanent ( c a s de l ' e x e m p l e 2 d i s - c u t é c i - d e s s u s ) .

P o u r c e r t a i n e s a p p l i c a t i o n s , o n peut s e l i m i t e r au c a s où E e s t fini, l e p r o c e s s u s étant p a r a i l l e u r s s o i t discret s o i t permanent et continu en probabilité.

On dit q u ' u n p r o c e s s u s ( p e r m a n e n t ) e s t continu en p r o b a b i l i t é s i : ( P r o b ( E( t + h, f Et) ) tend v e r s 0 en m ê m e t e m p s que h,

L a s u c c e s s i o n d e s instants ( a l é a t o i r e s ) o ù s e p r o d u i t un c h a n - g e m e n t d ' é t a t c o n s t i t u e un processus ponctuel.

3 / Processus ponctuels.

O n s u p p o s e q u ' u n é v é n e m e n t instantané peut ou non s e p r o - d u i r e à c h a q u e instant. T o u t e r é a l i s a t i o n d'un t e l p r o c e s s u s e s t d é - c r i t e p a r une suite de points Px P2 . . . Pn s u r l ' a x e d e s t e m p s , d ' o ù l e n o m de processus ponctuel.

Exemples : S u c c e s s i o n d e s instants où a r r i v e un c a m i o n à un p o s t e de c h a r g e m e n t ; s u c c e s s i o n d e s " a c c i d e n t s " ( r e p é r é s p a r l e u r s d a t e s ) dans une u s i n e , d e s instants d e d é b u t s de p a n n e s d'un e n s e m b l e de m a c h i n e s . . . E n f i n : suite d e s i n s t a n t s de c h a n g e m e n t d ' é t a t d'un p r o c e s s u s p e r m a n e n t , continu en p r o b a b i l i t é et à un n o m b r e fini (ou d é n o m b r a b l e ) d ' é t a t s .

3 . 1 - D E F I N I T I O N E N P R O B A B I L I T E D ' U N P R O C E S S U S P O N C T U E L Soit un e n s e m b l e d ' i n t e r v a l l e s d i s j o i n t s (t[ t " ) ; (tj tf 2') . . . (t^ t'J) et N^x N² . . . N^k l e s n o m b r e s a l é a t o i r e s d ' é v é n e m e n t s qui s e p r o d u i s e n t dans c e s i n t e r v a l l e s . P o u r d é f i n i r en p r o b a b i l i t é l e p r o c e s s u s p o n c t u e l i l faut p a r e x e m p l e s e d o n n e r , p o u r toute v a l e u r de k et en f o n c t i o n de

t \ t" ; t2 t2' . . . t'k t" la f o n c t i o n de r é p a r t i t i o n de l ' e n s e m b l e a l é a t o i r e ( N^{X J} N² . . . , N^k) n o m b r e s d ' é v é n e m e n t s qui s e p r o d u i s e n t dans l e s i n t e r v a l l e s c o n s i d é r é s .

On peut s o n g e r à d ' a u t r e s p r o c é d é s p o u r d é f i n i r en p r o b a - b i l i t é un p r o c e s s u s p o n c t u e l : par e x e m p l e : d é f i n i r l e s i n t e r v a l l e s a l é a t o i r e s s u c c e s s i f s JJ^l9 U² . . . Uⁿ p a r l e u r d i s t r i b u t i o n où

U^x = P⁰ P¹ U² = P^x P² e t c .

Le système fondamental de l o i s de p r o b a b i l i t é s e r a i t a l o r s l e suivant :

l o i de U^{1 #}

l o i c o n d i t i o n n e l l e de U2 s i V1 = u1 #

l o i c o n d i t i o n n e l l e de U³ s i Ui = U i et U² = u². e t c . .

Un t e l p r o c e s s u s e s t b e a u c o u p t r o p g é n é r a l p o u r s e r v i r de m o d è l e dans une étude p r a t i q u e . Il faut p o u v o i r estimer a v e c a s s e z de p r é c i s i o n l e s p a r a m è t r e s du m o d è l e et, p o u r c e l a , i l s n e d o i v e n t p a s ê t r e t r o p n o m b r e u x . On obtient un c a s p a r t i c u l i e r t r è s r e m a r - q u a b l e en p o s a n t deux c o n d i t i o n s que n o u s a l l o n s p r é c i s e r .

4 / Les axiomes du processus ponctuel de Poisson.

4 . 1 - A X I O M E A ; A X I O M E D ' I N D E P E N D A N C E

E n adoptant l e s c h é m a de d é f i n i t i o n ( 3 . 1) o n p o s e p a r h y p o - t h è s e que l e s n o m b r e s a l é a t o i r e s Nx, N2 . . . Nk sont m u t u e l l e m e n t indépendants en probabilités. A u l i e u de s e d o n n e r l ' e n s e m b l e d e s l o i s c o n s i d é r é e s en 3 . 1 , i l suffit de s e d o n n e r l a l o i de N ( t ' , t " ) n o m - b r e a l é a t o i r e d ' é v é n e m e n t s qui s e p r o d u i s e n t s u r l ' i n t e r v a l l e ( f , t " ) et c e l a , b i e n entendu en f o n c t i o n de t' et de t".

4 . 2 - A X I O M E B ; A X I O M E D ' U N I F O R M I T E

O n p o s e p a r h y p o t h è s e que l a l o i de ( N^x, N² N^k) r e s t e i n c h a n g é e s i l e s 2k v a l e u r s t'j. t'i ; t'2 t'2 . . . t'k t'k' sont t o u t e s a u g m e n t é e s d'une m ê m e quantité. Si l ' a x i o m e A e s t r é a l i s é , i l suffit de s e d o n n e r une . s e u l e f a m i l l e de l o i s , dépendant d'un s e u l p a r a m è t r e : l a l o i de p r o b a b i l i t é de N , n o m b r e d ' é v é n e m e n t s qui s e p r o d u i s e n t s u r ( t ' , t " ) en f o n c t i o n de h = t" - t'.

C e t t e f a m i l l e de l o i s , c o m m e n o u s a l l o n s l e v o i r , n ' e s t p a s a r b i t r a i r e .

4 . 3 - L O I D E L ' I N T E R V A L L E A L E A T O I R E S E P A R A N T D E U X E V E - N E M E N T S C O N S E C U T I F S

Soit tout d ' a b o r d pQ l a p r o b a b i l i t é q u ' a u c u n é v é n e m e n t ne s e p r o d u i s e e n t r e l e s i n s t a n t s t et t + h. D ' a p r è s l ' a x i o m e A , c e t t e p r o b a b i l i t é e s t indépendante d e s r é a l i s a t i o n s en d e h o r s de (t, t + h) et ne d é p e n d que de t et de h. D e p l u s , en v e r t u de l ' a x i o m e B e l l e e s t indépendante de t. C ' e s t f i n a l e m e n t une f o n c - t i o n de l a s e u l e v a r i a b l e h : s o i t p0( h ) .

C o n s i d é r o n s a l o r s d e u x i n t e r v a l l e s c o n s é c u t i f s I et J s é - p a r é s p a r l e s i n s t a n t s t, (t + h) et (t + h + k)

P r o b . { 0 s u r I U J } * = P r o b . { 0 s u r I } • P r o b . { 0 s u r J }

p0 (h + k) = P o( h ) • p0( k ) (1)

C e t t e r e l a t i o n (1) e s t c a r a c t é r i s t i q u e de l a f o n c t i o n e x p o n e n - t i e l l e .

O n a d o n c

Po ( h ) = e -c h

où

c | 0 p u i s q u e p⁰< 1

* On note ainsi la probabilité qu'aucun événement ne se produise sur l'intervalle I U J.

Soient Ei et Ei + 1 deux é v é n e m e n t s c o n s é c u t i f s , s é p a r é s p a r l a d u r é e a l é a t o i r e 9 ,

i r Û ^ x i P r o b . a u c u n é v é n e m e n t c t

P r o b ( t f > t } = . . „ ,, «... , . = ecx

| s u r i n t e r v a l l e d ' a m p l i t u d e t

1 - F ( t ) s i F ( t ) e s t l a f o n c t i o n de r é p a r t i t i o n d e s i n t e r - v a l l e s 9

f i n a l e m e n t F ( t ) = 1 - e "c t (2)

l o i é l é m e n t a i r e f(t) dt = e "^{c t} c d t (3)

Conclusion : 9 , i n t e r v a l l e a l é a t o i r e s é p a r a n t deux é v é n e m e n t s s u c - c e s s i f s o b é i t à la l o i e x p o n e n t i e l l e (3) ou l o i g a m m a ( n o t é e y¹) .

V a l e u r m o y e n n e : E ( 9 ) = i (ou p é r i o d e m o y e n n e d e s é v é - n e m e n t s ) , c r e p r é s e n t e l a fréquence moyenne (ou d e n s i t é m o y e n n e s u r l ' a x e d e s t e m p s ) .

E n p o s a n t c 9 = U on o b t i e n t la f o r m e r é d u i t e de l a l o i Yi.

L ' e x p r e s s i o n é l é m e n t a i r e de U e s t :

f^x( u ) du = e -^u du

E n v e r t u de l ' a x i o m e A : l e s i n t e r v a l l e s a l é a t o i r e s s u c c e s - s i f s Q^l9 9² . . . sont m u t u e l l e m e n t i n d é p e n d a n t s en p r o b a b i l i t é . On a d o n c a i n s i défini en p r o b a b i l i t é l e p r o c e s s u s de P o i s s o n .

4. 4 - L E S LOIS E U L E R I E N N E S D E P R O B A B I L I T E

L e s i n t é g r a l e s e u l é r i e n n e s peuvent s e r v i r à d é f i n i r d e s l o i s de p r o b a b i l i t é :

F ( a ) = J^o e "^u ( u )⁸"¹ du e s t une f o n c t i o n de a d é f i n i e p o u r a > 0 e l l e e s t dite "gamma de a" ou f o n c t i o n e u l é r i e n n e de 2 e e s p è c e .

Si a e s t e n t i e r s o i t m , o n a r ( m ) = m - 1 l

d ' o ù

e"u u8"1

e s t , p o u r a > 0 une f o n c t i o n p o s i t i v e a b s o l u m e n t i n t e g r a b l e de 0 à + °°, l ' i n t é g r a l e s u r c e t i n t e r v a l l e vaut 1

a > 0

d o n c fa( u ) du p o u r u > Q es* l ' e x p r e s s i o n é l é m e n t a i r e d'une l o i de p r o b a b i l i t é . C e t t e l o i e s t dite "loi gamma de paramètre a" et e s t n o t é e Y ( a ) . C e t t e f a m i l l e de l o i s a d e s p r o p r i é t é s r e m a r q u a b l e s , é t r o i t e m e n t l i é e s aux p r o p r i é t é s de l ' i n t é g r a l e e u l é r i e n n e de 2e e s p è c e . C e s p r o p r i é t é s s ' i n t e r p r è t e n t f a c i l e m e n t à l ' a i d e du p r o - c e s s u s de P o i s s o n .

4 . 4 . 1 - L o i de " s u r v i e " d'un i n t e r v a l l e de t y p e Y^{1 #} Soit A un point d o n n é s u r l ' a x e d e s t e m p s ;

Ei l ' i n s t a n t où s e p r o d u i t l e d e r n i e r é v é n e m e n t avant A

E^{i + 1} " " p r e m i e r " a p r è s A

Soit U l a d u r é e a l é a t o i r e E j E^{j + 1} de l o i Y i ( p o u r j q u e l - c o n q u e ) s o i t V l a d u r é e a l é a t o i r e A E^{i + 1} : V o b é i t à l a m ê m e l o i Yi que U.

E n effet, on peut r e p r e n d r e , en l ' a p p l i q u a n t à V l e r a i - s o n n e m e n t que n o u s a v o n s a p p l i q u é en 4 . 3 à U. C e t t e p r o p r i é t é e s t une c o n s é q u e n c e de l ' a x i o m e A .

4. 4 . 2 - L o i d e l ' i n t e r v a l l e s é p a r a n t (k + 1) é v é n e m e n t s c o n s é c u t i f s .

» i » »

t e m p s

L a d u r é e qui s é p a r e E^{n + k} de Eⁿ e s t l a s o m m e de k i n ­ t e r v a l l e s E^s E^{s + 1} ( p o u r s = n, n + 1 . . . , n + k - 1) c e u x - c i sont i n d é p e n d a n t s en p r o b a b i l i t é ( a x i o m e A ) et o b é i s s e n t à l a l o i Y x . On d é m o n t r e s a n s d i f f i c u l t é ( s o i t p a r l e s f o n c t i o n s de r é p a r ­ t i t i o n , s o i t p a r l e s f o n c t i o n s c a r a c t é r i s t i q u e s ) que En En+k - X o b é i t à l a l o i Yk d ' e x p r e s s i o n é l é m e n t a i r e .

e- x xk - i

f, (x) dx = dx k - 1 :

s a f o n c t i o n c a r a c t é r i s t i q u e e s t 9 = (1 - it)"^k E ( X ) = k v a r i a n c e X = k

Si l a " d e n s i t é " du p r o c e s s u s e s t c ( f r é q u e n c e m o y e n n e ) l a l o i de Y = En En + k e s t

f^k (y) d y = ^{CX\ c d x k — 1 l

et E ( X ) = c k v a r i a n c e X = c²k

4 . 5 - L O I D E P R O B A B I L I T E DU N O M B R E D ' E V E N E M E N T S SE P R O D U I S A N T D A N S UN I N T E R V A L L E D E T E M P S D O N N E Soit l ' i n t e r v a l l e A B = T . D é s i g n o n s p a r P^k l a p r o b a b i ­ l i t é q u ' i l s e p r o d u i s e k é v é n e m e n t s e x a c t e m e n t s u r A B et p a r

n^k = P^k + P^{k + 1} + . . . c e l l e q u ' i l s ' e n p r o d u i s e k au m o i n s .

L a d u r é e A E^k = v + u² + . . . + u^k o b é i t à l a l o i y^k r^J (et) ^k'¹

7ik = P r o b . { ( tk - t ) < T } = I e -c t t c d t

0 K — 1 ,

J

. (^E"^UF = T : " e" " k~T ) d u

en i n t é g r a n t p a r p a r t i e s l e p r e m i e r t e r m e , on obtient a p r è s s i m - p l i f i c a t i o n :

» •

C ' e s t l a loi de Poisson de p a r a m è t r e c T .

5 / Lois associées au processus de Poisson.

L e s lois eulériennes de p r o b a b i l i t é sont é t r o i t e m e n t a s s o c i é e s au p r o c e s s u s p o n c t u e l u n i f o r m e . L e u r s p r o p r i é t é s sont des c o n s é - q u e n c e s d e s a x i o m e s A et B .

5. 1 - L O I S G A M M A

On d é s i g n e p a r y a la l o i de l a v a r i a b l e a l é a t o i r e X p o s i - t i v e , c o n t i n u e . L ' e x p r e s s i o n é l é m e n t a i r e de c e t t e l o i e s t :

w \ a ^e"x x3"1 d x

f(x) dx = — I a

et s a f o n c t i o n c a r a c t é r i s t i q u e e s t cp(t) = (1 - i t ) "a

L e p a r a m è t r e a e s t p o s i t i f . Si a e s t e n t i e r , s o i t a = k , l a l o i c o r r e s p o n d a n t e e s t c e l l e de l ' i n t e r v a l l e s é p a r a n t (k + 1) é v é n e m e n t s s u c c e s s i f s . L a p r o p r i é t é d ' a d d i t i v i t é de c e s l o i s e s t une c o n s é q u e n c e d e s a x i o m e s A et B .

On peut i n t r o d u i r e un s e c o n d p a r a m è t r e ( p a r a m è t r e d ' é c h e l l e ) . Y (a, p) e s t l a l o i d ' e x p r e s s i o n é l é m e n t a i r e :

f(x) dx = e -p x ( p x ) a"¹ p dx a - 1 :

C ' e s t l a l o i de Eⁿ E^{n + k} l o r s q u e l e p r o c e s s u s a p o u r f r é q u e n c e m o y e n n e p .

5 . 2 - L O I S B E T A

( 3^x( a , b ) e s t l a l o i de U d ' e x p r e s s i o n é l é m e n t a i r e u3"1 (li - u )6"1

f(u) du = ^{— = T 7} r r * — du a v e c / ⁰ < u < ¹ B ( a , b ) l - =

< a > 0 ( b > 0 Eⁿ E ^{n + a}

C ' e s t l a l o i du r a p p o r t a v e c a et b e n t i e r s Eⁿ E^{n + a + b}

p o s i t i f s .

j3² ( a , b ) e s t l a l o i d e V d ' e x p r e s s i o n é l é m e n t a i r e

g ( v ) dv =

B^Tbj" ( i

+ V

En En + a

C ' e s t l a l o i du r a p p o r t ——— a v e c a et b e n t i e r s

^ ( i i m+b

p o s i t i f s ; l e s s e g m e n t s a l é a t o i r e s En En + a et Em Em + b étant d i s ­ j o i n t s ( d o n c i n d é p e n d a n t s en p r o b a b i l i t é ) .

5 . 3 - L I E N A V E C L A S T A T I S T I Q U E

L a l o i Y e s t c e l l e du X² é t u d i é e en s t a t i s t i q u e m a t h é m a ­ t i q u e .

Si Z o b é i t à l a l o i du y2 Z % / k \

à k d e g r é s de l i b e r t é 2 ^{a Y}V

L e s l o i s de Student et de B e h r e n s F i s h e r sont d e s l o i s | 32. Si (rl9 r2) e s t un c o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s i n d é p e n ­ d a n t e s t e l l e s q u e

rl o b é i t à l a l o i du ' X² à n^x d é g r é s de l i b e r t é

r² n²

l e r a p p o r t t = ^ri / ^ j j j i o b é i t à la l o i dite de " B e h r e n s F i s h e r " à r² /yfir²

n1 et n2 d é g r é s de l i b e r t é et t * ^ - o b é i t à p2 ( f , ^ >

6 / EXTENSION. Processus non uniforme.

D a n s l e m o d è l e initial, à c h a q u e i n t e r v a l l e é l é m e n t a i r e de t e m p s (t, t + dt) l a p r o b a b i l i t é qu'un é v é n e m e n t au m o i n s s e p r o - d u i s e e s t c dt o ù c e s t une c o n s t a n t e , c s e p r é s e n t e c o m m e une densité (nous a l l o n s p r é c i s e r de q u o i ) , e l l e e s t i c i constante.

O n o b t i e n t un m o d è l e plus g é n é r a l en s u p p o s a n t c e t t e d e n s i t é v a - r i a b l e a v e c t. O n peut g é n é r a l i s e r d a v a n t a g e en ne s u p p o s a n t p a s l ' e x i s t e n c e de c e t t e d e n s i t é en c h a q u e instant.

6 . 1 - D E S C R I P T I O N D ' U N P R O C E S S U S NON U N I F O R M E D E POISSON L a m a n i è r e l a p l u s s i m p l e de d é c r i r e un p r o c e s s u s n o n u n i - f o r m e c o n s i s t e à e f f e c t u e r un c h a n g e m e n t d ' h o r l o g e à p a r t i r d'un p r o c e s s u s u n i f o r m e :

Soit s u r l ' a x e Ou un p r o c e s s u s u n i f o r m e de d e n s i t é 1. ( c e qui s i g n i f i e que s u r un i n t e r v a l l e (u^Q, u^x) l e n o m b r e a l é a t o i r e d ' é v é n e m e n t s ( M ) a p o u r v a l e u r m o y e n n e ( U i - u0) : il o b é i t à l a l o i de P o i s s o n de p a r a m è t r e ( ux - u0) .

D é f i n i s s o n s un c h a n g e m e n t d ' é c h e l l e p a r l a d o n n é e d'une f o n c - t i o n u(t) m o n o t o n e c r o i s s a n t e d é f i n i s s a n t une a p p l i c a t i o n M< > P b i u n i v o q u e et b i c o n t i n u e .

M E (Ou) ; P E (Ot)

A une r é a l i s a t i o n (Mx, M2, M3 . . . ) du p r o c e s s u s s u r Ou e s t a s s o c i é e une r é a l i s a t i o n ( P^x, P², P³ . . . ) d'un p r o c e s s u s p o n c - t u e l s u r ( O t ) . C e d e r n i e r p r o c e s s u s o b é i t à l ' a x i o m e A d ' i n d é - p e n d a n c e , m a i s n o n à l ' a x i o m e B : on dit que c ' e s t un processus

non uniforme de Poisson.

S o i un i n t e r v a l l e ( t^x, t²) l e n o m b r e d ' é v é n e m e n t s ( P ) qui s e r é a l i s e n t dans c e t i n t e r v a l l e e s t é g a l au n o m b r e de c e u x ( M ) qui s e r é a l i s e n t s u r l ' i n t e r v a l l e ( ul f u2) : c e n o m b r e o b é i t à l a l o i de P o i s s o n de p a r a m è t r e u2 - ux s o i t :

6 . 2 - D I S T R I B U T I O N D E S V A R I A N C E S

E n d é f i n i t i v e un p r o c e s s u s p o n c t u e l d e P o i s s o n s u r un a x e (0, t) e s t c a r a c t é r i s é p a r l a p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

a) Sur tout i n t e r v a l l e : ( tx t2) l e n o m b r e a l é a t o i r e d ' é v é n e - m e n t s N ( t^x, t²) o b é i t à une l o i de P o i s s o n dont l e p a r a m è t r e e s t f o n c t i o n de t^x et de t² s o i t v ( t^x, t²)

b) Sur d e u x i n t e r v a l l e s d i s j o i n t s c e s n o m b r e s a l é a t o i r e s sont i n d é p e n d a n t s en p r o b a b i l i t é .

O r l e p a r a m è t r e v(tl9 t2) qui c a r a c t é r i s e c o m p l è t e m e n t la l o i d e p r o b a b i l i t é de N ( tx, t2) e s t une variance :

v ( t ' , t" ) e s t une f o n c t i o n positive, additive d ' i n t e r v a l l e s ( f , t " ) . C ' e s t d o n c une mesure. C e t t e m e s u r e e s t d é f i n i e p a r l a d o n n é e de s a " f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n " :

F ( t ) = v ( 0 , t ) d o n c :

v(t¹ t²) = F ( t²) - F(tx)

L a f o n c t i o n u(t) de 6 . 1 e s t une f o n c t i o n F ( t ) . E l l e c o r r e s - pond au c a s où F ( t ) e s t s t r i c t e m e n t c r o i s s a n t e .

L a f o n c t i o n F ( t ) ( c o m m e l e s f o n c t i o n s de r é p a r t i t i o n du c a l c u l d e s p r o b a b i l i t é s ) s e d é c o m p o s e en 3 é l é m e n t s .

F ( t ) = F , ( t ) + F²( t ) + F³( t )

où F^x( t ) : f o n c t i o n " e n e s c a l i e r " ne v a r i e que p a r " s a u t s " - l e n o m b r e de c e s s a u t s e s t d é n o m b r a b l e .

F²( t ) : f o n c t i o n a b s o l u m e n t c o n t i n u e : e l l e e s t p a r t o u t d é r i v a b l e et é g a l e à l ' i n t é g r a l e de sa d é r i v é e .

F³( t ) : f o n c t i o n s i n g u l i è r e ( p o u r m é m o i r e ) .

Si F s e r é d u i t à F^x : l e p r o c e s s u s e s t " d i s c r e t " : l e s é v é n e m e n t s ne peuvent s e p r o d u i r e q u ' e n d e s i n s t a n t s c o n n u s dfa v a n c e a p p a r t e n a n t à un e n s e m b l e d é n o m b r a b l e ( E ) . E n c h a q u e instant U de E l e n o m b r e d ' é v é n e m e n t s o b é i t à une l o i d e P o i s s o n de p a r a - m è t r e ai o ù ai = F ( t i + 0) - F ( t i - 0 ) .

Si F s e r é d u i t à F² on e s t dans l e c a s étudié en 6 . 1 : à c h a q u e i n t e r v a l l e é l é m e n t a i r e d e t e m p s (t, t + dt) e s t a s s o c i é e

d F

l a f o n c t i o n f(t) = dite " d e n s i t é " (de v a r i a n c e ) et l a p r o b a b i l i t é qu'un é v é n e m e n t au m o i n s s e p r o d u i s e e s t f(t) dt. L e n o m b r e m o y e n d ' é v é n e m e n t s qui s e p r o d u i s e n t s u r ( tx t2) e s t :

T² f(t) dt = F ( t²) - F ( t J

7 / Processus en grappes.

Une a u t r e g é n é r a l i s a t i o n du p r o c e s s u s initial e s t l a s u i v a n t e : P l u s i e u r s é v é n e m e n t s peuvent s e p r o d u i r e s i m u l t a n é m e n t : on dit q u ' i l s c o n s t i t u e n t "une g r a p p e " . L e p r o c e s s u s peut ê t r e défini en p r o b a b i l i t é c o m m e suit :

a) L a s u i t e d e s " g r a p p e s " f o r m e un p r o c e s s u s p o n c t u e l de P o i s s o n ( u n i f o r m e ou n o n ) d é f i n i p a r l a f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n d e s v a r i a n c e s F ( t )

b) C h a q u e g r a p p e a un e f f e c t i f K a l é a t o i r e ( e n t i e r p o s i t i f ) : l e s e f f e c t i f s d e s d i f f é r e n t e s g r a p p e s s o n t i n d é p e n d a n t s en p r o b a b i l i t é et o b é i s s e n t t o u s à l a m ê m e l o i ( d ' a i l l e u r s a r b i t r a i r e ) .

I l faut n o t e r que s i l e n o m b r e de g r a p p e s s u r tout i n t e r v a l l e o b é i t à une l o i d e P o i s s o n , i l nfe n v a p a s de m ê m e p o u r l e s n o m - b r e s d ' é v é n e m e n t s .