VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

1 – INTRODUCTION

2 - PLAQUE MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

4 - PLAQUE FINIE COUPLEE (plaque rectangulaire) 5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

6 - EXEMPLES

Bibliographie

M. Bruneau, Manuel d'acoustique fondamentale, Hermès, 1998.

F.J. Fahy, Sound and Structural Vibration, Academic Press, 1985. (Nouvelle édition en Novembre 2006)

M.C. Junger, D. Feit, Sound, Structures, and their Interaction (2^nd ed.), MIT press, 1986. (réédition : Acoustical Society of America, 1993).

A.D. Pierce, Acoustics : an introduction to its physical principles and applications, McGraw-Hill, 1981.

E.G. Williams, Fourier Acoustics, Sound Radiation and Nearfield Acoustical Holography, Academic Press, 1999.

Acoustique générale (P. Filippi, Ed.), Les Editions de Physique, 1994.

J.L. Guyader, C. Lesueur,Transparence et rayonnement acoustiques des plaques minces(Ch. 8)

Rayonnement acoustique des structures (C. Lesueur, Ed.), Eyrolles, 1988.

C. Lesueur, J.L. Guyader,Rayonnement acoustique des plaques et des coques cylindriques (Ch. 4) J.L. Guyader, C. Lesueur,Comportement vibroacoustique des plaques minces(Ch. 5)

PLAQUE, MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE

Ondes de flexion dans la plaque

vibrations de flexion des plaques minces isotropes

( ^{x y} ) ^{h w} ( ^{x y} ) ^N ( ^{x y} )

w

D ∇

, − ω

ρ , = ,

(

)

3 12 1 −

υ

= Eh rigidité de flexion D

( ) ( ) ( )

D y x y N

x w k y

x

w _f ,

,

, ⁴

4 − =

∇

D k _f ρ h

ω ²

4 = nb d’onde de flexion dans le vide

ω

k

Ondes de flexion élémentaires dans la plaque

solution générale Ondes propagatives

Relation de dispersion

( ^∇

^{− k}

) ^{w ( x , y ) =} ( ^∇

^{+ k}

)( ^∇

^{− k}

) ^{w ( x , y ) = 0}

(

)

(

)

(

)

w , = ⁺ , + ⁻ ,

(

)

⁽

⁾

^{⇒ w}

( ^{x , y} ) ^{= W}

^e

Ondes évanescentes

(

)

⁽

⁾

^{⇒ w}

( ^{x , y} ) ^{= W}

^e

⁽

⁾

2 2

2

y x

f k k

D

k = ρ h = +

ω

Représentation des ondes de flexion élémentaires dans la plaque

Ondes propagatives

Relation de dispersion k _f = k_x² + k²_y





=

=

ϕ ϕ sin cos

f y

f x

k k

k k

( ) ( ) (

)

y jk y

x jk x x

jk x

y x y

x B e A e B e

e A y

x

w⁺ , = ⁻ + ⁻ +

(

)

w⁺ = ^{+ − +} = ^{+ − +}

ϕ

k

kx

Nombre d’onde effectif

Equation de propagation homogène dans le vide

mais le nombre d’onde effectif pourra être obtenu par

(

)

(

)

4 − =

∇ w x y k _f w x y

( )

(

)

w

y x k _f w

,

4 ,

4 ∇

⇒ =

( ^{x , y} ) ^{W e}

^{W e}

w =

+

Avec un fluide lourd, le nombre d’onde va changer

( ) ( ^{x y} )

w

y x w

,

4

,

4

∇

γ =

Ondes acoustiques dans l’espace semi-infini

Equation de Helmholtz

relation de dispersion onde plane élémentaire

( ^{, ,} )

( ^{, ,} ) ⁰

2

+ =

∇ p x y z k p x y z

k ωc

=

( ^{x y z} ) ^{P e}

⁽

⁾

p , , =

2 2

2 2

2

z y

x

k k

c k

k  = + +



 



=  ω

Solution équivalente en variables séparées

( ) ( ) ( ) (

)

z jk z

y jk y y

jk y

x jk x x

jk

x ^{z z}

y x y

x B e A e B e A e B e

e A z

y x

p , , = ⁻ + ⁻ + ⁻ +

Condition de Sommerfeld

Ondes acoustiques élémentaires : repère cartésien

Un champ quelconque peut se représenter à partir d’ondes planes élémentaires

( ^{x y z} ) ^{P e}

⁽

⁾

p ^{, , =} ∑

Exemple pour l’onde monopolaire

∫∫∫ ( )

→ −

•

−

−

3 2

2

2 π

K K

r

K

d

k e R

e

( k

, k

, k

)

=

Vecteur d’onde

K

Vecteur spatial ^{r =}

(

)

Ondes acoustiques élémentaires

onde plane élémentaire

Exemple pour

front d'onde plan

(

)

(

)

p , , = , ⁻

z ≥ 0

= 0 k y

θ sin k k_x =

2 2

x

z

k k

k = −

Équation de dispersion k_z² = k ² − k_x² − k _y²

θ λ λ

= sin

x

θ λ λ

= cos

z

k c

f

c π

π ω

λ = = 2 = ²

θ cos k

k_z =

θ λ

θ k

Ondes élémentaires : spectre de nombre d’onde

orientation quelconque normale rasante

0 , sinθ k

k k k

0 ,

0 k,0

ky k_y k_y

kx k_x k_x

Couplage vibroacoustique

Continuit

Continuitéé des vitesses sur la paroides vitesses sur la paroi (composantes normales)

( ^{, , 0} )

) ,

( x y u x y

v =

( ^{x y} ) ^{j w} ( ^{x y} )

v , = ω ,

z p ck j z

p u_z j

∂

= ∂

∂

= ∂

0

0 ρ

ωρ

( )

(

)

z z y x p

z

, , ,

0 2 0

ρ ω

∂ =

∂

=

z _{n ˆ}

ˆ

n

z

n

u

u =

Par exemple pour

Couplage vibroacoustique

Couplage dynamique Couplage dynamique

( ) ( ) ( ) ( )

D

y x p y

x y p

x w k

y x

w _f , ,

,

, ^{4 1 2}

4 −

=

−

∇

( ) ( )

(

)

w D

y x p y

x k _f p

,

,

, ₂

4 1

4 −

+ γ =

( ) ( )

( )







 −

+

= h w x y

y x p y

x k _f p

, , 1 ,

2

2 4 1

4

ω γ ρ

( )

( )

4 4

,

, = γ

∇

y x w

y x w

4 2

k f

h D = ω ρ

relation de dispersion

Couplage vibroacoustique

relation de dispersion Impédance de rayonnement

z _{n ˆ}

ˆ

n

normale

re particulai

vitesse

pariétale

pression

r

= Z

w j

p u

p u

Z p

w j

p u

p u

Z p

z n

r

z n

r

ω ω

= −

= −

=

=

=

=

1 1

1 1 1

2 2

2 2 2

z

n

u

u =

z

n

u

u = −







 +

−

= ρ ω

γ h

Z j Z

k⁴_f ^{r1 r2}

4 1

Couplage vibroacoustique

Problème découplé Problème couplé

continuité des vitesses

équation dynamique de la structure

force

mécanique

continuité des vitesses

équation dynamique de la structure

force

mécanique 2

1

, p

p p

, p

v

v

champ acoustique rayonné

2

1 p

p p_a = −

Couplage vibroacoustique

intensité acoustique rayonnée

{ }

^{{ }}

^{Re { }}

Re 2 Re 2

2

ˆ 1 u Z Z w

u p

I

ω

=

=

=

=

⋅ n

I

{ }

dS W

S

r S

∫

∫

= ²

2

2 Re

ˆ ω

n I

{ }

∫

∫

∫

=

S

S r

S w dS

dS w

c Z

dS w

c W

2

2 0

2 0

2 12

Re

ρ

ρ σ ω

puissance acoustique

facteur de rayonnement

CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

Rayonnement acoustique Transparence acoustique

milieu 2 milieu 2

Plaque mince

milieu 1 milieu 1

z

(

)

w ,

(

)

p₂ , ,

(

)

p₁ , ,

1 1 1, c , k

ρ ρ

(

)

(

)

1 x y v u x y

u_{z z}

Rayonnement d’une plaque infinie

Milieu 1 : ondes acoustiques

Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

Plaque : déplacement du aux ondes de flexion

Milieu 2 : ondes acoustiques

(

)

(

)

1

2 + =

∇ p x y z k p x y z

( ) ^w(^{x y})

z z y x p

z

, , ,

1 2 0

1 =ω ρ

∂

∂

=

Interface milieu 2 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

( , ) ² ( , ) ₁( , ,0) ₂( , ,0)

4w x y hw x y p x y p x y

D ∇ −ω ρ = −

( )

(^{x y})

z w z y x p

z

, , ,

2 2 0

2 =ω ρ

∂

∂

=

(

)

(

)

2

2 + =

∇ p x y z k p x y z

Rayonnement d’une plaque infinie

Pression

Continuité = fonctions en x,y sont identiques pour p₁, p₂ et w

( )

( ) ( )

y jk y y

jk y x jk x x

jk x z z

B A

e B e

A e

B e

A z jk

z y x

p _{y y}

x

x + + −

−

∂ =

∂ − −

=0

, ,

( ) ( ) ( ) ⁽

⁾

z jk z

y jk y y

jk y

x jk x x

jk

x ^{z z}

y x y

x B e A e B e A e B e

e A z

y x

p , , = ⁻ + ⁻ + ⁻ +

Gradient de pression à la surface

y y y

x y x x

x

k k k k k

k

=

= γ = et

=

= γ =

( )

(

)

z z y x p

z

, , ,

0 2 0

ρ ω

∂ =

∂

=

( ) ( ) (

)

y A j

y x

B j x x

A j x

y x y

x W e W e W e

e W y

x

w , = ^{− γ} + ^{γ − γ} + ^γ

Continuité des composantes normales des vitesses sur la paroi

Rayonnement d’une plaque infinie

Conséquences :

le nombre d’onde de flexion impose la relation de dispersion conduit à

les relations de continuité détermine l’amplitude

γ γ = k

+ k

2 2

− γ

= k k

( ) ( )

(

)

(

)

p jk

y x w y

x p jk

z z

, 0

, ,

, 0

, ,

2 2 2

2

1 2 1

1

ρ ω

ρ ω

=

−

=

( ) ( )

( ) ( )

z k

j

e y x w k

j z

y x p

e y x w k

j z

y x p

2 2 2

2 2 1

, ,

,

, ,

,

2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 1 1

γ γ

γ ω ρ

γ ω ρ

−

−

−

−

=

−

−

=

( ) ( )

( ) ( )

z k

j

e y x p z

y x p

e y x p z

y x p

2 2 2

2 2 1

, ,

,

, ,

,

2 2

1 1

γ γ

−

−

−

=

=

Condition de Sommerfeld

Solution de l'équation de dispersion

Relation de dispersion







 +

−

= ρ ω

γ h

Z j Z

k⁴_f ^{r1 r2}

4 1

[ ]

2 _{4 4}

4

0 − − _f =

z f

k k j h

kρ ρ γ

r

k

Z

= ρ

ω

Impédance de rayonnement pour la plaque infinie et

Z

= ρ

ω k

deux fluides sont identiques (pour simplifier) ρ1 = ρ2 = ρ0 k₁ = k₂ = k

2 2

2 2

2 − − = − γ

= k k k k

k_{z x y}

avec

Relation de dispersion

Solution de l'équation de dispersion

Changement de variable

donc

d’où les pressions

Relation de dispersion

jkz

k = −

−

= γ ^{2 2}

κ γ ^{2 =} κ ^{2 + k2}

(

)

(

)

(

)

(

)

p ^{κ κ}

κ ω ρ

κ ω

ρ , et , , ,

,

, ⁰ ₂ ⁰

1 = − ⁻ =

( )

2 ₀ ⁴ _{2 2 2 4}

=

− +

+ _f

f k k

h

k κ κ κ

ρ ρ

[ ]

2

4 4 0

4 3

2

5 + + − + =

h k k

k

k _f ^f

ρ κ ρ

κ

équation du 5^ème degré κ

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides légers

on néglige ce terme équation du second degré en

Solutions

[ ]

2

4 4 0

4 3

2

5 + + − + =

h k k

k

k _f ^f

ρ κ ρ

κ κ

[ ]

2 ^{2 2 4 4}

4 + k κ + k − k _f =

κ

κ

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

1 2

2 2

1

f f

f f

f

k k

j k

k

k k

j k

k k

k

+

±

⇒ = +

−

=

−

=

−

±

⇒ =

−

=

κ κ

κ

κ ^m

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides légers

premier type de solution

nombre d’onde dans la plaque Pression

2 2

2 2

2

f z

f k jk j k k

k − ⇒ = − = − −

= κ

κ

( ) ( ) ( ) ( ) ^{j k k z}

f z

k k j

f

f

f w x y e

k k

k c z j

y x p e

y x w k k

k c z j

y x p

2 2 2

2

, ,

, et

, ,

, 2 2

0 2 2

2 0 1

−

−

−

−

= −

−

= ωρ ωρ

k f

k = ± +

= κ ^{2 2} γ

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides légers

pulsation critique _{k = k f}

( )

2 2 2

2 12 1

h c E

D c h

c

υ ρ

ω = ρ = ⁻

ω

f ∝ k

k ωc

=

ω

ω ω_c

f k

k^{2 2} =

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides légers

( ^jkzz) ^exp

(

)

exp ± = ± − ^exp(^{± jkzz})^{= exp}

(

)





=

=

ϕ θ

ϕ

ϕ θ

ϕ

sin sin

sin

cos sin

cos

k k

k k

f f





>

>

ϕ ϕ

ϕ ϕ

sin sin

cos cos

k k

k k

f f

c

k f

k > ω >ω

c

k f

k < ω <ω

ky k_y

kx k_x

k k

ϕ ϕ

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides légers

deuxième type de solution

(

)

2

f z

f jk j k k

k

k + ⇒ = − = − +

−

= κ

κ

nombre d’onde dans la plaque

jk f

k = ± +

= κ ^{2 2} γ

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides légers

Facteur de rayonnement













−

 =





= 

2

Re 2

Re

γ σ

k k k

k

z

k f

± γ =

jkf

± γ =

ωc

ωc ^ω

ω

σ

σ

0

0

1

1













+

 =





= 

2

Re 2

Re

γ σ

k k k

k

z

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides lourds

5 racines de l’équation de dispersion

α0

κ = − jk_z = − e^κz = e^−α0z

ondes acoustiques en

2

2 β

α

κ = − jk_z = − − j e^κz = e^−α2ze^{− jβ2z}

Approximations : relation de dispersion avec













− +

 =













−

−

 =







 −

= 2 2

4 0 2

2 4 0

4

4 2

2 1 2 1

1

k h

k k

h j h k

j Z

k _f ^r _{f f}

γ ρ

ρ γ

ρ

ρ ω

γ ρ

z

r k

Z =

ρ

ω

4 1 0

4 1

2 2 0

1 1 2

1 1

1 2 1











 + −









±

= ±













−

 +







±

≈ ±

c f

f f

f

f k hk

k j k hk

j k ρ ω ω

ρ ρ

γ ρ

2

k f

valable en dessous de la fréquence critique : quand

γ > k

Solution de l'équation de dispersion pour les fluides lourds

Approximation pour

4 1 0

4 1

2 2 0

1 1 2

1

1 1 2

1











 + −









±

= ±













−

 +







±

≈ ±

c f

f

f f

f

k hk j

k k hk

j k

ω ω ρ

ρ ρ

γ ρ

valeurs exactes approximation

ω

ω <