Chap 35 : Courbes, nappes et surfaces
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 35 : Courbes, nappes et surfaces
0
1 1
0
0 0 ( ) 0
: ( , )
( , ) ( ( )) ( '( ))
difféo entre ouverts de , arc à valeurs dans , point régulier de est un point régulier de est la tangente à en est dirifée par t
f U V n I U t
f t t
t I f df
C C
I. Fonctions implicites planes
, , ' ( , ) ( , ') '
Graphe fonctionnel E F : x y y E F F, x y et x y y y
1
2 2
, ( , ) ( , ) ( , ) 0 {( , ) / ( , ) 0}
ouvert de , où
U f C U a b U f a b x y f x y
( , ) ( , ), :
( ( , ) ( , ) 0 ( )) ( ( , ) ( , ) 0 ( ))
Graphe fonctionnel au voisinage de : int. de ,
tq , ou ,
a b V a b I I
x y V f x y y x x y V f x y x y
V
( , ) 0
Même avec f C, une courbe f x y peut être très complexe
( , ) 0 0, 0, 1(] , [,] , [)
] , [ ] , [
( , ) ] , [ ] , [ ( , ) 0 ( ) ( )
t
Fonctions implicites : Si ,
tq Néc ,
,
f a b a a b b
y
a a b b U
a b
x y a a b b f x y y x
C
: ( , ) ( , ( , )) 1 ( , ) ( ,0) ( , ) ( , ( , )) Inversion locale sur F x y x f x y C x y G x , on écrit G x z x x z
( , ) 0 ( , ) 0 Théorème analogue avec f ou
a b f a b
x
( , ( )) 0? '( ) 0 2
Allure aux points singuliers f f ED. Si ok
f x x x f
x y
C
II. Nappes
,
( ) rapporté à un RON O i j k( , , ) Les coordonnées des plans tangents sont notées en majuscules
( , ) 2 ( , )
( )
Nappe de classe : où ouvert de connexe (domaine Support : , points si
), et mples, multiples...
k k
D F D F
F D
D
C C
1 ( , ) ( , )
k m u v D D F
( ), ( )
( ) ( ), ( )
est régulier si est libre.
Le plan tangent à en est alors le plan passant par dirigé par
F F
m m m
u v
F F
m M F m m m
u v
2 ( )
' '
( ) ( ) ( ) ' ' 0
' '
u v
m u v
v I
u
X x x x
M M m dF Y y y y
Z z z z
Chap 35 : Courbes, nappes et surfaces
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 2 ( , ) ( , )
Le vecteur normal de en est F
M u v F
N u v v u
( , ) 0 ( ) | ( , ) 0
régulier et dans ce cas
M N u v P M MP N u v
2
( ) ( , )
Aire d'une surface :
D N u v dudv
Nappes paramétrées cartésiennes
( , )x y D z, f x y( , ) Paramétré par F: ( , )x y ( , , ( , ))x y f x y
( , ) , ,1
( ) ( )
Points toujours réguliers
Plan tangent :
f f
N x y
x y
f f
Z z X x Y y
x y
Arcs tracés
( , ) 3 : .
L'arc I de est tracé sur s'il existe ID tq F On impose Ck si Ck
0 0
( , )I arc tracé sur , sa tangente en un point régulier de est contenue dans t ((t ))
III. Cônes, cylindres, nappes de révolution
1 3
( , ) ( ) ( ) , ( , )
Nappes réglées : réunion de droites : F u v A u v B u avec A BC I
( )cos ( )sin ( )
( )
Nappes de révolutions : , ,
Coordonnées cylindriques :
x f u v y f u v z g u
z
Chap 35 : Courbes, nappes et surfaces
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 3
IV. Surfaces
3 1
( ), ( , )
{ , ( ) 0} ( ) 0
est localement une surface en s'il existe tq
et Si c'est vrai , est une surface
S A S U O A f U
U S M U f M f A A S S
V C
3 1 1
, ( , , ) ( , ) ({0})
ouvert de A a b c , f . S f
C
2 1
( ) 0 ( ) 0 ( ), , ( , )
( , , ) , ( , , ) ( , ) { / ( ) | 0}
Fonctions implicites : Si et , ouvert de tq
Le plan tangent à en est
O
f A f A U A D D
z
x y z U x y z S z x y S A P f A AP
V C
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( , , ) 0 ( ) ( , , ) 0
( ( ), ( ) )
supp(
( ) ( , ) )
Intersection : , surfaces.
Supp plans tan
, régulier,
gents à et en sont distincts libre
Alors O
S f x y z S g x y z A S S
S S
A I U
A f A g A
U S S
V
: ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), )...( , , ) (0,0, ) Inversion locale : F x y z f x y z g x y z z x y z G z
