Fonction exponentielle du livre
N°1 page 175 :
𝐴 = 2 × 2 = 2 = 2 𝐵 = (2 ) = 2 × = 2
𝐶 = 4 × 2 = (2 ) × 2 = 2 × 2 = 2 = 2
𝐷 = 1 2 = 2 𝐸 =2
2 = 2 = 2
𝐹 =2 × 2
2 = 2
2 =2
2 = 2 = 2
N°2 page 175 :
1) 2𝑥 − 3 = 4𝑥 + 7 ⇔ 2𝑥 − 4𝑥 = 7 + 3 ⇔ −2𝑥 = 10 ⇔ 𝑥 = 10
−2= −5 ∶ 𝑆 = {−5}
2) 𝑥 − 6 = 3𝑥 + 2 ⇔ 𝑥 − 3𝑥 − 8 = 0
∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 = (−3) − 4 × 1 × (−8) = 9 + 32 = 41 𝑥 =−𝑏 + √Δ
2𝑎 = 3 + √41 2 𝑥 =−𝑏 − √Δ
2𝑎 =3 − √41 2 𝑆 = 3 + √41
2 ;3 − √41 2
3) 3𝑥 + 7 < 2𝑥 − 5 ⇔ 𝑥 < −12 ∶ 𝑆 =] − ∞; −12[
4) 2𝑥 − 3𝑥 + 5 ≥ 0
∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 = (−3) − 4 × 2 × 5 = 9 − 40 = −31 2𝑥 − 3𝑥 + 5 est du signe de 𝑎 = 2 > 0 sur ℝ 𝑆 = ℝ
N°3 page 175 :
1) Diminuer de 70% revient à multiplier par 1 − = 0,3
Chaque terme de la suite s’obtient donc en multipliant le précédent par 0,3 : la suite (𝑣 ) est géométrique de raison 0,3.
2)𝑢
𝑢 =
4 3
4 3
= 4 3 ×3
4 = 3
3 = 3 × 1 3 × 3=1
3
La suite (𝑢 ) est bien géométrique de raison . Son premier terme est ∶ 𝑢 = 4
3 = 4 1= 4
N°4 page 175 :
𝑢 = 𝑢 × (−3) = 5 × (−3) = −15 𝑢 = 𝑢 × (−3) = −15 × (−3) = 45
Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 𝑢 × 𝑞 = 5 × (−3) 𝑢 = 5 × (−3) = 2 657 205
N°5 page 307 : 1) 𝑑(10 + ℎ) − 𝑑(10)
ℎ = (10 + ℎ) + 5(10 + ℎ) − (10 + 5 × 10) ℎ
=100 + 20ℎ + ℎ + 50 + 5ℎ − 100 − 50
ℎ =ℎ + 25ℎ
ℎ = ℎ + 25
2) La vitesse instantanée de ce véhicule après 10 secondes est la limite du taux de variation précédent quand ℎ tend vers 0 : elle est donc de 25 mètres par seconde.
N°6 page 175 :
1) 𝑓 (𝑥) = 2 × 3𝑥 − 4 × 1 = 6𝑥 − 4
2) 𝑔 (𝑥) = 3 × √𝑥 + (3𝑥 − 2) × 1
2√𝑥 = 3√𝑥 +3𝑥 − 2
2√𝑥 = 6 √𝑥 + 3𝑥 − 2
2√𝑥 =9𝑥 − 2 2√𝑥 3) ℎ (𝑥) = − 2 × 2𝑥
(2𝑥 + 3) = − 4𝑥 (2𝑥 + 3)
4) 𝑖 (𝑥) =2(𝑥 + 3) − (2𝑥 + 5) × 1
(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 6) − (2𝑥 + 5)
(𝑥 + 3) = 1
(𝑥 + 3) 5) 𝑗 (𝑥) = 3 × 1
2√3𝑥 = 3 2√3𝑥
N°7 page 175 :
𝐴(𝑥) s’annule pour 𝑥 = 2 :
𝑥 −∞ 2 +∞
𝐴(𝑥) + 0 −
𝐵(𝑥) s’annule pour 𝑥 = − et 𝑥 = 5 :
𝑥 −∞ − 5 +∞
−3𝑥 − 2 + 0 − −
𝑥 − 5 − − 0 +
𝐵(𝑥) − 0 + 0 −
𝐶(𝑥) s’annule pour 𝑥 = −1 et 𝑥 = 5 : 𝑥 −∞ −1 5 +∞
𝑥 − 4𝑥 − 5 + 0 − 0 +
−5 − − − 𝐶(𝑥) − 0 + 0 −
N°8 page 175 :
Équation de la tangente à la courbe de 𝑓 au point d’abscisse 𝑎 : 𝑦 = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) Ici, 𝑎 = 2 et 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 3𝑥 + 1 donc 𝑓(2) = −4 − 6 + 1 = −9
𝑓 (𝑥) = −2𝑥 − 3 donc 𝑓 (2) = −4 − 3 = −7
Équation : 𝑦 = 𝑓 (2)(𝑥 − 2) + 𝑓(2) ⇔ 𝑦 = −7(𝑥 − 2) − 9 ⇔ 𝒚 = −𝟕𝒙 + 𝟓
N°9 page 175 :
La capital augmente de 4,5% par an donc il est multiplié par 1 + , La formule est donc : =B1*(1+4,5/100)
N°1 page 185 :
1) 𝑓 (𝑥) = 3(exp(𝑥)) − 2𝑥 + 0 = 3 exp(𝑥) − 2𝑥 2) 𝑔 (𝑥) = 1 × exp(𝑥) − 𝑥 × (exp(𝑥))
(exp(𝑥)) = exp(𝑥) − 𝑥 × exp(𝑥)
(exp(𝑥)) = (1 − 𝑥) exp(𝑥)
(exp(𝑥)) = 1 − 𝑥 exp(𝑥)
N°2 page 185 :
𝑓 (𝑥) = −2((𝑥 + 1) × 𝑒 + (𝑥 + 1) × (𝑒 ) ) = −2(𝑒 + (𝑥 + 1)𝑒 ) = −2(𝑥 + 2)𝑒
𝑔 (𝑥) = −(𝑒 + 1)
(𝑒 + 1) = − 𝑒 (𝑒 + 1)
N°3 page 185 :
𝐴 = 𝑒 × 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 = 𝑒 = 1 𝐵 =𝑒 × (𝑒 )
𝑒 = 𝑒 × 𝑒
𝑒 =𝑒
𝑒 =𝑒
𝑒 = 𝑒 = 𝑒 = 1 𝑒 = 1
𝑒
𝐶 = 1 𝑒 × 1
𝑒 = 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 = 𝑒 = 1 𝑒
𝐷 = (𝑒 ) × 𝑒 = 𝑒 × × 𝑒 = 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 = 𝑒
N°4 page 185 :
𝐴 = 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 = 𝑒
𝐵 = 𝑒
(𝑒 ) = 𝑒
𝑒 ×( ) = 𝑒
𝑒 = 𝑒( ) ( ) = 𝑒 = 𝑒
𝐶 = 1
𝑒 × 1
𝑒 = 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 = 𝑒
N°5 page 185 :
𝑢 = exp 4(𝑛 + 1) = exp(4𝑛 + 4) = exp(4𝑛) × exp(4) = 𝑢 × exp(4) = 𝑞 × 𝑢
La suite (𝑢 ) est géométrique de raison exp(4) et de premier terme 𝑢 = exp(4 × 0) = exp(0) = 1 N°6 page 185 :
1) 𝑒 = 1 ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 2𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 = − ∶ 𝑆 = −
2) 𝑒 = 𝑒 ⇔ −3𝑥 + 4 = −𝑥 + 2 ⇔ −2𝑥 = −2 ⇔ 𝑥 = 1 ∶ 𝑆 = {1}
N°7 page 185 :
1) 𝑒 ≤ 1 ⇔ 𝑒 ≤ 𝑒 ⇔ 𝑥 − 1 ≤ 0 ⇔ 𝑥 ≤ 1 ∶ 𝑆 =] − ∞; 1]
2) 𝑒 ≤ 𝑒 ⇔ −2𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 2 ⇔ −3𝑥 ≤ 3 ⇔ 𝑥 ≥ −1 ∶ 𝑆 = [−1; +∞[
3) 𝑒 ≥ 1 ⇔ 𝑒 ≥ 𝑒 ⇔ 𝑥 + 2 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ −2 ∶ 𝑆 = [−2; +∞[
4) 𝑒 ≥ 𝑒 ⇔ 3𝑥 + 2 ≥ −𝑥 + 4 ⇔ 4𝑥 ≥ 2 ⇔ 𝑥 ≥ 1
2∶ 𝑆 = 1 2; +∞
N°8 page 185 :
1) 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 2) × 𝑒 + (𝑥 − 2) × (𝑒 ) = 1 × 𝑒 + (𝑥 − 2) × 𝑒 = (𝑥 − 1)𝑒
2) 𝑒 > 0 donc 𝑓 (𝑥) est du signe de (𝑥 − 1), ainsi 𝑓 (𝑥) ≤ 0 sur ] − ∞; 1] et 𝑓 (𝑥) ≥ 0 sur [1; +∞[.
N°9 page 185 :
1) 2 > 0 donc la fonction 𝑓 est strictement croissante d’après la propriété 9.
Le calcul de la dérivée permet aussi de répondre : 𝑓 (𝑡) = 2𝑒 > 0 2) On utilise le menu table :
Dans l’onglet « SET », on choisit un début à 0, une fin à 10 et un pas de 1 :
5 est compris entre 1 et 7,389, il est donc clair que la valeur cherchée est comprise entre 0 et 1.
On change alors les paramètres de l’onglet « SET ».
Début 0, fin 1 et pas de 0,1 :
5 est compris entre 4,953 et 6,0496, il est donc clair que la valeur cherchée est comprise entre 0,8 et 0,9.
On change alors les paramètres de l’onglet « SET ».
Début 0,8, fin 0,9 et pas de 0,01 :
5 est compris entre 4,953 et 5,053, il est donc clair que la valeur cherchée est comprise entre 0,80 et 0,81.
Une valeur approchée est donc 0,80 à 0,01 près par défaut ou 0,81 à 0,01 près par excès.
N°10 page 185 :
1) 𝑓 (𝑡) = 3 × (−0,5𝑒 , ) = −1,5𝑒 , < 0 : la fonction 𝑓 est donc strictement décroissante sur ℝ.
Remarque : sans calculer la dérivée et avec la propriété 9, on peut déterminer le sens de variation.
La fonction 𝑡 ↦ 𝑒 , est strictement décroissante et 3 > 0 donc la fonction 𝑓 est strictement
décroissante sur ℝ (en effet, multiplier une fonction par un nombre positif ne change pas son sens de variation).
𝑥 −∞ 1 + ∞ 𝑓 (𝑥) − 0 +
𝑓(𝑥)
−𝑒
2)
N°1 page 190 :
1) exp(3) × exp(−2) = exp(3 − 2) = exp(1) = e 2) (exp(−2)) = exp(−2 × 3) = exp(−6) = 1
exp(6)
3) 𝐶 =exp(−5)
exp(3) = exp(−5 − 3) = exp(−8) = 1 exp(8)
N°2 page 190 :
1) 𝑓 (𝑥) = 3(exp(𝑥)) −1
2× 2𝑥 = 3 exp(𝑥) − 𝑥 2) 𝑔 (𝑥) = 1
4(exp(𝑥)) =1
4exp(𝑥)
3) ℎ (𝑥) = (𝑥) × exp(𝑥) + 𝑥 × (exp(𝑥)) = 1 × exp(𝑥) + 𝑥 × exp(𝑥) = (1 + 𝑥) exp(𝑥)
N°3 page 190 :
1) 𝑒 = 0 n’a pas de solution car 𝑒 > 0 pour tout 𝑥 réel.
2) 𝑒 = 1 ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑥 = 0 ∶ S = {0}
3) 𝑒(−𝑥) = 1 ⇔ −𝑥 = 1
𝑒 ⇔ 𝑥 = −1 𝑒 𝑆 = −1
𝑒
4) 𝑒(−𝑥) = 0 ⇔ −𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∶ S = {0}
N°4 page 190 :
1) e × e = 1 × e = e
2) e ×e
e = e × e = e × e = e = e = 1 e
3) e × e = e ×1 e= 1
4) e × (2e − e ) = e × 2e − e × e = 2e − 1
𝑡 −∞ +∞
𝑓 (𝑡) −
𝑓(𝑡)
5) e = (e ) = e
6) e
√e= √e
√e = √e
N°5 page 190 :
1) 2 < 5,5 et la fonction exponentielle est strictement croissante donc 𝑒 < 𝑒 , 2) 0,5 > 0,1 et la fonction exponentielle est strictement croissante donc 𝑒 , > 𝑒 , 3) − 3 > −5 et la fonction exponentielle est strictement croissante donc 𝑒– > 𝑒– 4) − 0,2 > −0,9 et la fonction exponentielle est strictement croissante donc
𝑒– , > 𝑒– ,
N°6 page 190 :
1) D’après la propriété 9 du cours, la fonction 𝑓 est strictement décroissante sur ℝ.
2) La fonction 𝑥 ↦ 𝑒 est strictement croissante et −2 < 0 donc la fonction 𝑔 est strictement décroissante sur ℝ (en effet, multiplier une fonction par un nombre négatif change son sens de variation).
3) La fonction 𝑥 ↦ 𝑒 est strictement croissante et −1 < 0 donc la fonction 𝑥 ↦ −𝑒 est strictement décroissante sur ℝ et enfin la fonction 𝑥 ↦ −𝑒 − 1 est strictement décroissante sur ℝ (ajouter ou retrancher un nombre ne change rien au sens de variation).
N°7 page 190 :
1) Équation de la tangente au point d’abscisse 0 : 𝑦 = 𝑓 (0)(𝑥 − 0) + 𝑓(0) 𝑓(𝑥) = 𝑒 donc 𝑓 (𝑥) = 𝑒 et donc 𝑓 (0) = 𝑒 = 1 et 𝑓(0) = 𝑒 = 1 Ainsi l’équation : 𝑦 = 1(𝑥 − 0) + 1 = 𝑥 + 1 : réponse a
2) 𝑒 > 0 sur ℝ donc −2𝑒 < 0 sur ℝ : réponse a.
3)𝑒
3𝑒 =1 3×𝑒
𝑒 =1
3× 𝑒 = 1
3𝑒 =𝑒
3 ∶ réponse c
N°8 page 190 :
1) 𝑢 = 𝑒 = 𝑒 × 𝑒 = 𝑢 × 𝑒 et 𝑢 = 𝑒 = 1
La suite (𝑢 ) est géométrique de raison 𝑒 et de premier terme 𝑢 = 1 2) 𝑢 = −2𝑒 = −2𝑒 × 𝑒 = 𝑢 × 𝑒 et 𝑢 = −2𝑒 = −2
La suite (𝑢 ) est géométrique de raison 𝑒 et de premier terme 𝑢 = −2 3) 𝑢 = 𝑒 ( ) = 𝑒 × 𝑒 = 𝑢 × 𝑒 et 𝑢 = 𝑒 × = 1 La suite (𝑢 ) est géométrique de raison 𝑒 et de premier terme 𝑢 = 1 4) 𝑢 = 5𝑒 ( ) = 5𝑒 × 𝑒 = 𝑢 × 𝑒 et 𝑢 = 5𝑒 × = 5
La suite (𝑢 ) est géométrique de raison 𝑒 et de premier terme 𝑢 = 5
N°10 page 190 :
1) 𝐴(𝑥) = −𝑥 × 𝑒 donc 𝐴(𝑥) ≤ 0 sur ℝ.
2) 𝐵(𝑥) = −3 − 𝑒 = (−3) + (−𝑒 ) donc 𝐵(𝑥) < 0 sur ℝ.
3) 𝐶(𝑥)est du signe de (𝑥 − 1) car 3 et 𝑒 sont strictement positifs.
𝐶(𝑥) < 0 sur ] − ∞; 1[ et 𝐶(𝑥) > 0 sur ]1; +∞[.
N°11 page 190 :
𝑓 (𝑡) = −4 × (−3𝑒 ) = 12𝑒
N°2 page 192 :
1) 𝑓 (𝑥) = (𝑥𝑒 ) + (3𝑥 − 1) = 1 × 𝑒 + 𝑥𝑒 + 3 = (𝑥 + 1)𝑒 + 3
2) 𝑔 (𝑥) = (𝑥 + 2𝑥 − 1) × 𝑒 + (𝑥 + 2𝑥 − 1) × (𝑒 ) = (2𝑥 + 2)𝑒 + (𝑥 + 2𝑥 − 1)𝑒
= (𝑥 + 4𝑥 + 1)𝑒
3) ℎ (𝑥) =𝑒 × (𝑒 + 𝑥) − 𝑒 × (𝑒 + 1)
(𝑒 + 𝑥) = 𝑒 (𝑒 + 𝑥) − (𝑒 + 1)
(𝑒 + 𝑥) =𝑒 (𝑒 + 𝑥 − 𝑒 − 1) (𝑒 + 𝑥)
=𝑒 (𝑥 − 1) (𝑒 + 𝑥)
N°8 page 192 :
𝐴 = 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 = 𝑒
𝐵 = 1
(𝑒 ) = 1
𝑒 × = 1 𝑒 = 𝑒 𝐶 = 1
(𝑒 ) = 1
𝑒 = 𝑒 𝐷 = 1
(𝑒 ) × 𝑒 = 1
𝑒 × 𝑒 = 𝑒 × 𝑒 = 𝑒
𝐸 =𝑒 × (𝑒 )
𝑒 =𝑒 × 𝑒
𝑒 = 𝑒
𝑒 = 𝑒
𝑒 = 𝑒( ) ( ) = 𝑒 = 𝑒
N°10 page 192 : Pour tout réel 𝑥 ∶ 1
1 + 𝑒 = 1 1 + 1
𝑒
= 1
𝑒 + 1 𝑒
= 𝑒
𝑒 + 1
N°13 page 192 : Pour cet exercice, vous pouvez bien sûr utiliser la notation 𝑒 au lieu de exp(𝑥)…
1) 𝑢 = exp −(𝑛 + 1) = exp(−𝑛 − 1) = exp (−𝑛) + (−1) = exp(−𝑛) × exp(−1)
= 𝑢 × exp (−1)
La suite (𝑢 ) est donc géométrique de raison exp (−1) et de premier terme 𝑢 = exp(0) = 1
2) 𝑢 = exp(3𝑛) × exp(5𝑛) = exp(3𝑛 + 5𝑛) = exp(8𝑛)
La suite (𝑢 ) est donc géométrique de raison exp (8) et de premier terme 𝑢 = exp(0) = 1
3) 𝑢 =exp(−𝑛 + 2) × exp(5𝑛 − 4)
exp(𝑛 − 2) =exp(4𝑛 − 2)
exp(𝑛 − 2) = exp((4𝑛 − 2) − (𝑛 − 2)) = exp (3𝑛) La suite (𝑢 ) est donc géométrique de raison exp(3) et de premier terme 𝑢 = exp(0) = 1
4) 𝑢 =exp(2) × exp(−𝑛 + 5)
exp (7) × exp(6𝑛) =exp(−𝑛 + 7)
exp(6𝑛 + 7) = exp((−𝑛 + 7) − (6𝑛 + 7)) = exp (−7𝑛) La suite (𝑢 ) est donc géométrique de raison exp (−7) et de premier terme 𝑢 = exp(0) = 1
Remarque : pour les questions 2, 3 et 4, on utilise la propriété 3 du cours. On peut aussi l’utiliser pour le 1) avec 𝑎 = −1.
N°17 page 193 :
1) 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 1) − (𝑒 ) = 1 − 𝑒 2) Étudions le signe de 𝑓 (𝑥) :
𝑓 (𝑥) ≥ 0 ⇔ 1 − 𝑒 ≥ 0 ⇔ −𝑒 ≥ −1 ⇔ 𝑒 ≤ 1 ⇔ 𝑒 ≤ 𝑒 ⇔ 𝑥 ≤ 0 De même 𝑓 (𝑥) ≤ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 0
Ainsi 𝑓 est croissante sur ] − ∞; 0] et décroissante sur [0; +∞[ : elle admet donc un maximum en 0 de valeur 𝑓(0) = 0 − 1 − 𝑒 = −1 − 1 = −2
3) Graphiquement, on voit que la courbe de 𝑔 est toujours au-dessus de la courbe de ℎ, il semble donc que 𝑔(𝑥) > ℎ(𝑥) pour tout 𝑥 réel.
À la question 2, il a été démontré que 𝑓(𝑥) ≤ −2 donc 𝑓(𝑥) < 0
𝑓(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 − 1 − 𝑒 < 0 ⇔ 𝑥 − 1 < 𝑒 ⇔ ℎ(𝑥) < 𝑔(𝑥) ce qui démontre bien la conjecture ci- dessus.
Remarque : pour comparer deux fonctions, l’étude des variations puis le signe de la fonction différence est très souvent utilisée.
N°19 page 193 :
1) 𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Les courbes des fonctions 𝑓 et 𝑔 se coupent au point d’abscisse 1,6.
La solution de l’équation 𝑒 = 𝑒 est donc 1,6.
2) Sur la deuxième ligne, Myriam doit ajouter : « car 𝑒 ≠ 0 ».
Sur la 6ème ligne, elle doit ajouter : « car 𝑒 = 1 et 𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑎 = 𝑏 ».
Myriam obtient bien la bonne réponse car = 1,6.
3) 𝑒 = 𝑒 ⇔ 2𝑥 − 3 = −3𝑥 + 5 ⇔ 5𝑥 = 8 ⇔ 𝑥 = = 1,6 4)a) 𝑒 = 𝑒 ⇔ 4𝑥 + 1 = 1 − 2𝑥 ⇔ 6𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∶ 𝑆 = {0}
b) 𝑒 = 𝑒 ⇔ −5𝑥 = 𝑥 + 3 ⇔ −6𝑥 = 3 ⇔ 𝑥 = 3
−6= −1
2∶ 𝑆 = −1 2
5) a)
On retrouve bien 𝑥 = 0 comme solution
On retrouve bien 𝑥 = − comme solution
N°20 page 193 :
1) 𝑒 = 1 ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∶ 𝑆 = {0}
2) 𝑒 = 0 n’a pas de solution car 𝑒 > 0 pour tout 𝑥 réel.
3) 𝑒 = 1 ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 3𝑥 − 1 = 0 ⇔ 3𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 1
3∶ 𝑆 = 1 4) 𝑒 − 1 = 0 ⇔ 𝑒 = 1 ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = 1 ∶ 𝑆 = {1} 3
N°22 page 194 :
1) 𝑒 ≥ 1 ⇔ 𝑒 ≥ 𝑒 ⇔ 𝑥 ≥ 0 ∶ 𝑆 = [0; +∞[
2) 𝑒 < 1 ⇔ 𝑒 < 𝑒 ⇔ 𝑥 − 2 < 0 ⇔ 𝑥 < 2 ∶ 𝑆 =] − ∞; 2[
3) 𝑒 ≥ 0 ∶ toujours vrai car 𝑒 > 0 pour tout 𝑥 réel : 𝑆 = ℝ
4) 𝑒 − 1 ≤ 0 ⇔ 𝑒 ≤ 1 ⇔ 𝑒 ≤ 𝑒 ⇔ 𝑥 − 1 ≤ 0 ⇔ 𝑥 ≤ 1 ∶ 𝑆 =] − ∞; 1]
N°24 page 194 : Pour tout 𝑥 réel : 𝑒 − 1
𝑒 + 1 = 𝑒 1 − 1 𝑒 𝑒 1 + 1
𝑒
=𝑒
𝑒 ×1 − 𝑒
1 + 𝑒 = 𝑒 ×1 − 𝑒
1 + 𝑒 = 𝑒 ×1 − 𝑒 1 + 𝑒
N°25 page 194 :
1) 𝑓 (𝑥) = (2𝑥 + 1) × 𝑒 + (2𝑥 + 1) × (𝑒 ) = 2𝑒 + (2𝑥 + 1)𝑒 = (2 + 2𝑥 + 1)𝑒 = (2𝑥 + 3)𝑒 2) 𝑔 (𝑥) = (−3𝑥 − 1) × 𝑒 + (−3𝑥 − 1) × (𝑒 ) = −3𝑒 + (−3𝑥 − 1)𝑒 = (−3𝑥 − 4)𝑒
3) ℎ (𝑥) = (𝑥) × 𝑒 + 𝑥 × (𝑒 ) = 1 × 𝑒 + 𝑥 × 𝑒 = (𝑥 + 1)𝑒 4) 𝑝 (𝑥) = −1
2𝑥 + 1 × 𝑒 + −1
2𝑥 + 1 × (𝑒 ) = −1
2𝑒 + −1
2𝑥 + 1 𝑒 = −1 2𝑥 +1
2 𝑒
N°28 page 194 :
1) 𝑓 (𝑥) =(𝑒 ) × 𝑥 − 𝑒 × (𝑥)
𝑥 =𝑒 × 𝑥 − 𝑒 × 1
𝑥 = 𝑒 (𝑥 − 1) 𝑥 2) 𝑔 (𝑥) = (𝑒 ) × (𝑥 + 1) − 𝑒 × (𝑥 + 1)
(𝑥 + 1) = 𝑒 (𝑥 + 1) − 𝑒 × 1
(𝑥 + 1) = 𝑥𝑒
(𝑥 + 1) 3) ℎ (𝑥) =(𝑥) × (𝑒 + 1) − 𝑥 × (𝑒 + 1)
(𝑒 + 1) =1 × (𝑒 + 1) − 𝑥𝑒
(𝑒 + 1) = 𝑒 + 1 − 𝑥𝑒 (𝑒 + 1)
4) 𝑝 (𝑥) =(3𝑥 + 1) × 𝑒 − (3𝑥 + 1) × (𝑒 )
(𝑒 ) =3𝑒 − (3𝑥 + 1)𝑒
(𝑒 ) = 3 − (3𝑥 + 1) 𝑒
(𝑒 ) =−3𝑥 + 2 𝑒
N°29 page 194 :
1) 𝑓 (𝑡) = −𝑒 + 0 = −𝑒
2) 𝑔(𝑡) = 𝑒 × 𝑒 donc 𝑔 (𝑡) = 2𝑒 × 𝑒 = 2𝑒 3) ℎ(𝑡) = 𝑒 × 𝑒 donc ℎ (𝑡) = −𝑒 × 𝑒 = −𝑒 4) 𝑝 (𝑡) = 𝑒
N°31 page 194 :
1) Si 𝑄(𝑡) = 4𝑒 , alors 𝑄 (𝑡) = 4 × (−0,248𝑒 , ) = −0,248 × 4𝑒 , = −0,248𝑄(𝑡) Et 𝑄(0) = 4𝑒 , × = 4𝑒 = 4 × 1 = 4
La fonction 𝑄 ainsi définie vérifie bien la relation (E) et la condition initiale.
2) La variable 𝑡 représente une durée en heure. La valeur cherchée dans cette question est donc 𝑄(2).
𝑄(2) = 4𝑒 × = 4𝑒 , ≈ 2,44
Au bout de 2 heures, la quantité de médicament présente dans le sang est d’environ 2,44 mg.
3) La fonction 𝑡 ↦ 𝑒 , est strictement décroissante et 4 > 0 donc la fonction 𝑄 est strictement décroissante sur [0; +∞[ (en effet, multiplier une fonction par un nombre positif ne change pas son sens de variation).
4)
5) On utilise le menu table :
Dans l’onglet « SET », on choisit un début à 0, une fin à 50 et un pas de 1 :
0,01 est compris entre 0,0104 et 8,1× 10 , il est donc clair que la valeur cherchée est comprise entre 24 et 25.
On change alors les paramètres de l’onglet « SET ».
Début 24, fin 25 et pas de 0,1 :
0,01 est compris entre 0,0101 et 9,8× 10 , il est donc clair que la valeur cherchée est comprise entre 24,1 et 24,2.
La quantité de médicament dans le sang est inférieure à 0,01 mg au bout de 24,2 heures c’est-à-dire 1 jour et 12 minutes.
6) On peut s’inspirer des fonctions Python présentes sur le livre … from math import exp
def elimination():
Q=4 t=0
while Q>=0.01:
t=t+0.01
Q=4*exp(-0.248*t) return t
N°34 page 195 : 𝐏𝐚𝐫𝐭𝐢𝐞 𝐀
1) 𝑑(𝑥) = 50 × 1
𝑥 + 𝑥 + 1∶ écriture plus simple pour le calcul de dérivée 𝑑 (𝑥) = 50 × −(2𝑥 + 1)
(𝑥 + 𝑥 + 1) = − 50(2𝑥 + 1) (𝑥 + 𝑥 + 1) < 0
2) La fonction 𝑑 est donc strictement décroissante sur [0; +∞[.
Partie B
1) La fonction 𝑥 ↦ 𝑒 , est strictement croissante et 3>0 donc la fonction 𝑓 est strictement
croissante sur [0; +∞[ (en effet, multiplier une fonction par un nombre positif ne change pas son sens de variation).
2)
Partie C
On cherche le point d’intersection des deux courbes.
Le menu Graph a une option « G-solv » et « ISCT » (pour intersection) Voici le résultat obtenu :
La quantité correspond à la variable 𝑥 et le prix à
l’ordonnée correspondante. Ainsi 𝑞 ≈ 2,37 et 𝑝 ≈ 5,56.
Autrement dit, pour une quantité produite de 2 370 000 objets (𝑥 est exprimé en millions d’objets…), le prix d’équilibre est d’environ 5,56 €.
N°38 page 196 : 1)𝑒
𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑒 = 𝑒 × 𝑒 ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑒 = 𝑒
⇔ 3𝑥 − 1 = 3𝑥 + 6 ⇔ −1 = 6 ∶ impossible, l équation n a pas de solution.
2) 𝑒 = 𝑒 × 𝑒 ⇔ 1 = 𝑒 (on simplifie par 𝑒 ) ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 2𝑥 + 4 = 0 ⇔ 𝑥 = −2 La solution est −2.
3)𝑒 × 𝑒
𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 × 𝑒 ⇔ 𝑒 = 𝑒
⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 3 ⇔ 𝑥 = −1 : la solution est −1.
4) 𝑒 × 𝑒 − 𝑒 = 0 ⇔ 𝑒 × 𝑒 = 𝑒 ⇔ 𝑒 = 𝑒 ⇔ −𝑥 − 2 = −𝑥 + 4
⇔ −2 = 4 : impossible, l’équation n’a pas de solution.
N°41 page 196 :
1) Le point 𝐴 appartient à la courbe de 𝑓 et a pour coordonnées (0 ;3) donc 𝑓(0) = 3.
La tangente en 𝐵 à la courbe a une pente nulle, or B a pour abscisse 1 donc 𝑓 (1) = 0
La tangente en 𝐴 à la courbe a pour coefficient directeur 1 et 𝐴 a pour abscisse 0 donc 𝑓 (0) = 1.
2) a) 𝑓 (𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑒 + (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑒 ) + 0 = 𝑎𝑒 + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒 = (𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑏)𝑒 b) 𝑓(0) = 3 se traduit par (𝑎 × 0 + 𝑏)𝑒 + 𝑐 = 3 ⇔ 𝑏 + 𝑐 = 3
𝑓 (1) = 0 se traduit par (𝑎 × 1 + 𝑎 + 𝑏)𝑒 = 0 ⇔ (2𝑎 + 𝑏)𝑒 = 0 ⇔ 2𝑎 + 𝑏 = 0 𝑓 (0) = 1 se traduit par (𝑎 × 0 + 𝑎 + 𝑏)𝑒 = 1 ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 1
c) Si on soustrait la 3ème équation à la 2ème, on obtient 𝑎 = −1, on en déduit que 𝑏 = 2, la première équation nous donne alors 𝑐 = 1.
Bilan : 𝑓(𝑥) = (−𝑥 + 2)𝑒 + 1
N°49 page 198 : 1) 𝑣 = 9,81 ×
, × 1 − 𝑒 , × = (1 − 𝑒 , ) ≈ 15,07 : la vitesse de la goutte 10 secondes après sa chute est d’environ 15,07 𝑚. 𝑠 ce qui fait environ 54 𝑘𝑚. ℎ
2) Simplifions tout d’abord l’écriture de 𝑣 : 𝑣 = 9,81 × 6
3,9× 1 − 𝑒 , × =981
65 (1 − 𝑒 , ) 𝑇 = 𝑣 − 𝑣 =981
65 1 − 𝑒 , ( ) −981
65 (1 − 𝑒 , ) =981
65 ( 1 − 𝑒 , ( ) − (1 − 𝑒 , )
=981
65 𝑒 , − 𝑒 , ( ) =981
65 (𝑒 , − 𝑒 , , ) =981
65 𝑒 , (1 − 𝑒 , ) 𝑇 =981
65 𝑒 , ( )(1 − 𝑒 , ) =981
65 𝑒 , × 𝑒 , (1 − 𝑒 , ) = 𝑒 , 𝑇
La suite (𝑇 ) est donc géométrique de raison 𝑒 , et de premier terme 𝑇 = (1 − 𝑒 , )
La raison 𝑒 , est compris entre 0 et 1 et le premier terme 𝑇 est positif : (𝑇 ) est donc décroissante.
On utilise le menu suite de la calculatrice.
Le tableau nous donne les valeurs suivantes :
On obtient 𝑇 ≈ 0,0015 > 0,001 et 𝑇 ≈ 0,0008 < 0,001
C’est donc à partir du rang 14 (et donc au bout de 14 secondes) que la variation devient négligeable.
