un corrigé plus détaillé

Ecrit CAPES Mathémat iques

G. Julia, 2012/2013 1

Ecrit 1, problème 2. Statistiques et probabilités

1. Le sujet

2. Eléments de correction

Partie A : Deux indicateurs de dispersion

1.

( )



























−

 +























− 

=

+











− 

=

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

2

1 1

2 2

1 1

2 1

2 1 1 1

2

n

i i n

i i n

i i n

i i n

i

i x

x n x n

x n n x x

x x n x

G . Le coefficient de x²

étant positif, G admet un minimum pour 









= 

∑

= n i

xi

x n

1

1 qui vaut

2

1 1

2 1











− 

∑

∑

=

=

n i

i n

i

i x

x n Cette valeur de x représente la moyenne des xi.

2. L est une fonction continue sur R comme somme de fonctions continues, et dérivable sur R sauf aux points xi. Lorsque x appartient à l’intervalle ouvert

]

x_i ; x_i+1

[

,

( ) ∑ ( ) ∑

⁼

( )

=

−

=

=

− +

−

= ^{j n}

i j

i i

j

j

i x x

x x x

L

1

1

et de ce fait :

( ) (

^{x i}

) (

^{i n}

) ( )

^{i n}

L' = −2 + − =2 −1 −

Si n est un nombre impair, n=2p−1, la fonction L’ est strictement négative sur l’intervalle

]

−∞^; x_p+¹

[

et strictement positive sur l’intervalle

]

x_p+₁ ;^+∞

[

(sauf bien sûr aux points isolés où elle n’est pas définie).

La fonction L admet un maximum pour la valeur x_p+1.

Si n est un nombre pair, n=2p, la fonction L’ est strictement négative sur l’intervalle

]

^−∞;xp

[

^,

strictement positive sur l’intervalle

]

x_p+₁ ;^+∞

[

et nulle sur

]

xp ^;xp+¹

[

(sauf bien sûr aux points isolés où elle n’est pas définie).

La fonction L admet un minimum atteint pour toute valeur de l’intervalle fermé

[

x_p ;x_p+1

]

. Dans les deux cas, le minimum est atteint pour la valeur médiane de la série des xi.

Les fonctions L dans les cas 2.1 et 2.2 sont représentées ci-contre.

Dans le cas 2.1, l’entier n est impair, et le minimum est atteint en un seul point, la valeur médiane 3.

Dans le cas 2.2, l’entier n est pair, le minimum est atteint en tout point de l’intervalle fermé

[

^3;4

]

, intervalle auquel appartient la médiane.

On constate que le logiciel attribue dans ce cas le minimum à une valeur arbitraire de l’intervalle.

Ecrit CAPES Mathémat iques

G. Julia, 2012/2013 2

Partie B : Théorie de l’information, le cas discret

1 et 2. Réponses ci-contre.

3.1 La définition de la convexité initialise la propriété à démontrer au rang 2.

Supposons quelle soit vérifiée à un rang n−1≥2 Soit f une fonction convexe sur I.

On se donne un n-uplet

(

x₁,x₂,...,xn

)

de réels de I et un n-uplet

(

λ1^,λ2^,...,λn

)

de réels positifs de somme 1.

L’un au moins de ces réels positifs est non nul, on peut supposer qu’il s’agit de λn quitte à changer d’indexation.

Dans un premier temps, d’après la convexité de f :

( ) ( ) ( )

_^











− − +

≤

























− − +

=













∑ ∑ ∑

⁻

=

−

=

=

1 1 1

1

1 1 1

1 1

n k

k n k n

n n n

k

k n k n

n n n

k k

k x f x x f x f x

f λ

λ λ λ λ

λ λ λ

λ

Dans un deuxième temps, le

(

ⁿ⁻¹

)

^-uplet _









−

− ⁻n

n

n λ

λ λ

λ ,...,1 1

1

1 est formé de réels positifs de somme égale à 1,

l’hypothèse de récurrence s’applique :

∑ ∑

⁻

( )

=

−

= ≤ −











−

1

1 1

11 1

n

k

k n k n

k

k n

k x f x

f λ

λ λ

λ . Donc, a fortiori :

( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( )

∑

=

−

=

=

− =

− +

≤











 ⁿ

k

k k n

k

k n k n

n n n

k k

k x f x f x f x

f

1 1

1

1 1 1 λ

λ λ λ

λ

λ . L’inégalité est établie quelle que soit la

fonction f convexe sur I et pour tout n-uplet

(

x₁,x₂,...,xn

)

de réels de I pondéré d’un n-uplet

(

λ₁^,λ₂^,...,λn

)

de réels positifs de somme 1.

La propriété à démontrer est héréditaire. Elle est donc vérifiée quel que soit l’entier n ≥ 2.

3.2. La dérivée seconde de la fonction xaxlnx étant la fonction

xa x1 …

3.3. On considère la fonction ci-dessus ainsi que le n-uplet

(

p₁,p₂,...,pn

)

pondéré par le n-uplet 



 



 n n

,...,1

1 .

L’inégalité de convexité donne :

( )

k n

k n

k

k f p

n n

f

∑

p

∑

=

=

≤













1 1

1 .

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G. Julia, 2012/2013 3

Or d’une part :

n n n

n f n

n f p

n

k

k 1 ln

1ln 1

1

−

=



 



= 



 



= 













∑

=

Et d’autre part :

( )

^H

( )

^A

p n n p

p nf

n

k

k k k

n

k

ln 1 1

1

1 1

−

=











= 

∑

∑

=

=

.

Ainsi, on obtient l’inégalité : ^H

( )

^A

n n

n 1

ln ≤−

− qui revient à ^H

( )

^A ≤^lnn. Le nombre ln est un majorant n de ^H

( )

^A , quelle que soit la distribution de probabilité sur le système complet A.

Lorsqu’il y a équiprobabilité :

( ) ∑ ( )

=

=



 



− 

= ⁿ

k

n n A n

H

1

1 ln 1ln

, le majorant ln est atteint dans ce cas. n L’entropie est maximale lorsqu’aucune hypothèse ne peut être privilégiée.

Partie C : Théorie de l’information, le cas continu

1.1 et 3.1. Quelques résultats à propos de g.

Plus précisément :

( ) ( ( ) ) ( )

_^









 +

×











−

=

− π

π ^{exp 2 2 ln 2} 2

ln 1

2

2 x

x x g x

g et par conséquent :

( )

^x

(

^g

( )

^x

)

^dx

( )

^{x dx x x dx}

g

∫ ∫

∫

₋⁺_∞^∞ ₋⁺_∞^∞ ₋⁺_∞^∞ _^





















−

 +











−

=

− exp 2

2 2 1 exp 2

2 2 1

ln ln

2 2

2

π π π

D’une part :

( )

^π _π ^exp ₂ ^ln

( )

^2π

2 2 1

ln

2 =









−

∫

₋⁺_∞^{∞ x dx} puisque g est une densité de probabilité.

D’autre part :

2 1 exp 2

2 2

1 exp 2

2 2

exp 2 2

2 2 2 exp 2

1

2 2

2 2

2

 =























−

×

 +























−

= −























−

−

− ×

 =























−

∫

∫

∫

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

x dx x

x

x dx x x

x dx x

π π

π π

On obtient : ^H

( )

^{g =−}

∫

₋^+∞_∞^g

( )

^{x ln}

( )

^g

( )

^{x dx=ln}

( )

^{2π +}₂¹

2.1. Soit y > 0 fixé. On définit sur

]

^0;+∞

[

la fonction sy par : ^sy

( )

^x =^xln^x+ ^y−^x−^xln^y.

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G. Julia, 2012/2013 4

Alors : s'_y (x)=lnx−lny. Cette dérivée est négative pour x≤ y et positive pour x≥ y. La fonction sy est strictement décroissante sur

]

^{0; y}

]

et strictement croissante sur

[

^{y ;+∞}

[

. Elle admet un minimum lorsque

y

x= qui est égal à 0. Il s’ensuit que xlnx+ y−x−xlny≥0 pour tout réel strictement positif x, l’égalité ayant lieu si et seulement si x=y

2.2. Soit f continue et positive sur

[

^a;b

]

. Supposons f non identiquement nulle sur

[

^{a ;b}

]

. Il existe c appartenant à l’intervalle ouvert

]

^{a ;b}

[

^{tel que f}

( )

^{c >0} (si f était nulle sur l’intervalle ouvert

]

^{a ;b}

[

^{, elle le}

serait aussi par continuité en a et en b). Puisque c est intérieur à l’intervalle, il existe un réel strictement positif α tel que

[

^{c−α ;c+α}

]

est inclus dans

[

^a;b

]

et puisque f est continue en c il existe un réel strictement positif β tel que pour tout x appartenant à

[

^{c−β ;c+β}

]

^{on ait}

( ) ( ) ( )

2 c c f f x

f − ≤ . En

considérant ε =^min

(

α^,β

)

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⁰

2 × 2 = >

≥

≥

∫

∫

_a^{bf x dx} _c^c₋⁺_ε^{εf x dx ε f c ε f c}

Une fonction continue et positive sur

[

^a;b

]

mais non identiquement nulle sur

[

^a;b

]

a une intégrale sur cet intervalle strictement positive. Par contraposition, une fonction continue et positive sur

[

^a;b

]

qui y a une intégrale nulle est identiquement nulle sur

[

^{a ;b}

]

3.2.

On a vu que ^−ln

(

^g

( )

^x

)

^{= x}₂^{2 +ln}

( )

^{2π . Donc −}

∫

₋^+∞_∞ ^f

^{( )}

^{x ln}

^{( )}

^g

^{( )}

^{x dx=ln}

( )

^2π

∫

₋^+∞_∞ ^f

^{( )}

^{x dx+}₂¹

∫

₋^+∞_∞

(

^x2f

^{( )}

^x

)

^dx

ce qui donne ⁻

∫

₋^+∞_∞^f

( )

^{x ln}

( )

^g

( )

^{x dx=ln}

( )

^{2π +1}₂^=H

^{( )}

^g lorsque f appartient à N.

3.3. En appliquant la question 2 aux réels ^f

( )

^{x et g}

( )

^x , pour tout réel x :

( )

^x

(

^f

( )

^x

)

^f

( )

^x

(

^g

( )

^x

) ( ) ( )

^{g x f x}

f ≤− + −

− ln ln

Par intégration : ^H

( )

^{f ≤H}

( )

^{g +}

∫

₋^+∞_∞^g

( )

^{x dx−}

∫

₋^+∞_∞^f

( )

^{x dx}. Puisque f et g appartiennent à N les deux intégrales présentes dans l’inégalité sont nulles. Il reste : ^H

( )

^f ≤^H

( )

^g

Supposons maintenant que ^H

( )

^{f =H}

( )

^g . Cela revient à dire que :

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

[

^ln − ^ln + −

]

=⁰

∫

₋^+∞_∞ ^{f x f x f x g x g x f x dx} alors même que la fonction explicitée dans le crochet est une fonction continue et positive sur R.

D’après la question 2.2, la nullité de l’intégrale implique que la fonction du crochet est identiquement nulle, c'est-à-dire que : ^f

( )

^{x ln}

(

^f

( )

^x

) ( )

^{− f x ln}

(

^g

( )

^x

) ( ) ( )

^{+g x − f x =0} pour tout réel x. D’après 2.1, l’égalité ne peut avoir lieu que si ^f

( ) ( )

^x =^{g x} pour tout réel x.