BACCALAUREAT BLANC
Session janvier 2015
Série : S
Épreuve : Mathématiques
( candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité )Durée de l'épreuve : 4 heures
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages numérotées 1/6 à 6/6
Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats
On considère la fonction définie et dérivable sur l’ensemble ℝ des nombres réels par : = + 1 +
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé ; , .
1. Soit la fonction définie et dérivable sur l’ensemble ℝ par :
= 1 − +
a. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction sur ℝ ( les limites de aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues ).
b. En déduire le signe de .
2. Déterminer la limite de en −∞ puis la limite de en +∞.
3. On appelle ′ la dérivée de la fonction sur ℝ . Démontrer que, pour tout réel , = 4. En déduire le tableau de variation de la fonction sur ℝ.
5. a. Démontrer que l’équation = 0 admet une unique solution réelle sur ℝ.
b. Démontrer que −1 < < 0.
6. a. Démontrer que la droited’équation = 2 + 1 est tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
b. Etudier la position relative de la courbe et de la droite .
On note ℂ l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé ; ! , " . On prendra comme unité 2 centimètres sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré ou à petits carreaux et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction qui à tout nombre complexe z associe # = #$+ 2# + 9
1. Calculer l’image de −1 + &√3 par la fonction .
2. Résoudre dans ℂ l’équation # = 5.
Ecrire sous forme trigonométrique les solutions de cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points * et + dont l’affixe est solution de l’équation (* étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3. Soit , un nombre réel. On considère l’équation # = , d’inconnue #.
Déterminer l’ensemble des valeurs de , pour lesquelles l’équation # = , admet deux solutions complexes conjuguées.
4. Soit # un nombre complexe tel que # = + & où et sont des nombres réels.
a. Montrer que : # = $ − $+ 2 + 9 + &2 + 2.
b. On note - l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe # est telle que # soit un nombre réel.
Montrer que - est la réunion de deux droites ./ et .$ dont on précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.
Exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère la suite 01 définie par 02 = 2 et, pour tout entier naturel 3 : 014/ =1 + 301
3 + 01
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 3, on a : 01− 1 > 0.
2. a. Etablir que, pour tout entier naturel 3, on a :
014/− 01 = 1 − 011 + 01 3 + 01 b. Déterminer le sens de variation de la suite 01.
3. En déduire que la suite 01 converge.
Partie B
On considère la suite !1 définie par !2 = 2 et, pour tout entier naturel 3 :
!14/ =1 + 0,5!1 0,5 + !1
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. On considère l’algorithme suivant :
Entrée Soit un entier naturel non nul 3 Initialisation Affecter à ! la valeur 2
Traitement et sortie
POUR & allant de 1 à 3
Affecter à ! la valeur 1 + 0,5!
0,5 + ! Afficher !
FIN POUR
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour 3 = 3.
Les valeurs de ! seront arrondies au millième.
& 1 2 3
!
2. Pour 3 = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
& 4 5 6 7 8 9 10 11 12
! 1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997 1,00001 0,999996 1,000001
On admet que, pour tout entier naturel 3, on a : !1 ≠ −1.
On considère la suite "1 définie pour tout entier naturel 3, par :
"1 =!1 − 1
!1 + 1
a. Démontrer que la suite "1 est géométrique de raison −1 3 b. Calculer "2 puis écrire "1 en fonction de 3.
4. On admet que, pour tout entier naturel 3, on a : "1 ≠ 1.
a. Montrer que, pour tout entier naturel 3, on a : !1 = 1 + "1
1 − "1 b. Déterminer la limite de la suite !1.
Exercice 4 ( 5 points ) pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A
On considère l'algorithme suivant :
Variables : A est un entier naturel B est un entier naturel C est un entier naturel Initialisation : Affecter à C la valeur 0
Demander la valeur de A Demander la valeur de B Traitement : Tant que A > B
Affecter à C la valeur C + 1 Affecter à A la valeur A − B Fin Tant que
Sortie : Afficher C Afficher A
1. Faire fonctionner cet algorithme avec A = 13 et B = 4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
Partie B
A chaque lettre de l'alphabet, on associe grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Etape 1 : A la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre E correspondant dans le tableau.
Etape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9E + 5 par 26. On note G ce reste.
Etape 3 : Au nombre G, on associe la lettre correspondant dans le tableau.
1. Coder la lettre U.
2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de E entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de G, calculée à l'aide du codage précédent.
Partie C
1. Trouver un nombre tel que 9 ≡ 1 [26]
2. Démontrer alors l'équivalence : 9E + 5 ≡ G [26] ⇔ E ≡ 3G − 15 [26]
