σ d/dd/ σ tdt =∧+∧ OMpvp fu =− 21/1 1/1cos/ rep =+ EZerW −= /4  pu fu tmrZerrr =−+==− 1d1d/d//4d 

Mouvement relativiste dans un champ en 1/r

²

.

Une charge fixe Ze est à l’origine des coordonnées et est supposée fixe. Un électron de masse m et de charge – e est en mouvement dans le champ coulombien ainsi créé.

1° Montrer qu’il y a conservation du moment cinétique

σ = OM ∧ p

. ce qui se traduit par l’intégrale première :

2

d / d

mr t

σ = γ θ

avec

γ = 1/ 1 − v

²

/ c

²

2° En éliminant le temps à l’aide de σ, montrer que :

(

^{2 2}

)

²2

(

^{2 2}

)

1 d 1

d /d / / 4

t mr d Ze r

r r

σ γ πε

θ

   

= −  +    = = −

   

p u f

0

u

3° Montrer que le théorème de l’énergie cinétique conduit également à une intégrale première :

E

_c

− Ze

²

/ 4 πε

0

r = W

où

W

est une constante. Utiliser cette intégrale première pour éliminer γ de l’équation définissant la trajectoire.

4° Montrer qu’une solution du type :

( )

1/ r = 1 + e cos ωθ / p

^.

convient ; le cas

ω = 1

correspondrait à une ellipse ; ici, dans le cas limite,

ω

^est

légèrement inférieure à

1

; montrer qu’une telle équation peut alors être considérée comme celle d’une ellipse dont les axes tournent à chaque tour (avance du périhélie) d’un angle

^{δθ = 2 π} ( ^{1/ ω − 1} )

. Calculer, dans l’hypothèse

ω ≈ 1

^,

δθ

en fonction de

σ

^.

5° Transposer ce résultat aux planètes, et exprimer

δθ

(pour un tour) en fonction du (demi-) grand axe a, de l’excentricité e de la trajectoire, de la période de révolution T et de la vitesse de la lumière c.

A.N. Calculer l’avance du périhélie de Mercure prévue par la relativité restreinte en un siècle ; on donne pour cette planète :

a = 57,87.10⁶ km, e = 0,2056, T = 87,969 jours.

Remarque : le résultat ainsi trouvé est six fois moins important que celui prévu par la relativité générale ; c’est ce dernier résultat qui est confirmé par l’expérience.

Réponse.

1° L’électron est soumis à une force centrale

^{f = −} ( ^Ze

²

^{/ 4 πε}

⁰

^r

²

) ^u

; en dérivant

σ

par rapport à t :

^{d / d σ t = OM ∧} ( ^{d / p dt} ) ^{+ ∧ v p}

on obtient une expression

identiquement nulle. Donc

σ = OM ∧ p

est constant ; en particulier le mouvement s’effectue dans un plan fixe passant par O et perpendiculairement à

σ

. Dans ce plan, on adopte les coordonnées polaires :

σ

=

σ k

avec

^{σ = γ mr}

²

( ^{d / d θ t} )

2° On peut, en utilisant

σ

^{, écrire}

p

sous la forme :

d 1 1

d r r '

σ θ

   

=   −     +  

p u u

2

d 1

d '

d d

r r r r r r

t

θ θ

θ

 

 

= = − ⋅ = +

 

 

 

OM u & v u & & u

on calcule

d / dt p

par

( ^{d / d p θ} ) ( ^{⋅ d / dt θ} )

. On obtient ainsi la formule de l’énoncé.

3°

( )

2 2 2 2

2

2 2

0 0

d 1 1

1 1 /

d 4 4

Ze m Ze

r rmc r W mc

θ πε σ πε

   

  +  −      = +

   

         

( )

( ^{d / d p t = = − f Ze}

²

^{/ 4 πε}

⁰

^r

²

^u )

^{( σ = γ mr}

²

^{d / d θ t )}

2

2 2

0

4 1

W Ze

mc rmc

γ πε

 

= + +

 

 

4°

ω = 1 − ( Ze

²

/ 4 πε σ

0

c )

² ; on remarque que 1/r reprend la même valeur pour

ωθ = 2 π

^soit

θ = 2 / π ω

^{; d’où}

^{δθ = 2 / π ω − 2 π = 2 π} ( ^{1/ ω − 1} )

^{. Si}

^{ω ≈ 1}

^,

un calcul simple donne :

( )

2 4 2 2 2 2

/ 16

0

Z e c

δθ = π π ε σ

( )

2

2 2

d 1

1 1 cos / cos /

d

e p r e p

r ωθ ω ωθ

θ

   

   

 = +   = − 

 

 

 

5° Pour transposer ce résultat aux planètes, il faut remplacer

Ze

²

/ 4 πε

₀ ^par

GMm

^où

G

est la constante d’attraction universelle et

M

la masse du soleil ; par ailleurs

σ = 2 m ab T π /

^et

b = a 1 − e

² où e est l’excentricité. Enfin on élimine

GM

grâce à la troisième loi de Kepler :

a

³

/ T

²

= GM / 4 π

². Finalement :

( )

2 2

2 2 2

2 2

1 a

T c e

δθ = π ⋅ π

−

A.N.

En un siècle δθ = 3, 46.10 rd

⁻⁵

= 7,13 °